江苏省专转本（高等数学）模拟试卷8（共219题）

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷8（共9套）（共219题）江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第1套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf′(x)=f(x)+3x2。若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)。标准答案：由xf′(x)=f(x)+3x2，可得f′(x)一f(x)=3x，所以p=，q=3x，那么∫p(x)dx=一lnx，，∫q(x)e∫p(x)dx=∫3x.dx=3x，所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx。由题意可得：S=∫10(3x2+Cx)dx=(x3+)|10=1+=2，所以C=2。所以f(x)=3x2+2x。知识点解析：暂无解析2、设g(t)=，其中Dt是由x=t、y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续。标准答案：如图，画出积分区域，则f(x)dxdy=∫t0dx∫t0f(x)dy=∫t0tf(x)dx即g(t)=(1)根据函数连续定义，满足=∫t0f(x)dx=0=g(0)=a，所以a=0。(2)当t≠0时，g′(t)==f(t)t=0时，g′(0)==f(0)所以，g′(t)=f(t)。知识点解析：暂无解析3、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用z(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系：标准答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)=15+14x+32y一8xy一2x2一10y2一(x+y)=15+13x+31y一8xy一2x2一10y2于是令得驻点又L″xx(x，y)=一4，L″xy(x，y)=一8，L″yy(x，y)=一20，故B2—AC=64一(—4)×(一20)=一16<0，又A=一4<0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略。知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、证明：当x>0时<<成立。标准答案：证，(1)变形：=ln(1+x)一lnx，这是对数函数的增量形式令f(t)=Int，t∈[x，1+x]。(2)f(t)=Int在[x，1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)一lnx=(3)故有证毕！知识点解析：暂无解析5、设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是的一个原函数且F(x)G(x)=一1，f(0)=1，证明：f(x)=ex或f(x)=e一x。标准答案：证：(1)F(x).G(x)=一1，F′(x)G(x)+F(x)G′(x)=0f(x)G(x)+F(x)=0。f(x)+F(x)=0。F2(x)=f2(x)。(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即f(x)=f′(x)，=1lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex由f(0)=1，得C=1故有f(x)=ex(ii)若F(x)=一f(x)，即f(x)=一f′(x)lnf(x)=一x+C2，f(x)=Ce—x由f(0)=1，得C=1。故有f(x)=e—x证毕。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、已知∫f(x)dx=e2x+C，则∫f′(一x)dx=()。A、2e—2x+CB、e—2x+CC、一2e—2x+CD、e—2x+C标准答案：C知识点解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e2x，再两边求导，得f′(x)=4e2x，则f′(—x)=4e—2x,∫f′(—x)dx=∫4e—2xdx=—2∫e2xd(—2x)=—2e—2x+C，故选C项。7、在下列极限求解中，正确的是()。A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：=—1=0，而sin(x2+1)有界，所以sin(x2+1)=0，=28、下列级数中条件收敛的是()。A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：，而收敛，所以绝对收敛，因为，，收敛．故绝对收敛，为交错级数，且其通项的绝对值趋于0，据莱布尼兹准则知，它是收敛级数。另外，由于，而调和级数发散，据第一比较准则知发散，故此级数条件收敛。==∞发散。9、曲线y=x3一3x在开区间(0，1)内为()。A、单调上升，且上凹B、单调下降，且下凹C、单调上升，且下凹D、单调下降，且上凹标准答案：D知识点解析：当0＜x＜1时，y′=3x2一3＜0，y″=6x＞0。曲线单调下降，且上凹，故选D项。10、若直线l与Ox平行，且与曲线y=x—ex相切，则切点坐标为()。A、(1，1)B、(一1，1)C、(0，一1)D、(0，1)标准答案：C知识点解析：根据题意得：y′=1一ex=0x=0，代入得y=一1。11、f(x)=且f(x)在x=0处连续，则a的值为()。A、1B、0C、D、标准答案：C知识点解析：使用洛必达法则可知：，根据f(x)在x=0处连续，可知a=。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、设y=y(x)满足exy+sin(x2y)=y3，则y′(0)=____________。标准答案：知识点解析：x=0，y=1，exy(y+xy′)+cos(x2y)×(2xy+x2y′)=3y2y′代入得1+0=3y′(0)，所以y′(0)=。13、设函数y=2x2+ax+3在x一1处取得极小值，则a=____________。标准答案：一4知识点解析：由极值存在的必要条件知：，即4+a=0，故a=一4。14、z=ln，则=____________。标准答案：知识点解析：==，=。15、微分方程f′cosx—ysinx=1的通解为____________。标准答案：知识点解析：(ycosx)′=1ycosx=x+Cy=。16、设|a|=1，a⊥b，则a.(a+b)=____________。标准答案：1知识点解析：a.(a+b)=a.a+a.b，又a⊥ba.b=0，a.a=|a2|=1，所以a.(a+b)=1+0=1。