等比数列专题(有答案)百度文库

一、等比数列选择题1．等比数列中，，，则等于（）A．16 B．32 C．64 D．1282．已知正项等比数列满足，，又为数列的前项和，则（）A．或 B．C． D．3．若1，，4成等比数列，则（）A．1 B． C．2 D．4．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）A． B． C． D．15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（）A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n6．已知等比数列的前项和为，若，且数列也为等比数列，则的表达式为（）A． B． C． D．7．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂.A．55989 B．46656 C．216 D．368．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）A．3 B．12 C．24 D．489．已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（）A． B． C． D．10．已知单调递增数列的前n项和满足，且，记数列的前n项和为，则使得成立的n的最小值为（）A．7 B．8C．10 D．1111．题目文件丢失！12．数列{an}满足(n∈N*)，数列{an}前n和为Sn，则S10等于（）A． B． C． D．13．已知等比数列中，，，则（）A． B． C． D．14．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为（）A．6 B．7 C．8 D．915．已知等比数列的通项公式为，则该数列的公比是（）A． B．9 C． D．316．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4 B．－4 C．±4 D．不确定17．正项等比数列的公比是，且，则其前3项的和（）A．14 B．13 C．12 D．1118．数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（）A．2016 B．1528 C．1504 D．99219．等比数列中各项均为正数，是其前项和，且满足，，则＝（）A． B． C． D．20．设数列的前n项和为，且，则（）A． B． C．3 D．7二、多选题21．已知数列的前项和为，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．22．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数若一台计算机有个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（）A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列23．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．当 B． C． D．24．记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（）A． B．C． D．25．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（）A．8 B．12C．－8 D．－1226．已知数列是是正项等比数列，且，则的值可能是（）A．2 B．4 C． D．27．已知数列的前项和为且满足，下列命题中正确的是（）A．是等差数列 B．C． D．是等比数列28．数列对任意的正整数均有，若，，则的可能值为（）A．1023 B．341 C．1024 D．34229．已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列30．数列的前项和为，若，，则有（）A． B．为等比数列C． D．31．已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．32．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列B．数列的通项公式为C．数列为等比数列D．数列的前项和为33．设是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，k是的间隔数，下列说法正确的是（）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B．已知，则是间隔递增数列C．已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是2D．已知，若是间隔递增数列且最小间隔数是3，则34．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列B．若数列的前项和，则数列为等差数列C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；35．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”，在数列中，若，下面哪些数不能作为数列的“谷值点”？（）A．3 B．2 C．7 D．5【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．A【分析】由，求得，再由求解.【详解】，.∴，∴.故选：A2．B【分析】由等比中项的性质可求出，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解.【详解】正项等比数列中，，，解得或（舍去）又，，解得，，故选：B3．B【分析】根据等比中项性质可得，直接求解即可.【详解】由等比中项性质可得：，所以，故选：B4．D【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，所以，即，解得，所以，所以，，当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.5．D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.6．D【分析】设等比数列的公比为，当时，，该式可以为0，不是等比数列，当时，，若是等比数列,则，可得，利用，可以求得的值，进而可得的表达式【详解】设等比数列的公比为当时，，所以，当时，上式为0，所以不是等比数列.当时，，所以，要使数列为等比数列，则需，解得.，，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若是等比数列，则，即可求得的值，通项即可求出.7．B【分析】第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．【详解】设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得数列成等比数列，它的首项为6，公比所以的通项公式：到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有只蜜蜂．故选：．8．C【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，由系数前项和公式求得，再由通项公式计算出中间项．【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为，则有，解得，中间层灯盏数，故选：C.9．D【分析】等比数列的各项均为正数，，，可得，因此，，．进而判断出结论．【详解】解：等比数列的各项均为正数，，，，，若，则一定有，不符合由题意得，，，故A、B正确．，，，故C正确，，故D错误，满足的最大正整数的值为12．故选：．10．B【分析】由数列与的关系转化条件可得，结合等差数列的性质可得，再由错位相减法可得，即可得解.【详解】由题意，，当时，，所以，整理得，因为数列单调递增且，所以，即，当时，，所以，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以成立的n的最小值为8.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列与关系的应用及错位相减法的应用.11．