人教A版2019必修第一册专题3.5函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】(原卷版+解析)

专题3.5函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一利用函数的性质求解析式题型一利用函数的性质求解析式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在R上的奇函数fx满足f2−x=f(1)求f2021(2)当x∈3,4时，求函数f2．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x(1)求f(x)的解析式；(2)若“x=3”是“f(2x−t)>12”的充分条件，求实数3．（2023·高一课时练习）已知f(x)=x+a(1)求a，b的值；(2)试判断f(x)的单调性；(3)试求f(x)的值域．4．（2023·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1)求f(x)的解析式：(2)若方程f(x)=k有3个不同的解，求k的取值范围.5．（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx．当(1)求证：fx(2)当x∈2,4时，求f(3)计算f0题型二题型二利用函数的性质求最值6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)<0(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间7．（2023·全国·高一假期作业）已知函数y=ax(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；(2)若函数在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.8．（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数y=fxx∈R是偶函数．当x≥0(1)求函数fx(2)设gx=−fx+1，求gx9．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x(1)当a>2时，判断f(x)在R上的单调性；(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)，写出g(a)的表达式并求g(a)的最大值.10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(−1≤x≤1)是奇函数，又知y=fx在[0,1]上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在(1)求f1(2)求y=fx，x∈[1,4](3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函数y=f题型三题型三利用函数的性质比较大小11．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，对任意x∈R均满足：①f(1+x)=f(1−x)，②x1<0, x212．（2022·全国·高一专题练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，(1)求证：f(x)在(0,+∞(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2；(3)比较f(m+n2)13．（2022秋·海南海口·高一校考期中）函数f(x)=x(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；(2)若x2>x1>0(3)若fx1=fx214．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数f(x)=x(1)求f(1)，f(2)的值；(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；(3)若关于x的不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m15．（2022·高一课时练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且当x>1时，f(x)>0.（1）求f(1)的值.（2）求证：fm（3）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2.（5）比较fm+n2与题型四题型四利用函数的单调性、奇偶性解不等式16．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当0<x≤3时，f(1)求f−1(2)求函数fx(3)若f3a+1+f2a−117．（2023·全国·高三专题练习）已知y=fx是定义在区间−2,2(1)求f−1(2)补全y=fx的图像，并写出不等式f18．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2(1)求函数fx(2)判断fx(3)解不等式ft−119．（2022秋·黑龙江七台河·高一校考期中）定义在−1,1上的函数fx满足：对任意的x,y∈−1,1，都有fx+fy(1)求证：函数fx(2)求证：fx在−1,1(3)解不等式：fx+120．