17、曲线y=2x与y=log2x关于____________对称。标准答案：直线y=x知识点解析：因为函数y=22与y=log2x互为反函数，故关于直线y=x对称。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求。标准答案：原式==e2。知识点解析：暂无解析19、求∫xln(1+2x)dx。标准答案：∫x1n(1+2x)dx=ln(1+2x)dx2=x2ln(1+2x)一dx=x2ln(1+2x)—dx=x2ln(1+2x)—dx=x2ln(1+2x)——+C知识点解析：暂无解析20、将函数f(x)=xln(1+x)展开为x的幂函数(要求指出收敛区间)。标准答案：利用幂级数展开式，|x|<1，，|x|<1，g(x)=ln(1+x)，g(0)=0，g′(x)==(一1)nxn，|x|<1，两边同时积分得g(x)=g(x)一g(0)=(一1)ntndt=，一1，一1知识点解析：暂无解析21、设z=，其中f(u)可导，求+。标准答案：=yf(u)+xyf′(u)()=yf(u)一f′(u)，=xf(u)+xyf′(u).=xf(u)+yf′(u)，所以x.+y.=2xyf(u)=2x。知识点解析：暂无解析22、求函数f(x)=的间断点并判断其类型。标准答案：因为=1，=—1，故x=1是函数f(x)=的间断点，且是第一类跳跃间断点。知识点解析：暂无解析23、求f(x)=在[e，e2]上的最大值。标准答案：>0，x>1，所以，f(x)在[e，e2]上的最大值为：fmax===ln(e+1)—。知识点解析：暂无解析24、求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于2x+y，并且曲线通过原点。标准答案：因为曲线在任一点的切线斜率等于2x+y，所以y′=2x+y，即P=一1，q=2x，则∫Pdx=∫-dx=一x，∫qe∫pdxdx=∫2xe-xdx=—2∫xd(e—x)=—2xe-x—2e-x，其通解为y=e-∫p(x)dx(∫qe∫pdxdx+C)=ex(—2xe-x—2e-x+C)=2x—2+Cex，又因为曲线通过原点y(0)=0，所以一2+C=0，即C=2，所以y=2ex+2x一2知识点解析：暂无解析25、求微分方程y″=满足初始条件=2，=一1的特解。标准答案：所求方程属于y″=f(y′，y)型，不包含x，令y′=P，两边对x求导，有y″=，原方程化为或两边积分得ln(1+P2)=lny+lnC1所以1+P2=C1y，由初始条件y(0)=2，y′(0)=一1确定C1=1，于是有1+P2=y或P=±，再注意y′(0)=一1，可知P=，即=—dx.积分即得通解=一x+C2，由初始条件y(0)=2，得C2=2，因此所求特解为+x=2。知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第2套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、在直角坐标系的第一象限内作4x2+y2=1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。标准答案：解：根据题意画出图形：知识点解析：暂无解析2、某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x，y(千件)，甲厂的月生产成本是C1=x2-2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。标准答案：解：本题为求函数z=f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8在条件x+y-8=0下的条件极值。方法一：用拉格朗日乘数法总成本f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8，约束条件φ(x，y)=x+y-8=0，作辅助函数F(x，y)=x2+y2-2x+2y+8+λ(x+y-8)。令解得x=5，y=3。由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值，所以当x=5千件，y=3千件时使总成本最小，最小成本为f(5，3)=38千元。方法二：化条件极值为无条件极值总成本为z=f(x，y)=x2+y2-2x+2y+8，约束条件x+y-8=0，将y=8-x代入f(x，y)中，得z=x2+(8-x)2-2x+2(8-x)+8=2x2-20x+88z’x=4x-20，令z’x=0，得x=5。因为z”xx=4>0，所以x=5时z取极小值，又因为极值点唯一，所以x=5时，z取最小值，此时y=3，故x=5千件，y=3千件时，总成本最小，最小成本为：f(5，3)=38千元。知识点解析：暂无解析3、把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小。标准答案：解：设围成圆形的长度为x，面积设为S1，则围成正方形的长度为a-x，而面积记为S2，则S(x)=S1(x)+S2(x)，(0≤x≤a)。，所以x=时，圆形面积与正方形面积之和最小。知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：［∫01f(x)dx］2≥∫01f3(x)dx。标准答案：证明：首先证明不等式[∫0xf(t)dt]2≥∫0xf3(t)dt(0≤x≤1)。令F(x)=[∫0xf(t)dt]2-∫0xf3(t)dt，F’(x)=2∫0xf(t)dt·f(x)-f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt-f2(x)]，再令φ(x)=2∫0xf(t)dt-f2(x)则φ’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x)=2f(x)[1-f’(x)]。因为f(0)=0，f’(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0。又0≤f’(x)≤1，于是φ’(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0，所以又有F’(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0，从而有[∫01f(x)dx]2≥∫01f2(x)dx。知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、若，则下列正确的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：∵，∴选D项。6、下列函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是()。