第二章 《一元二次方程》-解析版

一、一元二次方程的概念二、一元二次方程的解三、配方法四、一元二次方程根的情况与判别式△的关系五、根与系数的关系（一）韦达定理计算（二）构建一元二次方程六、一元二次方程的应用一、一元二次方程的概念1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·1）（3分）下列方程一定是一元二次方程的是A． B． C． D．【考点】一元二次方程的定义【专题】一元二次方程及应用；符号意识【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；．是一元二次方程，故本选项符合题意；．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；．，整理得：，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．2．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·4）（3分）下面关于的方程中：①为常数）；②；③．一定是一元二次方程的个数为个．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】一元二次方程的定义【专题】符号意识；一元二次方程及应用【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）判断即可．【解答】解：①当时，不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是分式方程．一定是一元二次方程的个数为1个．故选：．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·3）（3分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（）A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣5【分析】先把方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，然后确定二次项系数和一次项系数．【解答】解：方程化为一般式为3x2﹣5x﹣4＝0，所以二次项系数、一次项系数分别是3，﹣5．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．4．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·1）（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3x2﹣5x＝6 B． C．6x+1＝0 D．2x2+y2＝0【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【解答】解：A、3x2﹣5x＝6是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；B、﹣2＝0是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、6x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、2x2+y2＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2次．5．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·1）（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．﹣5＝0 B．x+2y＝﹣5 C．x2＝5 D．3x2+xy＝5【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．【解答】解：A．是分式方程，故本选项不合题意；B．是二元一次方程，故本选项不合题意；C．是一元二次方程，故本选项符合题意；D．是二元二次方程，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·1）（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2﹣5xy﹣y2＝0 D．（x﹣3）（x+2）＝1【分析】根据一元二次方程的定义求解．【解答】解：A．是分式方程，故本选项不合题意；B．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不合题意；C．是二元二次方程，故本选项不合题意；D．符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．7．（2021-2022成都九年级（上）期中·1）（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝1【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．【解答】解：A、x+2y＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；B、x2﹣2＝0，是一元二次方程，符合题意；C、x＝2x3﹣3，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，不符合题意；D、3x+＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．8．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·2）（3分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±2【分析】利用一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）解答即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，∴，解得m＝﹣2，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．9．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·3）（3分）关于的方程是一元二次方程，则A．2或 B．2 C． D．0【考点】一元二次方程的定义；绝对值【专题】运算能力；一元二次方程及应用【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出的值即可．【解答】解：由题意可知：，且，所以且．所以．故选：．【点评】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件．二、一元二次方程的解（一）选择题1．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·3）（3分）若是方程的一个根，则的值是A．1 B．3 C． D．5【考点】一元二次方程的解【专题】推理能力；一元二次方程及应用【分析】把代入方程，即可得到一个关于的方程，求得的值．【解答】解：将代入得：，，故选：．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确求解的值是解决本题的关键．2．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·2）（3分）方程x（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝3 D．x＝3【分析】由因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【解答】解：∵x（x﹣3）＝0，∴x＝0或x﹣3＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选：C．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·4）（3分）若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝﹣1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可．【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+a＝0得1﹣3+a＝0，解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·4）（3分）若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m的值为（）A． B．2 C． D．﹣2【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解该新方程来求m的值即可．