（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义在区间D=xx≠0上的函数fx,对∀a,b∈D都有fab=f(1)判断fx(2)判断fx在0,+(3)若f2=3,求满足不等式f3m+2题型五题型五利用函数的性质解决恒成立问题21．（2023·黑龙江佳木斯·校考模拟预测）已知fx=ax2(1)求fx(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R22．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(1)求函数fx(2)若对任意的t∈0,2，fm+t+f23．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x⩾0时，f(x)=−(1)当a=−2时，求f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在[0,+(i)求(ii)实数m∈−5,−2，f(m−1)+f(24．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=x(1)若g(x)=f(x)−2，判断g(x)的奇偶性（不用证明）．(2)当a=12时，先用定义法证明函数f(x)在1,+∞上单调递增，再求函数f(x)(3)若对任意x∈1,+∞，f(x)>0恒成立，求实数25．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+(1)求fx(2)判断函数fx在−2,2上的单调性（不用证明），并求使f2t+1+f(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x题型六题型六利用函数的性质解决有解问题26．（2022秋·湖北荆州·高一校联考期末）定义域为[−2，2]的奇函数fx满足，当x∈(1)求fx(2)若x∈−2,0时,fx≥27．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx的表达式fx=x+(1)函数y=fx在区间2,+∞上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数(2)设m<0，若不等式fx≤kx在x∈128．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知定义域为R的函数f(x)=1−(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明；(3)若关于m的不等式f−2m2+3m−4+f29．（2022秋·山东泰安·高一统考期中）已知函数fx是定义在实数集R上的偶函数，当x≤0时，f(1)当x>0时，解不等式2x(2)不等式fx2+1−mx30．（2022秋·山东青岛·高一校考期中）已知函数f(x)对任意m，n∈R，总有fm+n=f(1)求f0，并分析判断f(x)在R(2)若∀x∈(1,+∞)，不等式fa−3x

专题3.5函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一题型一利用函数的性质求解析式1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在R上的奇函数fx满足f2−x=f(1)求f2021(2)当x∈3,4时，求函数f【解题思路】（1）由题可得f(4+x)=f(x)，再结合条件可求；（2）由题可求当x∈[−1,0]时，f(x)=−x【解答过程】（1）∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，∴f(−x)=−f(x)，f(2+x)=f(−x)=−f(x)，∴f(4+x)=f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，又x∈[0,1]时f(x)=x∴f(2021)=f(4×505+1)=f(1)=1−2=−1，（2）∵当x∈[0,1]时f(x)=x∴当x∈[−1,0]时，−x∈[0,1]，∴f(x)=−f(−x)=−[(−x)∴当x∈[3,4]时，x−4∈[−1,0]，∴f(x)=f(x−4)=−(x−4)2．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x(1)求f(x)的解析式；(2)若“x=3”是“f(2x−t)>12”的充分条件，求实数【解题思路】（1）根据函数的偶函数性质求解解析式即可；（2）根据偶函数性质和函数的单调性解不等式f(2x−t)>12，然后结合充分条件列出关于【解答过程】（1）f(x)是定义在R上的偶函数，则fx当x<0时，−x>0，则fx所以fx（2）因为y=x2与y=−2−x在0,+∞又因为fx为偶函数，所以fx在不等式f2x−t>f1等价于2x−t>1，故由题意3>t+12或3<t−13．（2023·高一课时练习）已知f(x)=x+a(1)求a，b的值；(2)试判断f(x)的单调性；(3)试求f(x)的值域．【解题思路】（1）由f(0)=0求出a的值，f(−1)=−f1，求出b（2）f(x)在[−1,1]上是增函数，利用单调性的定义证明；（3）由f(x)=xx2+1在[−1,1]上是增函数，即可求出f(x)【解答过程】（1）因为f(x)的定义域为−1,1，所以f(0)=a1=0又因为f(−1)=−12−b,f所以2−b=2+b，所以b=0,经检验符合题意（2）由（1）知：f(x)=x任取x1,xfxx1+x1所以f(x)在[−1,1]上是增函数．