2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的相反数为（）A．﹣ B． C．﹣ D．2．（3分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×1054．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝16．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．（3分）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，则FC的长为（）A．6 B．3 C．5 D．99．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，大于AB的长为半径作弧，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，则∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°10．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．（3分）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是．13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，OB，若∠OBA＝40°度．14．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，则摸出的小球是红球的概率是．15．（3分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，则蓄电池的电压U＝V．16．（3分）不等式组的解集是．17．（3分）若90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是．18．（3分）定义新运算：a※b＝ab+b2，则（2m）※m的运算结果是．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接DG，∠CDG＝，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，DE＝，则DF的长为．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，画出线段CD，AD；（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，BC交于点O，连接OE，直接写出的值．23．（8分）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点），在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．24．（8分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AB＝BC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，连接AE，点G在AB上，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下（线段CE除外）．25．（10分）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，BD．（1）如图1，求证：AC∥BD；（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，点G在BF上，连接EG，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，若DE﹣CM＝OE，＝，FG＝2，AC＝827．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，DF⊥OA，交PA于点C，点E在第二象限，连接EC，连接ED，过点E作ED的垂线，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交DG的延长线于点R，CM＝，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，连接AT，CT，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，求直线CT的解析式．

2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）﹣的相反数为（）A．﹣ B． C．﹣ D．【解答】解：﹣的相反数是．故选：B．2．（3分）剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B．图形是中心对称图形，故此选项不合题意；C．图形是轴对称图形，故此选项不合题意；D．图形既是轴对称图形又是中心对称图形形，故选：D．3．（3分）2020年11月10日，中国万米载人潜水器“奋斗者号”在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达10909m．将10909用科学记数法表示为（）A．1.0909×104 B．10.909×103 C．109.09×102 D．0.10909×105【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．故选：A．4．（3分）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一列两个相邻的正方形．故选：D．5．（3分）方程的解是（）A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x＝7 D．x＝1【解答】解：原方程去分母得：x+2＝3（x﹣7），整理得：x+2＝3x﹣12，解得：x＝5，检验：当x＝7时，（x+2）（x﹣6）≠0，故原方程的解为x＝7，故选：C．6．（3分）二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意，∵y＝2（x+1）7+3，∴当x＝﹣1时，y取最小值为6．故选：D．7．（3分）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去（）A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚【解答】解：第1个图棋子个数为4；第7个图棋子个数为2×4＝2；第3个图棋子个数为3×2＝12；因此：第四个图的棋子个数为4×4＝16；第五个图棋子个数为5×4＝20．故选：B．8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥AD交CD于点F，若AE：BE＝1：2，则FC的长为（）A．6 B．3 C．5 D．