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+3＝0的解，∴12﹣2m+3＝0，解得，m＝2．故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．5．（2021-2022成都九年级（上）期中·5）（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．（二）填空题1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·11）（4分）若是方程的根，则代数式的值为．【考点】一元二次方程的解【专题】运算能力；一元二次方程及应用【分析】根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算的值．【解答】解：是方程的根，，，．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·12）（4分）如果x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个根，那么2021﹣4a+4b＝．【分析】根据一元二次方程解的定义得到a﹣b＝﹣1，再把2021﹣4a+4b变形为2021﹣4（a﹣b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2+bx+1＝0得a﹣b+1＝0，所以a﹣b＝﹣1，所以2021﹣4a+4b＝2021﹣4（a﹣b）＝2021﹣4×（﹣1）＝2025．故答案为：2025．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·12）（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是．【分析】设方程的另一个根为x2，根据两根之积列出关于x2的方程，解之可得答案．【解答】解：设方程的另一个根为x2，则2x2＝﹣6，解得x2＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．4．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·11）（4分）已知x＝1是一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一根，则k的值为．【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是x＝1，∴1+k﹣2＝0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·11）（4分）已知2是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是．【分析】把x＝2代入方程x2﹣2x+m＝0即可得答案．【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2x+m＝0得22﹣2×2+m＝0，解得m＝0．故答案为：0．【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．6．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·11）（4分）关于的一元二次方程的一个根是2，则．【考点】一元二次方程的解【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】把代入方程得：，然后解关于的方程即可．【解答】解：把代入方程，得，解得．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·21）（4分）根据表格中的对应值，一元二次方程其中一个解的取值范围是．3.13.23.33.40.291.76【考点】估算一元二次方程的近似解【专题】一元二次方程及应用；推理能力【分析】观察表格轴的数据，得到时，函数值；当时，函数值，则当时，的函数值有机会为0，由此可判断一元二次方程，、、为常数）一个解的范围为．【解答】解：的解，即为当时的取值，由图知，当，，，，在时，，故答案为：【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．三、配方法1．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1配方得（x﹣1）2＝2．故选：D．【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·5）（3分）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x＝﹣5，∴x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，故选：D．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．3．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·3）（3分）一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝21【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2+4x＝5，∴x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，故选：B．【点评】本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．4．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝4【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝4【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，∴（x﹣2）2＝1．故选：A．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·3）（3分）用配方法解方程时，原方程变形为A． B． C． D．【考点】解一元二次方程配方法【专题】配方法；一元二次方程及应用；运算能力【分析】把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．【解答】解：由可得：，则，即：，故选：．【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．7．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·4）（3分）一元二次方程配方后可化为A． B． C． D．【考点】解一元二次方程配方法【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．四、一元二次方程根的情况与判别式△的关系（一）选择题1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·8）（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】一元二次方程的解【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】关于的一元二次方程有两个实数根，即判别式△．即可得到关于的不等式，从而求得的范围．【解答】解：关于的一元二次方程有两个实数根，△，解得：故选：．【点评】此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·6）（3分）如果关于的一元二次方程有实数根，那么应满足的条件是A． B．且 C．且 D．【考点】一元二次方程的定义；根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且△，求出解集即可．【解答】解：关于的一元二次方程有实数根且△，解得：且，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义、解一元一次不等式和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．3．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·5）（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】根的判别式【专题】一元二次方程及应用【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△，建立关于不等式，求出的取值范围．【解答】解：，，，△，解得．故选：．