空间向量与立体几何综合大题答案

在中，,则（0,0,0）,,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,（0，2，2）设平面的一个法向量则即可得xyxyz设平面的一个法向量则即可得二面角平面角的余弦值是（2）或在中，，AB=2,则BD=1可得D（，二面角平面角的余弦值是5．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD，，FC平面ABCD，AEBD，CB=CD=-CF．(Ⅰ)求证：平面ABCD平面AED；(Ⅱ)直线AF与面BDF所成角的余弦值(Ⅰ)证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，∴∠ADC=∠BCD=120°，又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD，且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，∴BD⊥平面AED，∴平面ABCD⊥平面AED．(Ⅱ)解：连结AC，由(Ⅰ)知AD⊥BD，∴AC⊥BC，又FC⊥平面ABCD，∴CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，设CB=1，则A（，0，0），B（0，1，0），D（，，0），F（0，0，1），∴=（，，0），=＝(0，−1，1)，=（-，0，1），设平面BDF的一个法向量为＝(x，y，z)，则，取z=1，则=（，1，1），所以=，∴直线AF与面BDF所成角的余弦值为6．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的两个三等分点PPMDCBAN（1）求证：AN∥平面MBD;（2）求异面直线AN与PD所成角的余弦值;（3）求二面角M-BD-C的余弦值.（1）证明：连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC中点，∵M、N为侧棱PC的三等分点，∴CM=MN，∴OM∥AN,∵平面MBD，AN平面MBD∴AN∥平面MBD（2）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz,则A（0,0,0），B（3，0,0）,C(3,6,0),D(0,6,0)P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2)∵∴异面直线AN与PD所成的角的余弦值为（3）∵侧棱PA⊥底面ABCD∴平面BCD的一个法向量为设平面MBD的法向量为并且，令y=1,得x=2,z=-2∴平面MBD的一个法向量为由图知二面角是锐角∴二面角的余弦值为.7．如图1，直角梯形中，，，，点为线段上异于的点，且，沿将面折起，使平面平面，如图2.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.解：（1）证明：∵，面，面，∴面，2分同理面，3分又，∴面面，4分又面，∴面.5分（2）法一：∵面面，又，面面，∴面.以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，∴当时，三棱锥体积最大.9分∵，∴，设平面的法向量，，∴，令，得平面的一个法向量，又面的一个法向量为，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦是.8．如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解：(1)平面，平面，由已知条件得：，，所以平面（5分）由（1）结合已知条件以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则：，，，，，所以7分设是平面的一个法向量，则，即：，取，则得：同理可求：平面的一个法向量10分设：平面和平面成角为，则12分9．如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．∵cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，∴n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