9【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴，即，解得FC＝6，故选：A．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，大于AB的长为半径作弧，N两点，作直线MN交BC于点D连接AD，则∠DAC＝（）A．20° B．50° C．30° D．80°【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∵分别以点A和点B为圆心，大于，两弧相交于M，作直线MN交BC于点D连接AD，∴DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝50°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣50°＝30°．故选：C．10．（3分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，y＝（）A．36L B．38L C．40L D．42L【解答】解：设当5≤x≤15时的直线方程为：y＝kx+b（k≠0）．∵图象过（8，30），50），∴．∴．∴y＝8x+20．令x＝9，∴y＝2×2+20＝38．故选：B．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠5．【解答】解：∵y＝，∴x﹣5≠6，故答案为：x≠5．12．（3分）把多项式2a2﹣18分解因式的结果是2（a+3）（a﹣3）．【解答】解：原式＝2（a2﹣8）＝2（a+3）（a﹣4），故答案为：2（a+3）（a﹣4）．13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，OB，若∠OBA＝40°50度．【解答】解：∵直线l是圆O的切线，切点是点A，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°，∵∠OBA＝40°，∴∠AOB＝90°﹣∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．14．（3分）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中6个红球，1个黑球，则摸出的小球是红球的概率是．【解答】解：∵从袋中任意摸出一个球，共有7种等可能结果，∴从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为，故答案为：．15．（3分）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，则蓄电池的电压U＝36V．【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，∴I＝．由图象可知，当R＝9时，∴U＝I•R＝4×4＝36（v）．答：蓄电池的电压是36v．故答案为：36．16．（3分）不等式组的解集是1＜x＜3．【解答】解：，由①得，x＞3，由②得，x＜3，∴原不等式组的解集为：1＜x＜7．故答案为：1＜x＜3．17．（3分）若90°圆心角所对的弧长是3πcm，则此弧所在圆的半径是6cm．【解答】解：∵l＝，∴r＝＝＝6（cm），故答案为：7cm．18．（3分）定义新运算：a※b＝ab+b2，则（2m）※m的运算结果是3m2．【解答】解：∵a※b＝ab+b2，∴（2m）※m＝8m•m+m2＝2m3+m2＝3m5．故答案为：3m2．19．（3分）△ABC是直角三角形，AB＝，∠ABC＝30°2或．【解答】解：若∠B＝90°，则AC＝；若∠C＝90°，则AC＝．20．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接DG，∠CDG＝，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，DE＝，则DF的长为．【解答】解：连接CE，设EF＝x，在矩形ABCD中，OA＝OC＝OD＝OB，则∠OBC＝∠OCB，∠AOB＝∠COD＝∠OBC+∠OCB＝2∠DBC，∵E是DG中点，∴OE∥BC，∴∠DOE＝∠DBC＝，EF＝，∵∠DCG＝90°，∴DE＝CE＝EG，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠CEG＝∠EDC+∠ECD，∵∠CDG＝∠AOB，∴，∴∠CEG＝∠DOE，∴△DOE∽△CEG，∴，∵AO＝3EF＝OD，DE＝，∴，∴EF＝8，∴．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值【解答】解：由题意，原式＝•﹣•＝﹣＝＝＝．又x＝3cos30°﹣tan45°＝2×﹣1＝﹣7，∴原式＝＝．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，画出线段CD，AD；（2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，BC交于点O，连接OE，直接写出的值．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：得到．∵每个小正方形的边长均为2个单位长度，∴等腰直角三角形EAD中，AD＝＝，∵O是平行四边形ABDC对角线的交点，∴DO＝，在Rt△EOD中，ED＝＝，∴EO＝＝＝＝，∴．23．（8分）威杰中学开展以“我最喜欢的研学地点”为主题的调查活动，围绕“在科技馆、规划馆、博物馆、航天馆四个研学地点中，你最喜欢哪一个地点？（必选且只选一个地点），在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）通过计算补全条形统计图；（3）若威杰中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢科技馆的学生共有多少名．【解答】解：（1）8÷20%＝40（名），答：在这次调查中，一共抽取了40名学生；（2）喜欢规划馆的人数为：40﹣14﹣10﹣8＝5（名），补全条形统计图如下：（3）800×＝280（名），答：估计该中学最喜欢科技馆的学生共有280名．24．（8分）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AB＝BC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，AB＝AC，CH⊥AD于点H，连接AE，点G在AB上，若∠FEC＝75°，在不添加任何辅助线的情况下（线段CE除外）．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO，在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：与线段CE相等的线段有：AE，DE，CF由（1）知：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC和△ADC为等边三角形，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，即CH为AD的垂直平分线，∴AE＝DE．