【点评】考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·9）（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，解得k＞﹣且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·9）（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B．且 C． D．且【考点】一元二次方程的定义；根的判别式【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，即，解得且．故选：．【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．6．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·5）（3分）关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数解，那么m的取值范围是（）A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠2【分析】由于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要分m＝2和m≠2两种情况．【解答】解：（1）当m＝2时，原方程变为﹣2x+1＝0，此方程一定有解；（2）当m≠2时，原方程是一元二次方程，∵有实数解，∴Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3．所以m的取值范围是m≤3．故选：B．【点评】本题容易出现的问题是忽视分两种情况进行讨论，错误的认为原方程只是一元二次方程．7．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·5）（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠0【分析】根据“方程mx2﹣4x+2＝0是一元二次方程”，得到m≠0，结合“该方程有两个实数根”，得到△≥0，得到关于m的一元一次不等式，解之即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，∴m≠0Δ＝（﹣4）2﹣4×2m≥0且m≠0，解得：m≤2且m≠0，故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根；熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解题的关键．8．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·5）（3分）若一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≤4 C．a＜1 D．a≥1【分析】首先得出根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，进一步求得不等式的解集得出答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，∴△≥0，即Δ＝4﹣4a≥0，∴a≤1．故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．（二）填空题1．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·12）（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：根据题意得：Δ＝b2﹣4ac＝1+4（k﹣1）＝4k﹣3＞0，且k﹣1≠0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．2．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·11）（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．【考点】根的判别式【专题】一元二次方程及应用；应用意识【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△，解得．故答案为．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·21）（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0没有实数根，则直线y＝（a+1）x+a﹣1一定不经过的象限是．【分析】首先由一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0无实数根求出a的取值范围，然后判断一次函数y＝（a+1）x+a﹣1的图象一定不经过第几象限．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0无实数根，∴4+4a＜0，解得a＜﹣1，故a+1＜0，a﹣1＜0，故一次函数y＝（a+1）x+a﹣1的图象一定不经过第一象限；故答案为：第一象限．【点评】本题主要考查根的判别式Δ＝b2﹣4ac的情况，当Δ＝b2﹣4ac＜0，方程没有实数根，知道直线的斜率k和b就能判断直线不经过哪些象限．4．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·22）（4分）如果m是从1、2、3三个数中任取得一个数，n是2、3两个数中任取得一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．【分析】先列表得出所有等可能结果，再从中找到满足Δ＝（﹣2m）2﹣4n2≥0，即m2≥n2的结果数，继而利用概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：231（1，2）（1，3）2（2，2）（2，3）3（3，2）（3，3）由表可知，共有6种等可能结果，其中满足Δ＝（﹣2m）2﹣4n2≥0，即m2≥n2的有（2，2）、（3，2）、（3，3）这3种结果，∴关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．（三）解答题1．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·19）（10分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状；（2）若△ABC是等边三角形，试求这个方程的根；（3）若方程有两个相等的实数根，且a＝5，b＝12，求c的值．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；（2）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为2ax2+2ax＝0，然后利用因式分解法解方程；（3）根据判别式的意义得Δ＝4a2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，即a2+c2＝b2，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝﹣1，∴﹣2a+2c＝0，∴a＝c，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∴ax2﹣a+2ax+ax2+a＝0，∴2ax2+2ax＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．（3）∵b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，∴（b+c）x2+2ax+c﹣b＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4a2﹣4（b+c）（b﹣c）＝0，∴a2+c2＝b2，∵a＝5，b＝12，∴c＝．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·16）（6分）若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围后，再求非负整数值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个实数根，∴Δ＝42﹣4×1×2k＝16﹣8k≥0，解得k≤2．∴k的非负整数值为0，1，2．【点评】本题考查了实数的运算，一元二次方程根的情况与待定系数的关系的问题．3．（2021-2022成都九年级（上）期中·16）（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+（m﹣1）＝0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值．【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式得到Δ＝22﹣4（m﹣1）＞0，解不等式即可求出m的取值范围；（2）把x＝1代入原方程，即可求出m的值．