A、y=exB、y=1+｜x｜C、y=1-x2D、y=1-标准答案：C知识点解析：逐一验证：对于A项，y=ex，e-1≠e，不满足f(-1)=f(1)，选项B，y=1+｜x｜，在x=0处不可导，不满足，D项y=1-在x=0处不连续，故排除，选C项。7、设f(x)=x(x2-12)(x2-22)…(x2-n2)，则f’(0)=()。A、(n!)2B、(-1)n(n!)2C、n!D、(-1)nn!标准答案：B知识点解析：令g(x)=(x2-12)(x2-22)…(x2-n2)f(x)=x·g(x)f’(x)=g(x)+xg’(x)f’(0)=g(0)+0=(-1)2(-2)2……(-n)2=(-1)n(n!)2选B项。注：本题用导数定义计算更方便!8、设f(x)=alnx+bx3-3x在x=1，x=2取得极值，则a，b为()。A、a=，b=2B、a=2，b=C、a=，b=2D、a=-2，b=标准答案：B知识点解析：(1)∵f’(x)=+2bx-3x，f’(1)=0，∴a=3-2b。————①(2)∵f’(2)=0，a=6-8b，————②①－②得6b-3=0得b=代入①得a=2故a=2，b=。答案选B项。9、设e-2x是f(x)的一个原函数，则=()。A、2e-2xB、8e-2xC、-2e-2xD、4e-2x标准答案：D知识点解析：(1)原式＝＝-2f’(x)。(2)∵F(x)=e-2x，∴f(x)=(e-2x)’=-2e-2x。(3)原式=-2(-2)e-2x=4e-2x选D项。10、若f(x)的一个原函数为ln2x，则∫xf’(x)dx=()。A、lnx-ln2x+CB、2lnx+ln2x+CC、21nx-ln2x+CD、lnx+ln2x+C标准答案：C知识点解析：F(x)=ln2x，f(x)=F’(x)=，∫xf’(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=2lnx-ln2x+C，选C项。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、设y=y(x)满足exy+sin(x2y)=y3，则y’(0)=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：x=0，y=1，exy(y+xy’)+cos(x2y)×(2xy+x2y’)=3y2y’代入得1+0=3y’(0)，所以y’(0)=。12、设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值，则a=＿＿＿＿＿＿。标准答案：-4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’｜x=1=0，即4+a=0，故a=-4。13、=＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：。14、微分方程y’cox-ysin=1的通解为＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：(ycosx)’=1ycosx=x+Cy=。15、设｜a｜=1，a⊥b，则a·(a+b)=＿＿＿＿＿＿。标准答案：1知识点解析：a·(a+b)=a·a+a·b，又a⊥ba·b=0，a·a=｜a2｜=1，所以a·(a+b)=1+0=1。16、曲线y=2x与y=log2x关于＿＿＿＿＿＿对称。标准答案：直线y=x知识点解析：因为函数y=2x与y=log2x互为反函数，故关于直线y=x对称。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、设y=xtanx，求y’。标准答案：解：知识点解析：暂无解析18、分析的间断点，并指明其类型。标准答案：解：间断点为-1，1。f(-1-0)=-1，f(-1+0)=1，x=-1，第一类跳跃间断。f(1-0)=1，f(1+0)=-1，x=1，第一类跳跃间断。知识点解析：暂无解析19、求。标准答案：解：知识点解析：暂无解析20、设z=f(2x+3y，xy)其中f具有二阶连续偏导数，求。标准答案：根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令μ=2x+3y，ν=xy，=2f’μ+yf’ν。＝2(fmn·3+fmn·x)+y(ymn·3mn·x)+f’ν。因为二阶偏导在定义域内连续，所以fmn=f”m，合并得=6fmn+(2x+3y)fmn+xyfmn+f’ν。知识点解析：暂无解析21、在-1和2之间求值C，使y=-x，y=2x，y=1+Cx所围图形面积最小。标准答案：解：三直线所围区域如图，设其面积为S(C)，则：当-1＜C＜时S’(C)＜0；当＜C＜2时，S’(C)＞0，由极值点的唯一性知，当x＝时，三直线所围图形面积最小。知识点解析：暂无解析22、求。标准答案：解：因为为奇函数，为偶函数，所以原式知识点解析：暂无解析23、求2yy’+2xy2=的通解。标准答案：解：(y2)’+2xy2=，令u=y2，则，p=2x，q=，∫pdx=x2，所以，则，其中C为任意常数。知识点解析：暂无解析24、计算二重积分，其中D是第一象限内圆x2+y2=2x及直线y=0所围成的区域。标准答案：解：原式知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第3套一、综合题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设曲线y=x2(0≤x≤1)，问t为何值时，图中的阴影部分面积S1与S2之和S1+S2最小。标准答案：当t=时S1+S2最小知识点解析：(1)选择y为积分变量(2)S=S1+S2=(3)求极值t=为极小值点，由单峰原理，也是最小值点∴当t=时S1+S2最小。2、已知｜a｜=，｜b｜=1，，求p=a+b，q=a-b的夹角。标准答案：知识点解析：(1)cos(p，q)＝(2)∵｜P｜2=｜a+b｜2=(a+b)·(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2(a·b)=3+1+=7，又｜q｜2=｜a-b｜2=(a-b)·(a-b)=｜a｜2+｜b｜2-2(a·b)=3+1-=4-3=1，。二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、证明：当成立。标准答案：知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、若＝()。A、B、2C、3D、标准答案：C知识点解析：用变量代换求极限，令，x→0时，t→0，，故选C项。5、设F(x)是f(x)的一个原函数，则＝()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：，故答案为B项．6、，则k的值为()。A、1B、C、D、-2标准答案：B知识点解析：根据结论：。7、下列无穷积分收敛的是()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：。