高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第23练平面向量的基本定理及坐标运算(原卷版+解析)

第23练平面向量的基本定理及坐标运算一、课本变式练1.（人A必修二P36习题6.3T5变式）已知点，向量，则向量（

）A． B． C． D．2.（人A必修二P36习题6.3T10变式）与向量方向相同的单位向量为（

）A． B． C． D．3.（人A必修二P36习题6.3T9变式）已知平面向量，，若，则______．4.（人A必修二P36习题3.6T11变式）在平行四边形ABCD中，，，（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.二、考点分类练(一)向量的基底5．下列向量组中，能作为基底的是（

）A． B．C． D．6.设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和(二)向量基本定理的应用7．在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（

）A． B． C． D．8.（2022届江苏省木渎高级中学、苏苑高级中学高三下学期联合适应性检测）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．9．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．(三)根据向量共线求点或向量坐标10.（2022届东北三省四市教研联合体高三下学期模拟）已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．11.已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．12．（2022河南省南阳市高三下学期月考）已知，，若，，则点C的坐标______．(四)由向量共线求参数13．（2022届北京市密云区高三4月期中）已知，，，则的值为（

）A．2 B． C． D．14.已知＝(1，2)，＝(2，－2)，＝(λ，－1)，，则λ等于（

）A．－2 B．－1 C．－ D．15．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.三、最新模拟练16.（2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）已知向量．若，则实数（

）A． B．2 C． D．17.（2022届重庆市第八中学校高考全真模拟）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．518.（2022届广东省惠州市高三下学期一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（

）A．与能构成一组基底 B．C． D．19.（2022届湖北省十堰市竹溪县高三上学期月考）如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．20.（2022天津市耀华中学高三上学期第二次月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出___________.21.（2022江苏省徐州市沛县高三上学期学情调研）已知，，.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，，若与平行，求实数k的值.四、高考真题练22.（2022高考全国卷乙）已知向量,则（）A.2 B.3 C.4 D.523．(2021年高考全国卷乙)已知向量，若，则__________．24．(2018高考全国卷Ⅲ)已知向量，，，若，则．25．(2016高考全国卷Ⅰ)设向量，，且，则．五、综合提升练26．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．27.（2022届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期训练）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．28.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（

）A．B．C．D．29.（2022届天津市西青区高三上学期期末）在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______.30.如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______第23练平面向量的基本定理及坐标运算一、课本变式练1.（人A必修二P36习题6.3T5变式）已知点，向量，则向量（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，.故选C.2.（人A必修二P36习题6.3T10变式）与向量方向相同的单位向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】与同向的单位向量为，∵，故=.故选D.3.（人A必修二P36习题6.3T9变式）已知平面向量，，若，则______．【答案】6【解析】因为，，所以，又，所以，所以．4.（人A必修二P36习题3.6T11变式）在平行四边形ABCD中，，，（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示.（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示.【解析】（1），；（2）.二、考点分类练(一)向量的基底5．下列向量组中，能作为基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，因，则有，与不能作为基底；对于B，因，，则有与不共线，与可作基底；对于C，因，则有，与不能作为基底；对于D，因，则有，与不能作为基底.故选B6.设为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【解析】由题意可知，是不共线的两个向量，可以判断选项，，都可以做基底，选项，，故选项不能做基底．故选．(二)向量基本定理的应用7．在平行四边形中，设，，为的中点，与交于，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示，连接与交于，则为的中点，因为为的中点，所以为三角形的重心，所以.故选B.8.（2022届江苏省木渎高级中学、苏苑高级中学高三下学期联合适应性检测）如图所示，的面积为，其中，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，因为AD为BC边上的高，所以，因为M为AD的中点，所以，又因为，所以，所以.故选C.9．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．【答案】【解析】由已知，得，所以，因为，所以，，所以．(三)根据向量共线求点或向量坐标10.（2022届东北三省四市教研联合体高三下学期模拟）已知向量，，，若满足，，则向量的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为向量，，，所以，又，，所以，解得，所以向量的坐标为，故选D.11.已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【解析】由得，即，，，，，与同向的单位向量为，反向的单位向量为．故选C．12．（2022河南省南阳市高三下学期月考）已知，，若，，则点C的坐标______．【答案】【解析】设点的坐标为，则，，因为，，所以，因为，，所以，，所以，所以点C的坐标为(四)由向量共线求参数13．（2022届北京市密云区高三4月期中）已知，，，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】因为，，，所以，解方程可得，故选A.14.已知＝(1，2)，＝(2，－2)，＝(λ，－1)，，则λ等于（

）A．－2 B．－1 C．－ D．【答案】A【解析】∵＝(1，2)，＝(2，－2)，∴＝(4，2)，又＝(λ，－1)，，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A15．已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为____________.【答案】【解析】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以，所以.三、最新模拟练16.（2022届安徽省“皖南八校”高三下学期第三次联考）已知向量．若，则实数（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由题，因为，所以.故选A．17.（2022届重庆市第八中学校高考全真模拟）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．设，则由，可得则，解之得，则则又，则，解之得，即的长为4，故选C18.（2022届广东省惠州市高三下学期一模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（

）A．与能构成一组基底 B．C． D．【答案】BC【解析】连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；，所以，所以，B项正确；因为，由平行四边形法则可知，，C项正确；正八边形的每一个内角为，，所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D错误）.故选BC19.（2022届湖北省十堰市竹溪县高三上学期月考）如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（

）A． B．数列是等比数列C． D．【答案】ABD【解析】为中点，，，又、、三点共线，，又，，化简可得，，又，数列是首项为4、公比为2的等比数列.，，，.故选ABD20.（2022天津市耀华中学高三上学期第二次月考）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“刈股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出___________.【答案】【解析】设，，则，，因为和是等边三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，过点D作DG⊥AB于点G，设AG=m，DG=n，则BG=2-m，由勾股定理得：，解得：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立直角坐标系，则，，，，则，，，由得：，即，解得：，则21.（2022江苏省徐州市沛县高三上学期学情调研）已知，，.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，，若与平行，求实数k的值.【解析】(1)设，又因为，所以，因为，所以，得，所以.(2)由题意得，，，所以，，因为与平行，所以，解得.所以实数的值为.四、高考真题练22.（2022高考全国卷乙）已知向量,则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】因为,所以,故选D.由题意得,所以1,故选C.23．(2021年高考全国卷乙)已知向量，若，则__________．【答案】【解析】因为，所以由可得，，解得．24．(2018高考全国卷Ⅲ)已知向量，，，若，则．【答案】【解析】依题意可得，又，所以，解得．25．(2016高考全国卷Ⅰ)设向量，，且，则．【答案】【解析】由已知得：∴，解得．五、综合提升练26．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即，故选B27.（2022届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期训练）已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，故点A与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故选A28.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（

）A．B．C．D．【答案】ABCD【解析】因为，所以，即，所以，又由奔驰定理得，因为不共线，所以，所以，A正确；延长分别与对边交于点，如图，由得，所以，同理，所以是的垂心，所以四边形中，，所以，B正确；由得，所以，由选项B得，，，所以，C正确；由上讨论知，，，所以，又由选项C：，得，由奔驰定理：