2024年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校中考数学模拟试卷（一）

第1页（共1页）2024年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校中考数学模拟试卷（一）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在下列实数中，属于无理数的是（）A． B．3.14159 C． D．2．（3分）“横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》．这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论．某物体如图所示，它的俯视图是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．＝±4 B．﹣＝2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a3b）2＝a6b24．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，中国每年浪费的食物总量折合粮食约1700万吨．将数据1700万用科学记数法表示为（）A．1.7×107 B．0.17×108 C．1.7×108 D．17×1075．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（）A．45° B．50° C．60° D．75°6．（3分）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形7．（3分）某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（）A．﹣30＝ B．＝﹣30 C．+30＝ D．﹣30＝8．（3分）如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2）1的坐标为（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）9．（3分）若a、b是方程x2+2x﹣2026＝0的两个根，则a2+3a+b＝（）A．2026 B．2027 C．2024 D．202910．（3分）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1.若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（）A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤50二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围为．12．（3分）因式分解：x2y﹣36y＝．13．（3分）如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位．14．（3分）若点P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，则x的取值范围是．15．（3分）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于度．16．（3分）袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.2．如果袋中有红球有3个个．17．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥CD，垂足分别为B，D，则EF＝cm．18．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，BC＝6cm，则的长为cm．三、解答题（本大题共8小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26小题每小题6分，共66分）19．（6分）计算：．20．（6分）先化简：，再从﹣2≤x≤2中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．21．（8分）某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a91.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可以求出：a＝，b＝，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？22．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1），（1）求反比例函数和一次函数的关系式．（2）根据图象直接写出不等式时，x的取值范围；（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以任意长为半径作弧，分别交AB，N，再分别以点M，N为圆心的长为半径作弧，两弧交于点P，交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E（1）求证：四边形AEDF为菱形；（2）当AB＝10，BC＝6时，求菱形AEDF的周长．24．（9分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧（0，5），且．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图1，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，使得△PQB是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）如图2，若点G为线段AB上的动点，过点G作GH∥BM交AM于点H．求△HGM面积的最大值；26．（10分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC为直径，交BC于点F．（1）若∠CBD＝33°，求∠CDF的度数；（2）连接BD，若CF：BF＝1：2，求DF：DB的值；（3）在（2）的条件下，①记△CEF，△CDE，△ADE分别为S1，S2，S3，若＝S1•S3，求∠ACB的度数；②若BD，AC交于点，试用含m的式子表示cos∠BDF．

2024年湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）在下列实数中，属于无理数的是（）A． B．3.14159 C． D．【解答】解：A、，是整数，故本选项不合题意；B、8.14159是有限小数，故本选项不合题意；C、是无理数；D、是分数，故本选项不合题意；故选：C．2．（3分）“横看成岭侧成峰”出自北宋苏轼的《题西林壁》．这句诗词说明用不同角度观察同一事物可能会有不同的结论．某物体如图所示，它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：根据俯视图的定义可知，它的俯视图是，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．＝±4 B．﹣＝2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a3b）2＝a6b2【解答】解：A．＝5；B．﹣＝2﹣＝；C．（a+b）5＝a2+b2+3ab，故此选项不合题意；D．（﹣a3b）2＝a7b2，故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，中国每年浪费的食物总量折合粮食约1700万吨．将数据1700万用科学记数法表示为（）A．1.7×107 B．0.17×108 C．1.7×108 D．17×107【解答】解：1700万＝17000000＝1.7×105，故选：A．5．（3分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1＝（）A．45° B．50° C．60° D．75°【解答】解：如图，由题意可知，∠4＝30°，∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，∴∠3＝90°﹣∠2＝45°，∴∠1＝∠3+∠4＝45°+30°＝75°，故选：D．6．（3分）下列命题为假命题的是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故A是真命题；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B是真命题；有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故C是假命题；有一组邻边相等的矩形是正方形，故D是真命题；故选：C．7．（3分）某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进x件，所列方程为（）A．﹣30＝ B．＝﹣30 C．+30＝ D．﹣30＝【解答】解：∵购进甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，且乙种款型的衬衫购进x件，∴甲种款型的衬衫购进7.5x件，依题意得：+30＝．故选：C．8．（3分）如图：△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，点B的坐标为（﹣1，2）1的坐标为（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）【解答】解：∵△AOB与△A1OB1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为3：3，2），∴点B6的坐标为[﹣1×（﹣3），6×（﹣3）]，﹣6）．故选：C．9．（3分）若a、b是方程x2+2x﹣2026＝0的两个根，则a2+3a+b＝（）A．2026 B．2027 C．2024 D．2029【解答】解：由题意知，a2+2a﹣2026＝6，a+b＝﹣2，∴a2+6a＝2026，∴a2+3a+b＝（a3+2a）+（a+b）＝2026﹣2＝2024，故选：C．