8、设y=f(x)为[a，b]上的连续函数，则曲线y=f(x)，x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形面积为()。A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：对于在[a，b]上函数f(x)有时取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值。9、的间断点有()。A、一个B、两个C、三个D、0个标准答案：B知识点解析：其定义域为x≥3，间断点为x=4，x=5。四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、设f(x)=(x500-1)g(x)，其中g(x)在x=l处连续，g(1)=4，则f’(1)＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：2000知识点解析：11、y=y(x)由ln(x+y)=exy确定，则x=0处的切线方程为＿＿＿＿＿＿。标准答案：y-e=(e2-1)x知识点解析：由ln(x+y)=exy，得(1+y’)=exy(y+xy’)，x=0，y=e，(1+y’)=e，k=y’(0)=e2-1，所以方程为：y-e=(e2-1)x。12、＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：知识点解析：。13、＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：1知识点解析：14、若函数为连续函数，则a+b＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：1知识点解析：b=-1，所以a+b=1。15、设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值，则a＝＿＿＿＿＿＿。标准答案：-4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’｜x=1=0，即4+a=0，故a=-4。五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)16、求极限。标准答案：解：原式。知识点解析：暂无解析17、求∫xln(1+2x)dx。标准答案：知识点解析：暂无解析18、将函数f(x)=xln(1+x)展开为x的幂函数(要求指出收敛区间)。标准答案：利用幂级数展开式，｜x｜<1，f(x)=ln(1+x)，f(0)=0。，｜x｜<1，两边同时积分得f(x)=f(x)-f(0)=，-1知识点解析：暂无解析19、设z=xyf，其中f(u)可导，求。标准答案：知识点解析：暂无解析20、求函数的间断点并判断其类型。标准答案：故x=1是函数的间断点，且是第一类跳跃间断点。知识点解析：暂无解析21、求在[e，e2]上的最大值。标准答案：解：，x>1，所以，f(x)在[e，e2]上的最大值为：知识点解析：暂无解析22、求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于2x+y，并且曲线通过原点。标准答案：解：因为曲线在任一点的切线斜率等于2x+y，所以y’=2x+y，即p=-1，q=2x，又因为曲线通过原点y(0)=0，所以-2+C=0，即C=2，所以y=2ex+2x-2。知识点解析：暂无解析23、求微分方程满足初始条件y｜x=0=2，y’｜x=0=-1的特解。标准答案：解：所求方程属于y”=f(y’，y)型，不包含x。令y’=P，两边对x求导，有，原方程化为，两边积分得ln(1+P2)=lny+lnC1所以1+P2=C1y。由初始条件y(0)=2，y’(0)=-1确定C1=1，于是有1+P2=y或，再注意y’(0)=-1，可知。积分即得通解＝-x+C2，由初始条件y(0)=2，得C2=2，因此所求特解为+x=2。知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第4套一、综合题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、A点(1，1)为y=x2上一点，过点A的切线为l．求l，y=x2与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：设A点坐标为(x0，x02)，由y’-2x，得切线方程为y-x02=2x0(x-x0)或x=由已知x03，所以x0=1，过点A(1，1)的切线方程为2x-y-1=0．切线与x轴交点为x=1／2，于是V=π∫01x4dx-π∫1／21(2x-1)2dx=知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)=ax3+bx2+cx-9具有如下性质：(1)在点x=-1的左侧临近单调减少；(2)在点x=-1的右侧临近单调增加；(3)其图形在点(1，2)的两侧凹凸性发生改变．试确定a，b，c的值．标准答案：由题意，得f’(-1)=0，驻点为(-1，0)，f"(1)=0，点(1，0)为拐点，f(1)=2，分别代入方程f’(x)=3ax2+2bx+c，f"(x)=6ax+2b，f(x)=ax3+bx2+cx-9得解得a=-1，b=3，c=9．知识点解析：暂无解析已知某厂生产x件产品的成本为C(x)=25000+200x+x2(元)，产品产量x与价格P之间的关系为：P(x)=440-x(元)．求：3、要使平均成本最小，应生产多少件产品?标准答案：平均成本令=0，得x=1000，由经济意义知平均成本有最小值且驻点唯一，故x=1000是最小值点，即当生产1000件产品时平均成本最小．知识点解析：暂无解析4、当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润．标准答案：L(x)=xP(x)-C(x)=440x-x2)=-x2+240x-25000．令L’(x)=-+240=0，得x=1600．由经济意义知利润有最大值且驻点唯一，故x=1600是最大值点．即当企业生产1600件产品时，可获最大利润．最大利润是L(1600)=167000(元)．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)5、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1，求证：[∫01f(x)dx]2≥∫01＜/subp＞f3(x)dx．标准答案：首先证明不等式[∫0xf(t)dt]2≥∫0xf3(t)dt(0≤x≤1)．令F(x)=[∫0xf(t)dt]-∫0xf3(t)dt，F’(x)=2∫0xxf(t)dt．