高中数学人教A版2019必修第一册同步单元测试AB卷(新高考)专题16函数的基本性质单元测试(B)(原卷版+解析)

第三章专题16函数的基本性质(B）命题范围：第一章，第二章，函数的概念及其表示方法,函数的基本性质.高考真题：1．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．牛刀小试第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B．C． D．且2．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或4．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．或7．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（

）A． B．C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（

）A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是11．（2022·全国·高一专题练习）下列说法不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是D．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是12．（2022·全国·高一单元测试）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．14．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）15．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．16．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．18．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围．19．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函数为偶函数，求的值;(4)求在上的最小值.20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．21．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知函数，且.(1)求m；(2)判断的奇偶性；(3)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(4)并求函数在上的值域.22．（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．(1)求证：函数是奇函数；(2)求证：在上是减函数；(3)若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．第三章专题16函数的基本性质(B）命题范围：第一章，第二章，函数的概念及其表示方法,函数的基本性质.高考真题：1．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·全国·高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B3．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．牛刀小试第I卷选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B．C． D．且【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A选项，，为偶函数，故错误；对于B选项，，为奇函数，且函数、均为减函数，故为减函数，故正确；对于C选项，为偶函数，故错误；对于D选项，且为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）已知，且是定义在R上的奇函数，，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，判断与的关系即可求解.【详解】由已知的定义域为R，因为是定义在R上的奇函数，所以，所以，所以为偶函数，又，，又，所以，所以不为奇函数，故选：B．3．（2022·全国·高一课时练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为（

）A．2 B．2或 C．3 D．3或【答案】B【分析】注意讨论的情况，然后利用一次函数的单调性分类讨论可求得.【详解】依题意，当时，，不符合题意；当时，在区间上单调递增，所以，得；当时，在区间上单调递减，所以，得．综上，a的值为故选:B.4．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的，有，所以当时，，所以在上是减函数，又是偶函数，所以，，因为，所以，即．故选：D．5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；当时，函数图象的对称轴为，当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，当时，函数在区间上单调递增，要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．故实数t的取值范围为．故选：A6．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由可得到相应的不等式组，即可求得答案.【详解】因为是偶函数且在上单调递增，，故，所以当或时，，当时，．所以等价于或，解得或，所以不等式的解集为，故选：B．7．（2022·全国·高一单元测试）设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数性质可推得即，可判断A，B；利用函数的奇偶性结合单调性可推得，判断C；由于由题意无法确定的正负，可判断D.【详解】因为，所以.由函数为偶函数，得，故不等式可化为.又函数在上单调递增，，，所以，即,故A错误，B正确；由于，函数为偶函数，且在上单调递增，故，故C错误；由题意无法确定的正负，即的正负情况不定，故D错误，故选：B.另解：由题意，设，，，且，此时，故排除A；，，此时，，故排除C，D，故选：B.8．（2022·全国·高一单元测试）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，以及函数在区间上为增函数，利用函数的周期性和单调性可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知，故函数是周期函数，且周期为，则，，，因为奇函数在区间上是增函数，则该函数在区间上也为增函数，故函数在区间上为增函数，所以，即.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数【答案】ABC【分析】根据题意，函数，均为定义在上的奇函数，利用奇偶函数的定义，可以依次判断ABC正确，可以证明D是奇函数，故D错误.【详解】因为函数，均为定义在上的奇函数，所以，，对于A选项，设，则，所以为奇函数，故A正确；对于B选项，设，则，所以为奇函数，故B正确；对于C选项，设，则，所以为偶函数，故C正确；对于D选项，设，则，所以是奇函数，故D错误.故选：ABC.10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，下列结论正确的是（

）A．定义域、值域分别是， B．单调减区间是C．定义域、值域分别是， D．单调减区间是【答案】BC【分析】首先根据题意得到，从而得到函数的定义域为，结合二次函数的性质得到函数和单调减区间是，再依次判断选项即可.【详解】要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为．因为，，时，，或时，，所以．因为抛物线的对称轴为直线，开口向下，，所以的单调减区间是．故选：BC．11．（2022·全国·高一专题练习）下列说法不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是D．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是【答案】ABD【分析】根据反比例函数的性质判断A，根据奇函数的性质判断B，利用基本不等式求出的最小值，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可判断C，根据各段函数单调递增及断点处函数值的大小关系得到不等式组，解得，即可判断D.【详解】解：函数在和上都是减函数，但在定义域上不是减函数，故A不正确；当是奇函数时，可能无意义，故B不正确；由，，，得，当且仅当时取等号，依题意得，解得，故C正确；因为是增函数，所以，解得，故D不正确.故选：ABD.12．（2022·全国·高一单元测试）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．【答案】AC【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，又，即关于对称，故B不正确；所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，因为在区间上，有，所以在上单调递增，因为，即，所以的图象关于点成中心对称，故A正确；因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，故C正确；因为，故D错误；故选：AC第II卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．【答案】【分析】由函数的奇偶性的性质，画出在上的图象，由图象即可求出的x的取值集合.【详解】解析的图象如图所示，由图易得使的x的取值集合为．故答案为：.14．（2022·全国·高一课时练习）已知是定义在上的奇函数，且，则与的大小关系是______．（填“>”“=”或“<”）【答案】＞【分析】利用奇函数的性质与不等式的性质即可求得.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，．又，所以，即．故答案为：＞.15．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为_________．【答案】【分析】根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】因为奇函数在单调递减，所以在单调递减，且，所以在上单调递减，则等价于，解得，故答案为：16．（2022·全国·高一课时练习）已知，函数，若对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意转化为时，恒成立，及时，恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，当时，，只需恒成立，即恒成立，因为时，的最大值为，所以；当时，，只需恒成立，即恒成立，因为时，的最小值为2，所以．故a的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，．求证：函数是上的增函数．【答案】证明见解析【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.【详解】证明：任取、，且，则．因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数．18．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．(1)求的值；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用赋值法即得；（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.（1）因为，令，得，即；（2）由题意知，，∴由，可得，又在R上单调递增，∴，即，∴的取值范围是．19．（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）二次函数满足，且(1)求的解析式;(2)求在上的最值;(3)若函数为偶函数，求的值;(4)求在上的最小值.【答案】(1)(2)在上的最小值为，最大值为(3)(4)时，；时，；时，【分析】（1）待定系数法求解解析式；（2）配方后得到函数单调性，进而求出最值；（3）根据函数奇偶性求出，从而求出的值；（4）结合对称轴，对分类讨论，求出不同情况下函数的最小值.（1）设，则，又因为，所以，解得：，又所以的解析式为.（2），所以当时，单调递减，在上单调递增，又，，，因为故在上的最小值为，最大值为.（3）因为，所以，因为为偶函数，所以，即，解得：，.（4），当，即时，在上单调递减，所以；当且,即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以；综上：时，；时，；时，.20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函数是奇函数即可求出当x＞0时，函数的解析式；（2）由函数是奇函数化简可得，画出函数的图象，结合图象即可得出答案.（1）由为奇函数，得．当x＞0时，，故，故当x＞0时，．（2）