（3）由（2）知：f(x)=xx2所以f(x)f(x)max=f1=4．（2023·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1)求f(x)的解析式：(2)若方程f(x)=k有3个不同的解，求k的取值范围.【解题思路】（1）利用奇函数定义求出x<0时的f(x)的解析式即可.（2）分析函数f(x)的性质，作出图象，数形结合求出k的范围作答.【解答过程】（1）函数f(x)是R上的奇函数，且x≥0时，f(x)=x则当x<0时，−x>0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)所以f(x)的解析式为f(x)=−（2）由（1）知，当x<0时，f(x)=−(x+12)2+1在[−12,0)当x≥0时，f(x)=(x−12)2−1在[12,+在同一坐标系内作出直线y=k和函数y=f(x)的图象，如图，观察图象知，方程f(x)=k有3个不同的解，实数k的取值范围是−15．（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx．当(1)求证：fx(2)当x∈2,4时，求f(3)计算f0【解题思路】（1）把x+2看成一个整体证明fx+4（2）当x∈2,4时，可得出0≤x−2≤2，再由fx=−fx−2可求得函数（3）计算出f1、f2、f3、f4的值，再利用函数【解答过程】（1）证明：因为fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，f则fx+4=−fx+2=fx（2）解：当x∈2,4时，0≤x−2≤2此时，fx（3）解：因为当x∈0,2时，fx=2x−x2所以，f1=2−1=1，f2=2因为2011=4×502+3，所以，f=503×1+0−1+0题型二题型二利用函数的性质求最值6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)<0(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)=−23，求f(x)在区间【解题思路】（1）根据条件，通过赋值得到f(0)=0，再令y=−x即可证明结果；（2）利用（1）中结果和条件f(x（3）利用（2）中结果，得到f(x)在−3,3上也是减函数，再利用单调性和条件即可求出结果.【解答过程】（1）因为函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)令x=y=0，得f(0)=0，令y=−x，得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，所以f(x)在R上是奇函数.（2）在R上任取x1则x1−x因为x>0时，f(x)<0，所以f(x1−所以f(x)在R上是减函数.（3）因为f(x)是R上的减函数，所以f(x)在−3,3上也是减函数，所以f(x)在−3,3上的最大值和最小值分别为f(−3)和f(3)，而f3=3f1所以f(x)在−3,3上的最大值为2，最小值为－2.7．（2023·全国·高一假期作业）已知函数y=ax(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；(2)若函数在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.【解题思路】（1）分t≤12、（2）可得函数在2,4上单调递增，然后由条件可建立方程组求解.【解答过程】（1）当a=b=1时，函数化为y=x2−2x+2而t+t+12①当t+12≤1，即t≤12②当t+12>1，即t>12综上，当t≤12时，最大值为t2−2t+2；当（2）因为函数的图像开口向上，且对称轴方程为x=1∉2,4，所以函数在2,4所以当x=2时，y取得最小值b+1；当x=4时，y取得最大值16a−8a+1+b=8a+1+b.由题意，可得b+1=1,8a+b+1=9,解得a=18．（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数y=fxx∈R是偶函数．当x≥0(1)求函数fx(2)设gx=−fx+1，求gx【解题思路】（1）利用偶函数的性质求函数fx在0,+（2）结合二次函数性质确定函数gx的单调性，结合单调性求g【解答过程】（1）因为函数y=fx所以当x<0时，fx=f−x又当x≥0时，fx所以当x<0时，fx所以函数fx的解析式为f（2）因为gx所以当x<0时，gx当x≥0时，gx所以当x≤−1时，函数gx当−1<x<0时，函数gx当0≤x≤1时，函数gx当x≥1时，函数gx当−1<a≤1时，则a+2>1，所以函数gx在a,a+2当a>1时，函数gx在区间a,a+2所以当x=a时，gx取最大值，最大值为g所以当a>−1时，gx在区间a,a+2上的最大值为g9．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x(1)当a>2时，判断f(x)在R上的单调性；(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)，写出g(a)的表达式并求g(a)的最大值.【解题思路】（1）讨论分段函数中二次函数的对称轴与−1的大小关系即可得到答案.（2）分a<−2，−2≤a<2和a≥2讨论即可.