【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝22﹣4（m﹣1）＝8﹣4m＞0，∴m＜2；（2）把x＝1代入原方程得：1+2+m﹣1＝0∴m＝﹣2．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式及解法，解不等式，掌握一元二次方程方程有两个不相等的实数根时一元二次方程根的判别式大于0是解本题的关键．4．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·18）（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程的一个实数根是2，求的值．【考点】一元二次方程的定义；根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于的不等式，可求得的取值范围；（2）把代入方程可求得的取值，注意的范围．【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，△且，即，解得且，的取值范围为且；（2）方程的一个实数根为2，，整理得解得，，且；即的值为．【点评】本题主要考查方程根的判别式及根的定义，利用根的判别式得到关于的不等式是解题的关键．五、根与系数的关系（一）韦达定理计算1．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·12）（4分）已知是关于一元二次方程的一个根，则另一根是．【考点】：一元二次方程的解；：根与系数的关系【专题】66：运算能力；523：一元二次方程及应用【分析】设方程的另一个根为，根据两根之积列出关于的方程，解之可得答案．【解答】解：设方程的另一个根为，则，解得，故答案为：．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·21）（4分）设、是方程的两个实数根，则的值为．【考点】根与系数的关系【专题】一元二次方程及应用【分析】由于、是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到，并且，然后把可以变为，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：、是方程的两个实数根，，并且，，．故答案为：2019．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．3．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·21）（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．【分析】根据m+n＝﹣＝﹣2，m•n＝﹣5，即可解题．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，∵m2+2m﹣5＝0∴m2＝5﹣2mm2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n＝10+m+n＝10﹣2＝8故答案为：8．【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·21）（4分）若m和n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，那么代数式的值为．【分析】根据韦达定理计算即可得到m+n和mn，再把变形，用m+n和mn表示，然后整体代入进行计算即可．【解答】解：∵m和n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，∴m+n＝4，mn＝﹣3，∴＝＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．5．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·21）（4分）设m、n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m﹣2022＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2022＝0，∴m2+m＝2022，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2022﹣1＝2021．故答案为：2021．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．6．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·21）（4分）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝．【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得a2+a＝2021，利用根与系数的关系可以求得a+b＝﹣1．将其代入所求代数式，可求解．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，∴a2+a＝2021，∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，故答案为：2020．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．7．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·21）（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2＝5，x1x2＝6，所以，x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝6﹣5＝1，故答案为1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．8．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·21）（4分）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝．【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得a2+a＝2021，利用根与系数的关系可以求得a+b＝﹣1．将其代入所求代数式，可求解．【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，∴a2+a﹣2021＝0，a+b＝﹣1，∴a2+a＝2021，∴a2+2a+b＝a2+a+a+b＝2021﹣1＝2020，故答案为：2020．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，解题时，采用了“整体代入”的数学思想．9．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·21）（4分）已知x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，且α+β＝α•β，则m的值为．【分析】利用根与系数的关系可以得到α+β＝m+3，αβ＝m2+1，再结合前面的等式即可求解．【解答】解：∵x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，∴α+β＝m+3，αβ＝m2+1，而α+β＝α•β，∴m+3＝m2+1，∴m2﹣m﹣2＝0，∴（m﹣2）（m+1）＝0，∴m＝2或﹣1，当m＝﹣1，方程为x2﹣2x+2＝0，此方程没有实数根，故答案为：2．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的应用，解一元二次方程，关键是利用根与系数得到关于m的方程．10．（2021-2022成都九年级（上）期中·21）（4分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝．【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2021﹣a﹣b变形为2021﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，所以a+b＝1，所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．故答案为：2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．（2021-2022成都九年级（上）期中·22）（4分）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则＝．