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聚焦核心素养，提升思维能力—椭圆与双曲线的切线和焦点三角形的斜率性质解析几何是高中数学的重要内容，特别是圆锥曲线，在历年的高考题中占重要地位。此类题综合考查了学生的抽象概括能力，运算求解能力，数据处理能力等数学能力，体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算、数据处理等数学核心素养。在对圆锥曲线的研究中，笔者发现椭圆、双曲线的切线和焦点三角形三边的斜率之间的关系，有以下结论：命题1已知点是椭圆：上异于长轴两端点的任一点，分别是椭圆的左、右焦点。设直线的斜率分别为，过点作椭圆的切线，记切线的斜率为。延长直线分别与椭圆交于点，记直线的斜率为。若，则有（1），（2）。证明：（1）如图1，设点，因为，所以。而椭圆在点处的切线的方程为，所以。又因为，，所以有。（2）因为点在椭圆上，则有。由（1）可知切线的斜率，直线的方程为，与椭圆方程：联立后消去,得到。由韦达定理可知，，所以。又直线的方程为，同理也可得。，。解得。又，所以，为一个定值。对于双曲线的焦点三角形和它的切线，也有以下结论：命题2已知点是双曲线：上异于实轴两端点的任一点，分别是双曲线的左、右焦点。设直线的斜率分别为，过点作双曲线的切线，记切线的斜率为。延长直线分别与双曲线交于点，记直线的斜率为。若，则有（1），（2）。证明过程与命题1类似。证明：（1）如图2，设点，因为，所以。双曲线在点处的切线的方程为，所以。而，，所以有。（2）因为点在双曲线C上，则有。由（1）可知切线的斜率，直线的方程为，与双曲线方程：联立后消去,得到由韦达定理可知，，所以，同理可得。，。。又，所以有为一个定值。通过对上述2个命题的证明，又可以得到以下结论：结论1：已知点是椭圆：上异于长轴两端点的任一点，分别是椭圆的左、右焦点。设直线的斜率分别为，过点作椭圆的切线，记切线的斜率为。延长直线分别与椭圆交于点，记直线的斜率为。若，则有：。结论2：已知点是双曲线：上异于实轴两端点的任一点，分别是双曲线的左、右焦点。设直线的斜率分别为，过点作双曲线的切线，记切线的斜率为。延长直线分别与双曲线交于点，记直线的斜率为。若，则有。这两个结论由命题1和2显而易得。其实，圆锥曲线可以挖掘出多个优美统一的结论，未被发现的结论还有很多。只要多加思考，勇于猜想，勤于计算，定能收获很多意外的惊喜。当你的猜想得到证实的时候，你将会体会苦尽甘来，妙趣横生，其乐

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