10．（3分）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1＝9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1.若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（）A．0＜L＜35 B．L＞35 C．0＜L≤35 D．35≤L≤50【解答】解：由于弹簧秤在木杆的中点O的右侧，所以L≤50，又∵FL＝F1L1，即F＝＝≤7，∴L≥35，所以35≤L≤50．故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围为x＞2．【解答】解：∵代数式 有意义，∴x﹣2≥4且x﹣2≠0，∴x＞6，故答案为：x＞2．12．（3分）因式分解：x2y﹣36y＝y（x+6）（x﹣6）．【解答】解：x2y﹣36y＝y（x2﹣36）＝y（x+4）（x﹣6），故答案为：y（x+6）（x﹣8）．13．（3分）如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位（﹣2，﹣1）．【解答】解：由图可知，P点坐标为（﹣5，∵图标向右平移3个单位，再向下平移7个单位，∴P点横坐标加3，纵坐标减5，即﹣3+3＝﹣2，3﹣5＝﹣1，即P'的坐标为（﹣7，﹣1）．故答案为：（﹣2，﹣3）．14．（3分）若点P（3x﹣6，1﹣2x）在第二象限，则x的取值范围是．【解答】解：∵点P（3x﹣6，2﹣2x）在第二象限，∴，解①得：x＜2，解②得：，则x的取值范围是，故答案为：．15．（3分）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于144度．【解答】解：由于正多边形的中心角等于36°，360÷36°＝10，所以正多边形为正10边形，又因为其外角和为360°，所以其外角为360÷10＝36°，其每个内角为180°﹣36°＝144°．故答案为144．16．（3分）袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.2．如果袋中有红球有3个12个．【解答】解：设红球和黄球共x个，根据题意得：＝6.2，解得：x＝12，经检验x＝12是原方程的解，所以黄球和白球共有12个，故答案为：12．17．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥CD，垂足分别为B，D，则EF＝2cm．【解答】解：连接BD交AC于O，则AO＝CO，BO＝OD∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO＝＝3，∴AC＝3AO＝6（cm），∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴AE＝CF，∵AE＝CF＝（cm），∴EF＝AE+CF﹣AC＝2（cm），故答案为：2．18．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，BC＝6cm，则的长为cm．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝10（cm），∴OA＝5cm，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝CD，即△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∵OA＝OD，∴∠ADB＝∠DAC＝45°，∴∠AOD＝180°﹣∠DAC﹣∠ADB＝90°，∴的长度是＝．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题6分，第23，24题每小题6分，第25，26小题每小题6分，共66分）19．（6分）计算：．【解答】解：原式＝+3﹣2×+．20．（6分）先化简：，再从﹣2≤x≤2中选择一个合适的整数作为x的值代入求值．【解答】解：＝＝＝，∵﹣2≤x≤4且x为整数，∴x可取的值有﹣2，﹣1，2，1，2，由题可知要分式有意义，即x≠5，x≠﹣2，∴x可取的值有﹣1，2，取x＝﹣1代入上式得：上式＝，（取x＝7代入上式得：上式＝）．21．（8分）某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a91.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可以求出：a＝9，b＝10，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，∴a＝9，∵八年级A等级人数最多，∴b＝10，七年级成绩C等级人数为：25﹣4﹣12﹣5＝2（人），七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：故答案为：7，10；（2）七年级更好，理由：七，八年级的平均分相同，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．（3），答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有540人．22．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A（2，5），B（n，1），（1）求反比例函数和一次函数的关系式．（2）根据图象直接写出不等式时，x的取值范围；（3）若动点P在x轴上，求PA+PB的最小值．【解答】解：（1）将点A（2，5）坐标代入y＝得，m＝3×5＝10，所以反比例函数的解析式为y＝．将点B（n，1）坐标代入y＝得，n＝10，所以点B的坐标为（10，2）．将A，B两点坐标代入y＝kx+b得，，解得，所以一次函数解析式为y＝．（2）由函数图象可知，当x＜0或2＜x＜10时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，所以不等式得解集为：x＜0或2＜x＜10．（3）过点B作x轴的对称点B′，连接AB′，根据两点之间线段最短可知，当点P在AB′与x轴的交点处时，AP+PB′取得最小值．因为点B的坐标为（10，4），所以点B′的坐标为（10，﹣1），则AB′＝＝，所以PA+PB的最小值为10．23．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以任意长为半径作弧，分别交AB，N，再分别以点M，N为圆心的长为半径作弧，两弧交于点P，交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E（1）求证：四边形AEDF为菱形；（2）当AB＝10，BC＝6时，求菱形AEDF的周长．【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，由作图轨迹可知：AD为∠CAB的角平分线，∴∠CAD＝∠BAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝ED，∴▱AEDF为菱形；（2）解：∵AB＝10，BC＝6，∴，设菱形边长为x，则AF＝DF＝x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BCA，∴即，解得：，∴菱形AEDF的周长为．24．（9分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．【解答】解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，∵∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ•tan30°＝9×＝3．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M．由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，设AM＝a米，则BM＝7，∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，∴四边形AHQM是矩形，∴AH＝QM＝（3+2，QH＝AM＝a米，在Rt△APH中，tan∠PAH＝，∴＝，解得a＝2，∴AM＝2（米），BM＝5，∴AB＝＝＝6．答：电子眼区间测速路段AB的长2米．25．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧（0，5），且．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）如图1，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，使得△PQB是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）如图2，若点G为线段AB上的动点，过点G作GH∥BM交AM于点H．求△HGM面积的最大值；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C（0，3），∴OC＝5，∵，∴，∴OA＝1，即A（﹣1，∵抛物线y＝﹣x6+bx+c过点C（0，5），5），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x3+4x+5，∵y＝﹣x8+4x+5＝﹣（x﹣8）2+9，∴抛物线的顶点坐标M（2，9）；（2）∵﹣x2+3x+5＝0时，解得x4＝﹣1，x2＝3，∴B（5，0），∵OC＝OB＝4，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，过点C作DC⊥OC交BM于点D，如图1，∴∠DCO＝90°，∴∠DCB＝∠DCO﹣∠OCB＝45°＝∠OCB，由对称的性质可知，∠DBC＝∠QBC，∵BC＝BC，∴△DBC≌△QBC（ASA），∴CQ＝CD，∵∠DCB＝45°＝∠OBC，∴CD∥x轴，设直线BM的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线BM的解析式为y＝﹣3x+15，∴当y＝4时，有﹣3x+15＝5，解得，∴，即，∴