【分析】先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值，再把化为的形式代入进行计算即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，∴m+n＝﹣4，m•n＝﹣1，∴＝＝＝4．故答案为4．【点评】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．12．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·21）（4分）已知，为一元二次方程的两实数根，那么的值为．【考点】根与系数的关系【专题】运算能力；一元二次方程及应用【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据根与系数的关系得，，所以．故答案为：7．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．13．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·21）（4分）设，分别为一元二次方程的两个实数根，则．【考点】根与系数的关系【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】先由方程的解的概念和根与系数的关系得出，，将其代入原式计算可得．【解答】解：，分别为一元二次方程的两个实数根，，，则原式．故答案为：2019．【点评】本题主要考查根与系数的关系和方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．14．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·21）（4分）若、为方程的两个不相等的实数根，则的值为．【考点】根与系数的关系【专题】运算能力；整体思想；一元二次方程及应用【分析】根据根与系数的关系得到，；先对所求的代数式通分，然后利用整体思想计算．【解答】解：根据题意，得，．所以．故答案是：．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．15．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·18）（8分）已知关于的一元二次方程．（1）证明：不论为何值时，方程总有实数根．（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式【专题】一元二次方程及应用；运算能力【分析】（1）计算判别式的值得到△，利用非负数的意义得到△，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解关于的方程即可．【解答】（1）证明：△，不论为何值时，方程总有实数根；（2）根据题意得，，，，，整理得，解得，，的值为1或．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了根的判别式．16．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·27）（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ≥0，进而得到结论；（2）当两根一个大于5一个小于5时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与5的差的积小于零，列出不等式解之即可；（3）根据一元二次方程根与系数得关系，得到x1+x2和x1x2关于m的表达式，整理n＝x12+x22﹣8，得n＝（m﹣2）2﹣4，即可得到答案．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，∴不论m取何实数，该方程总有两个实数根；（2）设两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，∴2m﹣4﹣5m+25＜0，解得：m＞7，∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m的取值范围是m＞7；（3）根据题意得：x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，n＝x12+x22﹣8＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣8＝m2﹣2（2m﹣4）﹣8＝m2﹣4m＝（m﹣2）2﹣4，即n＝（m﹣2）2﹣4，经过（﹣3，21）．【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，坐标与图形性质，正确掌握根的判别式和一元二次方程根与系数的关系以及坐标与图形性质是解题的关键．17．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·16）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；（2）由，是关于的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系可得出，，结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论，即可确定．【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个实数根，△，∴（2），是关于的一元二次方程的两个实数根，，．，，即，解得：，．又，．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）利用△，找出关于的一元一次不等式；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．（二）构建一元二次方程1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·21）（3分）（2016秋•龙泉驿区期末）若实数，满足，，则．【考点】：根与系数的关系【专题】34：方程思想；35：转化思想；11：计算题【分析】由于，满足，，因此可以把、看作方程的两个根，然后利用根与系数的关系可以得到，，再把所求代数式通分即可求解．【解答】解：若，实数，满足，，、看作方程的两个根，，，则．若，则原式．故答案为：2或【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，首先把已知等式转化为一元二次方程的问题，然后利用根与系数的关系即可解决问题．2．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·22）（4分）已知、，且，则．【考点】根与系数的关系【专题】运算能力；一元二次方程及应用【分析】由已知等式得到、分别为方程的两根，再利用根与系数的关系求出的值即可．【解答】解：，，且，、分别为方程的两根，．故答案为：．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·24）（4分）若α2﹣2α+k＝0，β2﹣2β+k＝0，且α2﹣α+β＝5，α≠β，则k＝．【分析】根据已知得：α和β是方程x2﹣2x+k＝0的两个根，由根与系数的关系得：α+β＝2，代入已知等式α2﹣α+β＝5，可得k的值．【解答】解：∵α2﹣2α+k＝0，β2﹣2β+k＝0，且α≠β，∴α和β是方程x2﹣2x+k＝0的两个根，∴α+β＝2，∵α2﹣α+β＝5，∴α2﹣2α+α+β＝5，∴﹣k+2＝5，∴k＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系和方程的解，明确x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝−，x1x2＝．六、一元二次方程的应用（一）选择题1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·9）（3分）九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为．则可列方程为A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】一元二次方程及应用；方程思想【分析】设每月增长率为，根据该公司六月份及八月份完成投寄的快递件数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设每月增长率为，根据题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·9）（3分）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是A． B． C． D．【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程【专题】123：增长率问题；16：压轴题【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设2，3月份平均每月的增长率是，那么可以用表示2，3月份的印刷科技书籍，然后根据题意可列出方程为．