同理：CE＝AE，∴AE＝DE＝EC．∵△ADC为等边三角形，CH⊥AD，∴∠ACH＝∠ACD＝30°，∵∠FEC＝75°，∴∠EFC＝180°﹣∠ACH＝∠FEC＝75°，∴∠EFC＝∠FEC，∴CF＝CE．∵△ABC和△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝CAD＝60°，∵CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ECA＝120，∴∠AEG＝∠AEC﹣∠FEC＝45°，∴△AGE为等腰直角三角形，AE＝AG，∴AG＝EC．25．（10分）春浩中学在校本课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织2个大号中国结和4个小号中国结需用绳20米；若编织1个大号中国结和3个小号中国结需用绳13米．（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米；（2）春浩中学决定编织以上两种中国结共50个，这两种中国结所用绳长不超过165米，那么该中学最多编织多少个大号中国结？【解答】解：（1）设编织1个大号中国结需用绳x米，编织1个小号中国结需用绳y米，由题意得：，解得：，答：编织1个大号中国结需用绳8米，编织1个小号中国结需用绳3米；（2）该中学编织m个大号中国结，则编织（50﹣m）个小号中国结，由题意得：2m+3（50﹣m）≤165，解得：m≤15，答：该中学最多编织15个大号中国结．26．（10分）在⊙O中弦AB，CD相交于点E，AE＝CE，BD．（1）如图1，求证：AC∥BD；（2）如图2，连接EO并延长交BD于点F，求证：∠BEF＝∠DEF；（3）如图3，在（2）的条件下，作OM⊥CD于点M，点G在BF上，连接EG，连接BH交AD于点T，交EG于点Q，若DE﹣CM＝OE，＝，FG＝2，AC＝8【解答】（1）证明：∵AE＝CE，∴∠A＝∠C，∵，∴∠C＝∠B，∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）证明：如图1，连接OD，OB，由（1）知，AC∥BD，∠C＝∠EBD，∴∠EDB＝∠C＝∠EBD，∴DE＝BE，∵OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠BEF＝∠DEF；（3）解：如图2，作AD的垂直平分线，交AB于W，作BV⊥CD于V，∴AW＝DW，∴∠BAD＝∠ADW，∴∠BWD＝∠BAD+∠ADW＝8∠BAD，∵∠DGE＝2∠BAD，∴∠DWB＝∠DGE，∵OM⊥CD，∴DM＝CM，∵DE﹣CM＝OE，∴DE﹣CM＝DE﹣DM＝EM＝OE，∴∠DEF＝30°，由（2）知，∠BEF＝∠DEF＝30°，DE＝BE，∴∠DEB＝60°，∴△BED是等边三角形，∴DE＝BD，∠BDE＝∠EBD＝60°，∴△BDW≌△BEG（AAS），∴DW＝EG，BW＝DG，∴EW＝BG，同理可得，△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝2，设EW＝BG＝a，则AW＝a+8，∴BE＝BD＝2BF＝5a+4，∴EF＝BE＝，∴DW2＝EG4＝EF2+FG2＝7（a+2）2+4，由DW＝AW得，3（a+2）2+4＝（a+8）4，∴a1＝6，a7＝﹣4（舍去），∴BD＝2a+7＝16，∵，∴∠ABH＝∠ADC，∠ADC＝∠ADH，∴点E、T、D、B共圆，∴∠BTD＝∠DEB＝60°，∠BTE＝∠BDE＝60°，∠ATE＝∠EBD＝60°，∵，∴∠ADB＝∠AHB，∴∠AHB＝∠AET，∵∠ATH＝∠BTD＝60°，∴∠ATH＝∠ATE，∵AT＝AT，∴△AHT≌△AET（AAS），∴∠HAT＝∠EAT，∵AD＝AD，∴△ADH≌△ADE（ASA），∴DH＝DE＝BD＝16，在Rt△BDV中，BD＝16，∴DV＝16•cos60°＝8，BV＝16•sin60°＝8，∴CV＝CD﹣DV＝24﹣8＝16，∴tan∠BCD＝＝，∴sin∠BCD＝，cos∠BCD＝，在Rt△EFG中，tan∠EGF＝，设QS＝4m，SG＝m，QG＝，在Rt△QBS中，tan∠DBH＝tan∠BHD＝tan∠BCD＝，∴，∴m＝，∴QG＝7m＝6，∴BG＝QG＝6，∴∠DBH＝∠BQG，∵∠EQT＝∠BQG，∠DBH＝∠BHD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠EQT，∵∠ATE＝∠BTE＝60°，ET＝ET，∴△ATE≌△QTE（ASA），∴AT＝QT，在Rt△AEN中，EN＝AE•sin∠BAD＝7×＝，AN＝AE•cos∠BAD＝8×＝，在Rt△ETN中，EN＝，∴NT＝＝，∴QT＝AT＝AN+NT＝．27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）．（1）求b．c的值；（2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，DF⊥OA，交PA于点C，点E在第二象限，连接EC，连接ED，过点E作ED的垂线，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交DG的延长线于点R，CM＝，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，连接AT，CT，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，求直线CT的解析式．【解答】解：（1）将点O（0，0）和点A（6x6+bx+c得，，∴，∴；（2）S＝yP＝＝；（3）如图1，作PJ⊥x轴于J，连接BF，作MW⊥BE于W，作NS⊥x轴于S，交SN于Q，则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°，把t＝﹣2代入y＝得，y＝，∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5，∴AJ＝PJ，∴∠PAJ＝45°，∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°，∴∠PAJ＝∠ACD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴可得四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°，∵CF＝CD＝BC，∴∠CFB＝∠CBF＝45°，∵FG∥AC，∴∠CFG＝∠ACD＝45°，∴点F、G、B共线，∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°，∴∠FBD+∠DEG＝180°，∴点G、E、D、B共圆，∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°，∴∠EGD＝∠EDG，∴EG＝ED，∵∠EVG＝∠DCE＝90°，∴∠EGV+∠VEG＝90°，∵∠DEG＝90°，∴∠DCE+∠VEG＝90°，∴∠DEC＝∠EGV，∴△EGV≌△DEG（AAS），