无12．B【分析】根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果.【详解】因为数列满足，，（）则，则，（），又满足，所以，因此.故选：B13．B【分析】根据等比中项的性质可求得的值，再由可求得的值.【详解】在等比数列中，对任意的，，由等比中项的性质可得，解得，，，因此，.故选：B.14．B【分析】设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，由题意得，解得，由此能求出该女子所需的天数至少为7天．【详解】设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，由题意得，解得，，解得．因为，该女子所需的天数至少为7天．故选：B15．D【分析】利用等比数列的通项公式求出和，利用求出公比即可【详解】设公比为，等比数列的通项公式为，则，，，故选：D16．A【分析】根据等比中项的性质有，而由等比通项公式知，即可求得x的值.【详解】由题意知：，且若令公比为时有，∴，故选：A17．B【分析】根据等比中项的性质求出，从而求出，最后根据公式求出；【详解】解：因为正项等比数列满足，由于，所以.所以，，因为，所以.因此.故选：B18．C【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可【详解】因为，所以，，，该数列从第5项到第15项的和为故选：C【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题19．D【分析】根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项.【详解】设等比数列的公比为.∵，∴，即.∴，∴或（舍去），∵，∴，∴，故选：D.20．A【分析】先求出，再当时，由得，两式相减后化简得，，则，从而得数列为等比数列，进而求出，可求得的值【详解】解：当时，，得，当时，由得，两式相减得，即，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以，故选：A二、多选题21．ACD【分析】在中，令，则A易判断；由，B易判断；令，，时，，裂项求和，则CD可判断.【详解】解：由，所以，故A正确；，故B错误；，，所以时，，，所以时，，令，，时，，，时，所以时，，故CD正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：已知与之间的关系，一般用递推数列的通项，注意验证是否满足；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.22．ABC【分析】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，可得，即可判断四个选项的正误.【详解】设第分钟之内新感染的文件数为，前分钟内新感染的病毒文件数之和为，则，且，由可得，两式相减得：，所以，所以每分钟内新感染的病毒构成以为首项，为公比的等比数列，所以，在第3分钟内，该计算机新感染了个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第分钟之内新感染的文件数为与前分钟内新感染的病毒文件数之和为之间的递推关系为，从而求得.23．BCD【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项，公比不同情况的讨论即可求得答案．【详解】，当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；，当，时，为摆动数列，故错误；，当，时，数列为递减数列，故错误；，若，且取负数时，则为摆动数列，故错误，故选：BCD．【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题．24．BC【分析】根据数列的增减性由所给等式求出，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断.【详解】数列{an}为单调递增的等比数列，且，，，解得，，即，解得或，又数列{an}为单调递增的等比数列，取，，，，.故选：BC【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题.25．AC【分析】求出等比数列的公比，再利用通项公式即可得答案；【详解】，当时，，当时，，故选：AC.【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题.26．ABD【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求．【详解】解：依题意，数列是是正项等比数列，，，，，因为，所以上式可化为，当且仅当，时等号成立．故选：．【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．27．ABD【分析】由代入已知式，可得的递推式，变形后可证是等差数列，从而可求得，利用求出，并确定的表达式，判断D．【详解】因为，，所以，所以是等差数列，A正确；公差为3，又，所以，．B正确；时，由求得，但不适合此表达式，因此C错；由得，∴是等比数列，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由，化已知等式为的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．28．AB【分析】首先可得数列为等比数列，从而求出公比、，再根据等比数列求和公式计算可得；【详解】解：因为数列对任意的正整数均有，所以数列为等比数列，因为，，所以，所以，当时，所以当时，所以故选：AB【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.29．ABD【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断.【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则，对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确；对于B，对于数列，有，为等比数列，B正确；对于C，对于数列，若，数列是等比数列，但数列不是等比数列，C错误；对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题.30．ABD【分析】根据的关系，求得，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.【详解】由题意，数列的前项和满足，当时，，两式相减，可得，可得，即，又由，当时，，所以，所以数列的通项公式为；当时，，又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的.故选：ABD.【点睛】本题考查利用关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题.31．CD【分析】根据数列满足，，得到，两式相减得：，然后利用等差数列的定义求得数列的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列满足，，，所以，两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列；偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列；所以数列的通项公式是，A.令时，，而，故错误；B.令时，，而，故错误；C.当时，，而，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；D.因为，令，因为，所以得到递增，所以，故正确；故选：CD【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.32．AD【分析】由已知可得，结合等比数列的定义可判断A；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断B；由可判断C；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.【详解】因为，所以．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比