【解答】解：如果设2，3月份平均每月的增长率是，那么可以用表示2，3月份的印刷科技书籍分别是、，然后根据题意可列出方程为：．故选：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量得出是解题关键．3．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·9）（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为．则可列方程正确的是A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】应用意识；一元二次方程及应用【分析】直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而得出等式求出答案．【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为．则可列方程为：．故选：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量是解题关键．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·10）（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．【解答】解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝90．故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．5．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·7）（3分）为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2020年10月份该工厂的口罩产量为600万个，12月份产量为720万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（）A．600（1+2x）＝720 B．720（1﹣x）2＝600 C．600（1+x2）＝720 D．600（1+x）2＝720【分析】利用12月份的产量＝10月份的产量×（1+平均每月增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：600（1+x）2＝720，故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·9）（3分）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【分析】根据空白区域的面积＝矩形空地的面积可得．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故选：D．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．7．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·6）（3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900 C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝900【分析】首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积＝长×宽列出方程即可．【解答】解：设绿地的宽为x，则长为10+x；根据长方形的面积公式可得：x（x+10）＝900．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，记住长方形面积＝长×宽是解决本题的关键，此题难度不大．8．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·6）（3分）《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣4）2 B．82+（x+4）2＝x2 C．82+（x﹣4）2＝x2 D．x2+82＝（x+4）2【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：设木柱长为x尺，可列方程为x2+82＝（x+4）2，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2021-2022成都九年级（上）期中·10）（3分）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2＝36.4 B．10+10（1+x）2＝36.4 C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4【分析】等量关系为：一月份利润+一月份的利润×（1+增长率）+一月份的利润×（1+增长率）2＝36.4，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4，故选：D．【点评】主要考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．10．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·9）（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为A． B． C． D．【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【解答】解：二月份的产值为：，三月份的产值为：，故第一季度总产值为：．故选：．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值，再根据题意列出方程即可．（二）解答题1．（2021-2022成都九年级（上）期中·17）（8分）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？【分析】用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程求得合适的解即可．【解答】解：设竹竿的长为x尺．由题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2．即：x2﹣12x+20＝0解得：x1＝2（不符题意，舍去），x2＝10．∴x＝10．答：竹竿的长为10尺．【点评】考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．2．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·18）（8分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【增长率问题】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．3．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·26）（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是斤（用含的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【销售问题】【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】（1）销售量原来销售量下降销售量，据此列式即可；（2）根据销售量每斤利润总利润列出方程求解即可．【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是（斤；（2）根据题意得：，解得：或，当时，销售量是；当时，销售量是（斤．每天至少售出260斤，．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解．4．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·26）（8分）商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价1元，每天可多售出2件．（1）设每件降价元，可以销售出件．（用的的代数式表示）（2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？（3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？