【解答过程】（1）f(x)=x2当a>2时，−a2<−1则函数fx在−∞,−1（2）a∈R，f(x)=当a2<−1，即a<−2时，函数fx在−在a2fa2=−a2∴g(a)=f−当a2≥−1且−a函数fx在−∞,−g(a)=f−当−a2≤−1，即a≥2函数fx在(−∞,−1)所以ga综上g(a)=−当a<2时，ga所以ga10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(−1≤x≤1)是奇函数，又知y=fx在[0,1]上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在(1)求f1(2)求y=fx，x∈[1,4](3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函数y=f【解题思路】（1）根据题意得到f4=f(−1)，又由y=fx（2）令f(x)=a(x−2)2−5，结合f（3）根据题意，令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，求得x∈−1,1时，y=−3x，结合周期性，求得函数f【解答过程】（1）解：函数y=fx是定义在R上的周期函数，且T=5，所以f而函数y=fx在区间−1,1上是奇函数，所以f(−1)=−f(1)所以f1（2）解：由y=fx在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值−5可设f(x)=a(x−2)因为f1+f4=0，即所以fx（3）解：函数y=fx,x∈−1,1是奇函数，又知y=f令y=kx,(k≠0,0≤x≤1)，由（2）得：f1=−3，可得k=−3，所以当0≤x≤1时，因为函数y=fx为奇函数，可得当x∈−1,1时，当4≤x≤6时，可得−1≤x−5≤1，所以fx当6<x≤9时，可得1<x−5≤4，所以fx所以函数fx当x=4或x=9时，函数fx取得最大值f当x=7时，函数fx取得最小值f题型三题型三利用函数的性质比较大小11．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，对任意x∈R均满足：①f(1+x)=f(1−x)，②x1<0, x2【解题思路】由②知，−x1>x2+2>2，即【解答过程】由②知，−x1>又f(x)在[1,+∞)上为增函数，又由①得，fx所以f−12．（2022·全国·高一专题练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，(1)求证：f(x)在(0,+∞(2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2；(3)比较f(m+n2)【解题思路】（1）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论.（2）抽象函数解不等式，利用定义的运算及函数的性质列式求解即可.（3）利用函数性质及基本不等式列式求解即可.【解答过程】（1）证明：设0<x1<x2f(x2)−f(则f(x)在(0,+∞（2）若f(2)=1，则f（2）+f（2）=f（4）=2，则不等式f(x+2)−f(2x)>2等价为f(x+2)−f(2x)>f(4)；即f(x+2)>f(2x)+f(4)=f(8x)；则满足{x+2>02x>0x+2>8x，即{（3）因为f(mn)=f(m)+f(n)，所以f(m+n2f(m+n∴f(m+n13．（2022秋·海南海口·高一校考期中）函数f(x)=x(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；(2)若x2>x1>0(3)若fx1=fx2【解题思路】（1）用定义证明.（2）由已知寻找x1、x2、2−x2的范围，并比较（3）代入函数表达式整理fx1=f【解答过程】（1）设0<xfx∵x1−x2<0，x1∴x1−故f（x）在（0，1）上的单调减.（2）∵x2>∴2x1

2x2>x1又2−x2−因为f（x）在（0，1）上的单调减，所以f（3）∵fx∴x12+1∴xx1+x14．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数f(x)=x(1)求f(1)，f(2)的值；(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；(3)若关于x的不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m【解题思路】（1）代值即可求解；（2）采用作差法得fa（3）将条件化简得x2−4x+3−m≥0对一切x恒成立，即【解答过程】（1）因为fx=x2+（2）fafa−f因为a>b>1，则a+b>2，ab>1，所以2ab<2，即a+b−2所以a−ba+b−2ab（3）因为函数fx=x化简可得x2−4x+3−m≥0对一切所以Δ=42所以m的取值范围为−∞,−1.15．（2022·高一课时练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且当x>1时，f(x)>0.（1）求f(1)的值.（2）求证：fm（3）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2.（5）比较fm+n2与【解题思路】（1）令m=n=1，代入可求解；（2）由m=m（3）由单调性定义证明；（4）根据已知把不等式变为f(x+2)>（5）由fm+n2=12【解答过程】（1）令m=n=1，由条件得f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0.