f(x)-f3(x)=f(x)[2∫0xf(t)dt-f2(x)]，再令φ(x)=2∫0xf(t)dt-f2(x)则φ’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x)=2f(x)[1-f’(x)]．因为f(0)=0，f’(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0．又0≤f’(x)≤1，于是φ’(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0，所以又有F’(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0，从而有[∫01f(x)dx]2≥∫01(x)dx．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、=1，则常数k等于()．A、1B、2C、4D、任意实数标准答案：B知识点解析：由题意可知，x=2时，x2-3x+k=0k=2．7、下列命题中正确的是()．A、若x0是f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0B、若f(x)在(a，b)内有极大值也有极小值，则极大值必大于极小值C、若f’(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点D、若f(x)在点x0处可导，且点x0是f(x)的极值点，则必有f’(x0)=0标准答案：D知识点解析：暂无解析8、若x=2是函数y=x-ln(+ax)的可导极值点，则常数a值为()．A、-1B、1／2C、-D、1标准答案：C知识点解析：y=x-ln(=0．由题意得f’(2)=0，可知a=-．9、若y=arctanex，则dy=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：10、un收敛的()条件．A、充分B、必要C、充分必要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：由级数收敛定义、性质可知答案为B项．11、设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f’(x)=0的实根个数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：由于f(x)是四次多项式，故f’(x)=0是三次方程，有3个实根．四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、标准答案：知识点解析：本题是考查幂指函数求极限，先把极限变形为，此题是形如1∞型的不定式，可以利用两个重要极限公式的推广公式求解：注：等价无穷小替换cos，x→0+．13、函数f(x)=2x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______．标准答案：ξ=1知识点解析：由已知可得f’(x)=4x-1，令4x-1==3，解该方程即为满足拉格朗日定理的ξ=1．14、dxdy=_______，其中D为以点O(0，0)、A(1，0)、B(0，2)为顶点的三角形区域．标准答案：-1知识点解析：∫01xf’(x)dx=∫01xdf(x)=xf(x)|01-∫01f(x)dx=f(1)-3=2-3=-1．15、设f(x，y)=ln(x+=_______．标准答案：知识点解析：16、交换二次积分次序∫12dx∫1／xxf(x，y)dy=_______．标准答案：∫1／21dy∫1／y2f(x，y)dx+∫12dy∫y2f(x，y)dx知识点解析：由原二次积分可知原函数的积分区域D如图a，显然原二次积分是按X-型看待的，现在我们按照Y-型看待，如图b，则原二次积分可以写成∫1／21dy∫1／y2f(x，y)dx+∫12dy∫y2f(x，y)dx．17、微分方程yy’+xey=0满足y|x=1=0的特解为_______．标准答案：知识点解析：分离变量得-ye-ydy=xdx，两边积分得∫-ye-ydy=∫xdx，解得(y+1)e-y=+C，代入y|x=1=0，得C=1／2，即特解为(y+1)e-y=五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、标准答案：原式==e2．知识点解析：暂无解析19、求∫xln(1+2x)dx．标准答案：∫xln(1+2x)dx知识点解析：暂无解析20、将函数f(x)=xln(1+x)展开为x的幂函数(要求指出收敛区间)．标准答案：利用幂级数展开式=(-1)nxn，|x|＜1，xn，|x|＜1，f(x)=ln(1+x)，f(0)=0．f’(x)=(-1)nxn，|x|＜1，两边同时积分得f(x)=f(x)-f(0)=xn+1，-1＜x＜1．知识点解析：暂无解析21、设z=xyf(y／x)，其中f(u)可导，求x标准答案：=xf(u)+xyf’(u)．=xf(u)+yf’(u)，所以x．=2xyf(u)=2z．知识点解析：暂无解析22、求函数f(x)=的间断点并判断其类型．标准答案：因为=1，故x=1是函数f(x)=的间断点，且是第一类跳跃间断点．知识点解析：暂无解析23、求f(x)=∫exdt在[e，e2]上的最大值．标准答案：＞0，x＞1，所以，f(x)在[e，e2]上的最大值为：=ln(e+1)-知识点解析：暂无解析24、求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于2x+y，并且曲线通过原点．标准答案：因为曲线在任一点的切线斜率等于2x+y，所以y’=2x+y，即p=-1，q=2x，则∫pdx=∫-dx=-x，∫qe∫pdxdx=∫2xe-xdx=-2∫xd(e-x)=-2xe-x-2e-x，其通解为y=e-∫p(x)dx[∫qe∫pdxdx+C)=ex(-2xe-x-2e-x+C)=2x-2+Cex，又因为曲线通过原点y(0)=0，所以-2+C=0，即C=2，所以y=2ex+2x-2．知识点解析：暂无解析25、求微分方程y"=满足初始条件y|x=0=2，y’|x=0=-1的特解．标准答案：所求方程属于y"=f(y’，y)型，不包含x．令y’=p，两边对x求导，有y"=原方程化为两边积分得ln(1+p2)=lny+lnC1所以1+p2=C1y．由初始条件y(0)=2，y’(0)=-1确定C1=1，于是有1+p2=y或p=±再注意y’(0)=-1，可知p==-dx．积分即得通解2=-x+C2，由初始条件y(0)=2，得C2=2，因此所求特解为2+x=2．知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第5套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、求函数f(x)=x3一3x+1的单调区间和极值．标准答案：函数的定义域为(一∞，+∞)，f’(x)=3x2—3，令f’(x)=0，得驻点x1=一1，x2=1，列表得：函数f(x)的单调增区间为(一∞，一1)和(1，+∞)，单调减区间为[一1，1]．