【销售问题】【考点】：一元二次方程的应用；：二次函数的应用【专题】536：二次函数的应用；65：数据分析观念【分析】（1）一件衣服每降价1元，每天可多售出2件，则设降价元时，销售量为：；（2）由题意得：，整理得，然后利用因式分解法解即可；（3）把配成顶点式得到，然后根据二次函数的最值问题即可得到答案．【解答】解：（1）由题意得：销售的件数为，故答案为；（2）由题意得：，解得（舍去），，所以商场每天要盈利1200元，每件衣服降价20元；（3）由题意得：，，当时，有最大值，其最大值为1250，所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元．【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意列出二次函数关系式，再配成顶点式，当，，有最大值；当，，有最小值．也考查了一元二次方程的应用．5．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·26）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？【陷阱题】【考点】一元二次方程的应用【专题】一元二次方程及应用【分析】（1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为80列出方程求解即可；（2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米根据题意得：整理得：解得或，当时，（舍去）当时，长为10米，宽为8米．（2）设宽为米，根据题意得：，，解得：（舍去），，答：小路的宽为1米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．6．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·26）（8分）节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加和，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加和，求的值．【增长率问题】【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用【专题】一次方程（组及应用；应用意识【分析】（1）设改建座工厂，则重建工厂为座，根据改建座数不低于重建座数的4倍列出不等式求解即可；（2）设改建一座工厂花费亿元，重建一座为亿元，根据将花费资金156亿元列出方程求出；再根据2022年改建和重建的费用和等于2021年实际预算的基础上增加，列出方程求出．【解答】解：（1）设改建座工厂，则重建工厂为座，根据题意得：，解得：，至少改建80座工厂；（2）由（1）得：改建工厂80座，则此时重建工厂20座，设改建一座工厂花费亿元，重建一座为亿元，根据题意得：，解得，，由题意得：，解得：．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题中的等量关系列出方程．7．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·26）（8分）成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．（1）据市场调研发现，某工厂今年四月份共生产200个“蓉宝”，该工厂为增大生产量，平均每月生产量增加20%，则该工厂在今年第二季度（4、5、6月）共生产个“蓉宝”；（2）已知某商店以30元的单价购入一批吉祥物“蓉宝”准备进行销售，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？【销售问题】【分析】（1）利用该工厂在今年第二季度的产量＝4月份的产量+4月份的产量×（1+20%）+4月份的产量×（1+20%）2，即可求出该工厂在今年第二季度（4、5、6月）共生产728个“蓉宝”；（2）设每个“蓉宝”降价x元，则每个的销售利润为（30﹣x）元，每天可售出（40+8x）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（60﹣x）中即可求出销售单价应定为40元或55元．【解答】解：（1）200+200×（1+20%）+200×（1+20%）2，＝200+200×1.2+200×1.44＝200+240+288＝728（个）．故答案为：728．（2）设每个“蓉宝”降价x元，则每个的销售利润为（60﹣x﹣30）＝（30﹣x）元，每天可售出（40+8x）个，依题意得：（30﹣x）（40+8x）＝2000，整理得：x2﹣25x+100＝0，解得：x1＝5，x2＝20，当x＝5时，60﹣x＝60﹣5＝55；当x＝20时，60﹣x＝60﹣20＝40．答：销售单价应定为40元或55元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．8．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·26）（8分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【销售+函数】【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式，即可求解；（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x的一元二次方程，通过解方程即可求解．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（1，110）、（3，130）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝10x+100；（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝总利润得出一元二次方程是解题关键．9．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·26）（8分）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨1元，其销量就减少20件．（1）试求涨价为多少元时，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？【销售问题】【分析】（1）设售价为x元，总利润为W元，则销售量为[200﹣20（x﹣10）]件，根据利润＝数量×每件的利润，求出W与x之间的函数关系式，再将W＝700代入解析式就可以求出售价；（2）将函数关系式化为顶点式就可以求出结论．【解答】解：（1）设售价为x元，总利润为W元，则销售量为[200﹣20（x﹣10）]件，由题意，得W＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]，W＝﹣20x2+560x﹣3200，当W＝700时，700＝﹣20x2+560x﹣3200，解得：x1＝13，x2＝15．∴13﹣10＝3，15﹣10＝5，∴要使每天获得的利润为700元，则涨价为3元或5元；（2）∵W＝﹣20x2+560x﹣3200，∴W＝﹣20（x﹣14）2+720．∴a＝﹣20＜0，∴W有最大值，∴x＝14时，W最大＝720．∴当售价定为14元时，才能使所赚利润最大，最大利润为720元．【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，二次函数的性质的运用，抛物线的顶点式的运用，解答时根据利润＝数量×每件的利润，求出W与x之间的函数关系式是关键．10．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·26）（8分）如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；（2）如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．【面积问题】【分析】（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为40米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）设BC的长为y米，则AB的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为50米2，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程的根的判别式Δ＝﹣24＜0，即可得出方程无解，即不能围成面积为50米2的花圃．【解答】解：（1）设BC的长为x米，则AB的长为米．根据题意，得整理，得x2﹣24x+80＝0．解得x1＝4，x2＝20．∵20＞15，∴x2＝20舍去．∴BC的长为4米；（2）不能围成．理由如下：设BC的长为y米，则AB的长为米．根据题意，得整理，得y2﹣24y+150＝0．∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，∴该方程无