（2）f(m)=fm即fm（3）任取x1，x2∈(0,+∞)，且x由（2）得.fx2−f∴fx在(0,+∞)（4）∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)，f(x+2)−f(2x)>2⇔f(x+2)>f(2x)+f(4)⇒f(x+2)>又f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴x+2>8x,解得0<x<2故不等式f(x+2)−f(2x)>2的解集为x∣0<x<2（5）∵f(m)+f(n)2fm+n∵m+n2∴m+n22⩾mn又f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴fm+n∴fm+n题型四题型四利用函数的单调性、奇偶性解不等式16．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当0<x≤3时，f(1)求f−1(2)求函数fx(3)若f3a+1+f2a−1【解题思路】（1）利用奇函数定义直接可得；（2）设−3≤x<0，利用fx（3）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围．【解答过程】（1）因为fx为奇函数，则（2）因为fx为奇函数，f设−3≤x<0，则0<−x≤3，则f−x=12−x2则fx（3）当0<x≤3时，fx=12x2+x=12又∵f3a+1+f2a−1故有：−3≤3a+1≤3−3≤2a−1≤33a+1>1−2a，则有−43所以实数a取值范围是：0<a≤217．（2023·全国·高三专题练习）已知y=fx是定义在区间−2,2(1)求f−1(2)补全y=fx的图像，并写出不等式f【解题思路】（1）根据偶函数的性质计算；（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.【解答过程】（1）由图可知，f1因为fx是偶函数，所以f（2）y=fx的图像如上图，不等式fx≥1综上，f−1=1，fx18．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2(1)求函数fx(2)判断fx(3)解不等式ft−1【解题思路】（1）由条件结合奇函数的性质列方程求a,b即可；（2）利用作差法及单调性的定义证明fx（3）结合奇偶性和单调性的性质化简不等式，解之即可.【解答过程】（1）因为fx是在区间−1,1所以f0=0，即b=0，则因为f12=−25当a=−1时，fx=−x所以对任意的x∈−1,1，f−x=故fx=−x（2）fx=−x任取实数x1,x2∈因为−1<x1<x2<1，所以又x12所以fx2−f故函数fx=−x（3）因为fx所以不等式ft−1+ft又因为fx在−1,1所以−1<t−1<1−1<t<1t−1>−t，解得0<t<2−1<t<1所以原不等式的解集为t119．（2022秋·黑龙江七台河·高一校考期中）定义在−1,1上的函数fx满足：对任意的x,y∈−1,1，都有fx+fy(1)求证：函数fx(2)求证：fx在−1,1(3)解不等式：fx+1【解题思路】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解，（2）根据函数单调性的定义即可求解，（3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【解答过程】（1）令x=y=0，则f0+f0令y=−x，则fx∴fx为定义在−1,1（2）设−1<x1<x2∵−1<x1<x2<1，又x1∴−1<x1−x21−x∴fx1+f−x2>0（3）由fx+1+f1∵fx定义域为−1,1且在−1,1∴−1<x+1<1−1<1x−1<1x+1<120．（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义在区间D=xx≠0上的函数fx,对∀a,b∈D都有fab=f(1)判断fx(2)判断fx在0,+(3)若f2=3,求满足不等式f3m+2【解题思路】(1)根据赋值,先求出f1,再求出f−1,再令a=−1,b=x代入可得(2)先判断出fx(3)先根据fx的定义将f3m+2+f【解答过程】（1）由题知,fx不妨令a=b=1代入fab=fa∴f1令a=b=−1代入可得f1∴f−1令a=−1,b=x代入可得f−x∵D=xx≠0,（2）fx在0,+∀x∴fx1−fx2∵x1x∴fx∴fx在0,+（3）由题f3m+2∴f3m+2由(2)知fx在0,+所以3m+2m−1<23m+2≠0解得m∈−1,−题型五题型五利用函数的性质解决恒成立问题21．（2023·黑龙江佳木斯·校考模拟预测）已知fx=ax2(1)求fx(2)设函数gx=x2−2mx+4m∈R【解题思路】（1）根据函数的奇偶性即可得c=0，进而结合f(1)=1（2）将问题转化为gx【解答过程】（1）x∈−2,2，且fx+f将x=0代入fx+f−x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x（2）只要gx2max<fx∵1≤x1<x2≤2，∴故函数fx=x法一：gx=xy=x+195x在1,95当x=1时，x+195x=245故当x=1时，x+195xmax法二：gx=x当m≤32时，gxmax=g(2)<当m>32时，gxmax=g(1)<15综上所述：m>1222．