f(一1)=3为极大值，f(1)=一1为极小值．知识点解析：暂无解析2、已知—平面图形由抛物线y=x2、y=一x2+8围成．(1)求此平面图形的面积；(2)求此平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积．标准答案：用定积分求面积和体积，如图，(1)所围平面图形的面积为S=∫-22(8一x2一2x2)dx=(2)此平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为V=知识点解析：暂无解析3、已知某厂生产x件产品的成本C=25000+200x+(单位：元)．试问：(1)要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?标准答案：(1)设平均成本为y，则令y’=0，得x=10000，此即为所求．(2)设利润为L，则L=500x-(25000+200x+令L’=0，得x=6000，此即为所求．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设函数f(x)在[0，1]上具有二阶连续导数，且f(0)=f(1)=2证明：在(0，1)内至少存在一点ξ，使得2f’(ξ)+ξf’’(ξ)=0．标准答案：对f(x)在[0，1]上应用罗尔定理，知至少存在一点η∈(0，1)使f’(η)=0令F(x)=x2f’(x)则F(0)=F(η)=0对F(x)在[0，η]上应用罗尔定理，知至少存在一点ξ∈(0，η)c(0，1)使F’(ξ)=2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)=0因为ξ≠0，所以有2f’(ε)+ξf’’(ξ)=0知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、下列极限求解正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：6、函数的单调减少区间为()．A、(一∞，+∞)B、(一∞，一1)∪(一1，+∞)C、(0，+∞)D、(一∞，0)标准答案：B知识点解析：故区间为(一∞，-1)∪(一1，+∞)．故选B项．7、定积分∫02|x-1|dx=()．A、0B、2C、一1D、1标准答案：D知识点解析：原式=∫01(1一x)dx+∫12(x一1)dx==18、设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线部分∫Lxdy一2ydx的值为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，可表示为9、下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：10、设f(x)=，则f’(x)=()．A、sinx4B、2xsinx2C、2xcosx2D、2xsinx4标准答案：D知识点解析：利用变上限积分求导法则，f’(x)=sinx4(x2)’=2xsinx4．四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、设函数f(x)=在点x=0处连续，则常数k=_______．标准答案：ln2知识点解析：由连续的定义，所以k=ln2．12、若f(x)为可导的偶函数，则f’(0)=________．标准答案：0知识点解析：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(一x)=f(x)．(2)∵f(x)可导，∴一f’(一x)=f’(x)故一f’(0)=f’(0)，zf’(0)=0即f’(0)=0．13、设则∫01f(x)dx=_________．标准答案：知识点解析：令∫01f(x)dx=A，14、设a={m，3，一4}与b={2，m，3}互相垂直，则m=________．标准答案：知识点解析：∵a⊥b，∴a.b=0，2m+3m一12=0，15、平面x—y+z+3=0与平面2x一2y+2z+3=0之间的距离d=_______．标准答案：知识点解析：16、设则dz|(1,2)=_______．标准答案：知识点解析：五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、z=，求dz标准答案：知识点解析：暂无解析19、∫xf(x)dx=arcsinx+C，求标准答案：知识点解析：暂无解析20、若函数y=y(x)是由参数方程标准答案：知识点解析：暂无解析21、设y=f(x)满足y"-3y’+2y=2ex，其图形在(0，1)处与曲线y=x2一x+1在该点处切线重合，求f(x)表达式．标准答案：r2一3r+2=0得r1=1,r2=2，所以Y=C1ex+C2e2x，y*=Axex，则y*’=A(1+x)ex，y*"=A(2+x)ex，代入原方程得A(2+x)ex一3A(1+x)ex+2Axex=2ex，化简得A=一2．所以y*=2xex，所以y=C1ex+C2e2x一2xex，则y’=C1ex+2C2e2x一2(1+x)ex根据已知条件，图像经过点(0，1)，所以有y(0)=1；又切线的斜率k=(2x一1)|x=0=一1，所以有y’(0)=一1，这样就得到了两个初始条件，分别代入得C1+C2=1，C1+2C2—2=一1，解得C1=1，C2=0，因此y=ex一2xex．知识点解析：暂无解析22、求直线在平面x+y+2z一1=0上的投影线方程．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求二重积分[1+x3一(x2+y2)]dxdy，其中D为x2+y2≤2ay．标准答案：知识点解析：暂无解析24、将函数y=xlnx在x=1处展开为幂级数，并指出成立范围．标准答案：y=xlnx=(x一1)lnx+lnx=(x一1)ln(1+x一1)+ln(1+x一1)=知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第6套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、试求由抛物线(y一2)2=x一1和与抛物线相切于纵坐标y0=3处的切线以及x轴所围成图形面积．标准答案：抛物线(y一2)2=x一1，顶点在(1，2)，开口向右，切点y坐标为3，则x坐标为2，则切线斜率为k=y’|x=2，而．切线方程y一3=，改写成x=2y一4．S=∫03[(y一2)2+1一(2y一4)]dy=9．知识点解析：暂无解析2、从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?标准答案：设余下部分的圆心角为φ时所卷成的漏斗容积V最大，漏斗的底半径为r，高为h．