（2023春·贵州黔东南·高一校考阶段练习）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(1)求函数fx(2)若对任意的t∈0,2，fm+t+f【解题思路】（1）设x<0，结合函数的解析式和奇函数的性质可得函数的解析式；（2）首先确定函数的单调性，结合函数的单调性转化为对任意的t∈0,2，m+t>−2t2【解答过程】（1）函数fx是定义在R上的奇函数，所以f0=a−1=0当x≥0时，fx当x<0时，fx所以fx（2）当x≥0时，fx=x因为fx在0,+∞上是增函数，又fx因为fx为奇函数，f所以fm+t>−f2则对任意的t∈0,2，m+t>−2即m>−2t2+2t当t=12时，−2t2+2t故m的取值范围是1223．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x⩾0时，f(x)=−(1)当a=−2时，求f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在[0,+(i)求(ii)实数m∈−5,−2，f(m−1)+f(【解题思路】(1)设x<0，结合x⩾0时函数的解析式和奇函数的性质可得函数的解析式；(2)（i）利用函数的单调性求解；（ii）根据题意，得到f(m2【解答过程】（1）当a=−2时，x⩾0时，f(x)=−x设x<0，则−x>0，f(−x)=−(−x)因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)=−(−x所以f(x)=x（2）(i)当x⩾0时，f(x)=−x因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，所以即a的取值范围为−∞(ii)因为因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，所以函数f(x)在R上单调递减，所以m2即t>−m2−m+1因为−m所以t>−1，即实数t的取值范围为(−1,+24．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数f(x)=x(1)若g(x)=f(x)−2，判断g(x)的奇偶性（不用证明）．(2)当a=12时，先用定义法证明函数f(x)在1,+∞上单调递增，再求函数f(x)(3)若对任意x∈1,+∞，f(x)>0恒成立，求实数【解题思路】（1）利用奇函数的定义即可求解；（2）利用函数的单调性及函数的最值的定义即可求解；（3）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）g(x)为奇函数．理由如下：g(x)=f(x)−2=x+a函数g(x)的定义域为xx≠0g(−x)=−x−a所以g(x)是奇函数．（2）当a=12时，∀x1,所以f(x因为1≤x所以x1−x2<0所以(x1−x2所以函数f(x)在1,+∞所以函数f(x)在1,+∞上的最小值为f(1)=（3）若对任意x∈1,+∞，则x所以问题转化为a大于函数φ(x)=−(x2+2x)φ(x)=−(x2+2x)=−由二次函数函数的性质知，开口向下，对称轴为x=−1，所以函数φ(x)在1,+∞所以φ(x)最大值为φ(1)=−3，即a>−3.所以实数a的取值范围是(−3,+∞25．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）已知fx=ax2+bx+c4+(1)求fx(2)判断函数fx在−2,2上的单调性（不用证明），并求使f2t+1+f(3)设函数g(x)=x2−2mx+4(m∈R)，若对任意x【解题思路】（1）确定函数为奇函数，f0=0，f1（2）确定函数单调递增，根据函数的奇偶性得到−2≤2t+1≤2−2≤（3）只要g(x2)max【解答过程】（1）x∈−2,2，且fx+f将x=0代入fx+f−x=0可得f0即fx=ax2+bx4+解得a=0b=1，故ffx=x4+x（2）设−2≤x1<∵−2≤x1<x2≤2，故函数fx=x4+x所以f2t+1+ft根据单调性及定义域可得：−2≤2t+1≤2−2≤t2−1≤22t+1<1−（3）只要g(x2)max<f(法一：g(x)=x2−2mx+4<15y=x+195x在1,95当x=1时，x+195x=245故当x=1时，x+195xmax法二：g(x)=x2−2mx+4=当m≤32时，g(x)max=g(2)<当m>32时，g(x)max=g(1)<15综上所述：m>12题型六题型六利用函数的性质解决有解问题26．（2022秋·湖北荆州·高一校联考期末）定义域为[−2，2]的奇函数fx满足，当x∈(1)求fx(2)若x∈−2,0时,fx≥【解题思路】（1）根据二次函数和一次函数的单调性可求解x∈0,2时的值域，根据奇函数的性质，即可求解[−2（2）将有解问题转化成最值问题，即可求解.【解答过程】（1）fx为定义在[−2，2]当x∈0，1时，fx=x2−x=x−1当x∈(1,2],f(x)=x−1单调递增，f2=2−1=1故x∈0,2时.fx∈−141，由于f（x）为定义在综上：f(x)∈−1,1（2）由（1）知：x∈−2,0时，f(x)∈−1,14，若x∈[−2,0)时，fx即t2≤9实数t的取值范围是[−32，327．（2023·全国·高一专题练习）已知函数y=fx的表达式fx=x+(1)函数y=fx在区间2,+∞上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数(2)设m<0，若不等式fx≤kx在x∈1【解题思路】（1）利用函数单调性定义，我们设2≤x1<x2（2）利用分离变量法，将k分离出来，发现题设转化为：存在x，x∈12,2，使得k≥mx2+【解答过程】（1）