知识点解析：暂无解析3、某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是其中x为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失元，问为了获得最大盈利，每天的生产量为多少?标准答案：设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品数为(x—xy)件．因为当x≥50时次品率为1，为获最大利润故必0≤x＜50．即x≈42．8或x≈59．25，舍去x≈59．25．比较u(0)=0，u(42)=166．4，u(43)=189．9的值，故日生产量为43件时，获得最大盈利．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)4、设b＞a＞0，证明：∫abdy∫ybf(x)e2x+ydx=∫ab(e3x—e2x+a)f(x)dx．标准答案：积分域积分域又可表示成∫abdy∫ybf(x)e2x+ydx=[*710]f(x)e2x+y=∫abdx∫axf(x)e2x+ydy=∫abf(x)e2xdx∫aye2ydy=∫ab(x)e2x(ex一ea)dx=∫ab(e3x一2x+a)f(x)dx．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、在下列极限求解中，正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：6、设y=f(x)可导，则f(x一2h)-f(x)等于()．A、f’(x)h+o(h)B、一2f’(x)h+o(h)C、一f’(x)h+o(h)D、2f’(x)h+o(h)标准答案：B知识点解析：7、设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则∫f’(2x)dx=()．A、cos4x+CB、cos4x+CC、2cos4x+CD、sin4x+C标准答案：A知识点解析：根据函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=一4sin2x，f’(2x)=一4sin2x，所以∫f’(2x)dx=∫-4sin4xdx=cos4x+C8、设二重积分的积分域D是x2+y2≤1，则等于()．A、B、4πC、3πD、5π标准答案：A知识点解析：积分区域D如图所示：0≤r≤≤1，0≤θ≤2π9、当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其余三个更高阶的无穷小量()A、x2B、1一cosxC、D、x—tanx标准答案：D知识点解析：当x→0时A中的x2与自己等价(即x2是x的2阶无穷小)；B中的1一cosx～(即1-cosx是x的2阶无穷小)；C中的是x的2阶无穷小)，从而A、B、C都是x的2阶无穷小；而只有D中的x—tanx是z的3阶无穷小．当x→0时，A中的x2与自己等价(即x2是x的2阶无穷小)；B中的(即1-cosx是x的2阶无穷小)；从而A、B、C都是x的2阶无穷小；而只有D中的x—tanx是x的3阶无穷小(因)，即D是比A、B、C都要高阶的无穷小，故选D.10、设函数，当x≠0时，f(x)一g(x)，若f(x)在x=0处连续，则f(0)=()A、0B、C、D、标准答案：C知识点解析：因f(x)在x=0处连续，所以．而x≠0时，f(x)=g(x)，故故选C.四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、设积分区域D={(x,y)｜0≤y≤x，x2+y2≤2x}，则二重积分等于__________.标准答案：知识点解析：12、的水平渐近线是____，垂直渐近线是_____．标准答案：y=1，x=1知识点解析：13、标准答案：知识点解析：设x=asect，dx=asecttantdt，换限：当x=a时，t=0;当x=2a时，t=于是14、设向量a=(2，4，一5)，b=(2，3，k)，若a与b垂直，则k=____．标准答案：知识点解析：15、二次积分标准答案：1知识点解析：16、交换积分的次序：∫1edx∫0lnx(x，y)dy=______.标准答案：知识点解析：画出积分区域D：1≤x≤e，0≤y≤lnx，见图改写D:0≤y≤1，ey≤x≤e便得原式=五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、设y=y(x)由方程1一y+xey=0确定，求标准答案：代入x=0，得y=0，即y(0)=1．原方程两边同时关于x求导得一y’+ey+xeyy’=0．代入y(0)=1，得y’(0)=e，即方程两边继续关于x求导得一y"+eyy’+(ey+xeyy’)y’+xeyy"=0，代入y(0)=1、y’(0)=e，得y"(0)=2e2，即知识点解析：暂无解析19、计算不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算定积分∫0πcos2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求过点M(2，2，1)且与平面π：2x—y+z—3=0平行，又与直线L：垂直的直线方程．标准答案：由已知可得平面π和直线L的法向量和方向向量分别为n0=(2，一1，1)，s0=(1，3，1)．取所求直线的方向向量为所以所求直线的方程为知识点解析：暂无解析22、设z=f(sinx，cosy，ex+y)，其中f有二阶连续偏导数，求标准答案：=f1’.cosx+f2’.0+f3’.ex+y=f1’cosx+ex+yf3’=cosx[f11".0+f12".(一siny)+f13".ex+y]+{ex+yf3’+ex+y[f31".0+f32".(一siny)+f33".ex+y]}=一f12"sinycosx+ex+y+ex+yf13"cosx+ex+yf32"siny+e2(x+y)f33"。知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛半径与收敛区间．标准答案：，所以R=3，则一3＜x一2＜3，即一1＜x＜5．所以收敛区间为[一1，5)．知识点解析：暂无解析24、计算二重积分其中D：x2+y2≤2x．标准答案：本题利用极坐标，令则r2≤2rcosθ，即r≤2cosθ．由x2+y2≤2x，得(x一1)2+y2≤1，则区域D如图显然区域D是关于x轴对称的，所以知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第7套一、综合题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)设函数y=f(x)满足方程xy'+y=x，且f()=0．1、求f(x)；标准答案：经整理得一阶线性微分方程y’+y=1，把f()=0代入上式，=0，得C=-1，所以y=f(x)=知识点解析：暂无解析2、求f(x)的单调增加区间．标准答案：y’=＞0，函数f(x)的单调增加区间为(-∞，0)∪(0，+∞)．知识点解析：暂无解析3、某公司年产量为x百台机床，总成本为C万元，其中固定成本为2万元，每产1百台增加1万元，市场上每年可销售此商品4百台，其销售总收入R(x)(单位：万元)是x的函数，R(x)=问每年生产多少台利润最大?标准答案：设每年的产量为x百台时利润为y万元．则y=R(x)-C(x)=令y’=0得x=3．计算y(0)=-2，y(3)=5／2，y(4)=2．故每年生产3百台时利润最大为y(3)=5／2万元．知识点解析：暂无解析4、f(x)=若f(x)在x=0处连续，求k，a的值．标准答案：根据连续的条件：f(x)=f(0)，=2e0=2，所以f(x)=2．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、证明函数f(x)=在x=0处连续，在x=0处不可导．标准答案：因为=0，所以=0，又f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处连续．因为，所以函数f(x)在x=0处不可导．知识点解析：暂无解析6、证明：当x＞-1时，标准答案：令F(x)=lnx-，显然，F(x)在(0，+∞)上连续．由于F’(x)=＞0，故F(x)在(0，+∞)上单调递增，于是，当0＜x＜1时，F(x)＜F(1)=0，即lnx＜，又(x2-1)lnx＞(x-1)2，故(x2-1)lnx＞(x-1)2当x≥1时，F(x)≥F(1)=0，即lnx≥，又x2-1≥0，故(x2-1)lnx≥(x-1)2．综上所述，当x＞0时，总有(x2-1)lnx≥(x-1)2．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、A、1／4B、1／2C、2D、4标准答案：B知识点解析：令．2=1／28、要使f(x)=ln(1+kx)m／x在点x=0处连续，应给f(0)补充定义的数值是()．A、kmB、k／mC、lnkmD、ekm标准答案：A知识点解析：∵=lnekm=km，∴f(0)=km，选A项．9、设f(x2)=x4+x2+1，则f’(1)=()．A、1B、3C、-1D、-3标准答案：C知识点解析：(1)∵f(x2)=(x2)2+x2+1，∴f(x)=x2+x+1．(2)f’(x)=2x+1，f’(-1)=-2+1=-1，选C项．10、已知f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)，则f’(x)=0有()．A、一个实根B、两个实根C、三个实根D、无实根标准答案：B知识点解析：(1)∵f(x)在[3，4]连续在(3，4)，可导且f(3)=f(4)=0，∴f(x)在[3，4]满足罗尔定理条件，故有f’(ξ1)=0(3＜ξ1＜4)．(2)同理f(x)在[4，5]满足罗尔定理有f’(ξ2)=0，4＜ξ2＜5．综上所述，f’(x)=0在(3，5)至少有两个实根(3)f’(x)=0是一元二次方程，至多有两个根，故选B项．11、已知f(x)的一个原函数为cosx，g(x)的一个原函数为x2，则f[g(x)]的一个原函数为()．A、x2B、cos2xC、cos2D、cosx标准答案：B知识点解析：(1)∵f(x)=(cosx)’=-sinx，g(x)=(x2)’=2x，∴f[g(x)]=-sin2x．(2)∵(cos2x)’=2cosx(-sinx)=-sin2x，∴选B项．12、设e-x是f(x)的一个原函数，则∫xf(x)dx=()．A、e-x(x+1)+CB、-e-x(x+1)+CC、e-x(1-x)+CD、e-x(x-1)+C标准答案：A知识点解析：∵F(x)=e-x，f(x)=F’(x)=-e-x，∴原式=∫xdF(x)=xF(x)-∫F(x)dx=xe-x-∫e-x=dx=(x+1)e-x+C选A项．四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)13、标准答案：3／2知识点解析：暂无解析14、f(x)=若f(x)在x=0处连续，则a=_______．标准答案：1知识点解析：因为在f(x)在x=0处连续，则15、设函数anxn的收敛半径为3，则级数nan(x-1)n+1的收敛区间为_______．标准答案：(-2，4)知识点解析：因级数anxn收敛半径为3，易知级数nan(x-1)n+1的收敛半径也为3，所以收敛区间为(-2，4)．16、曲线y=cosx，x∈[-]与x轴所围图形绕x轴旋转一周所成体积为_______．标准答案：知识点解析：17、曲线y=xlnx的平行于直线y=x+2的切线方程为_______．标准答案：y=x-1知识点解析：因为切线方程平行于直线，所以其斜率为k=1．18、设z=x／y，则全微分dz=_______．标准答案：知识点解析：五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)19、设y=xtanx，求y’．标准答案：y=xtanx==etanxlnxy’=etanxlnx．(sec2x．lnx+tanx．)=xtanx．()．知识点解析：暂无解析20、分析f(x)=的间断点，并指明其类型．标准答案：间断点为-1，1．f(-1-0)=-1，f(-1+0)=1，x=-1，第一类跳跃间断．f(1-0)=1，f(1+0)=-1，x=1，第一类跳跃间断．知识点解析：暂无解析21、标准答案：知识点解析：暂无解析22、设z=f(2x+3y，xy)其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：根据复合函数求偏导数法则，为方便表示令μ=2x+3y，v=xy，=2f’μ+yf’v。=2(fmn．3+fmn．x)+y(ymn．3mn?x)+f’v．因为二阶偏导在定义域内连续，所以fmn=f"m，合并得=6fmn+(2x+3y)fmn+xyfmn+f’v。知识点解析：暂无解析23、在-1和2之间求值C，使y=-x，y=2x，y=1+Cx所围图形面积最小．标准答案：三直线所围区域如图，设其面积为S(C)，则：当-1＜C＜1／2时S’(C)＜0；当1／2＜C＜2时，S’(C)＞0，由极值点的唯一性知，当x=1／2时，三直线所围图形面积最小．知识点解析：暂无解析24、求∫-11()dx．标准答案：因为为偶函数，所以原式=2∫01=ln(1+x2)|01=ln2．知识点解析：暂无解析25、求2xy’+2xy2=x的通解．标准答案：(y2)’+2xy2=x，令u=y2，则，∫pdx=x2，所以∫q(x)e∫pdxdx=∫ex2，则u=，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析26、计算二重积分dxdy，其中D是第一象限内圆x2+y2=2x及直线y=0所围成的区域．标准答案：原式=∫0π／2dθ∫02cosθ(1-r)rdr=∫0π／2[(r3|02cosθ]dθ=∫0π／2(2cos2θ-cos3θ)dθ=∫0π／2(1+cos2θ)dθ-∫0π／2(1-sin2θ)dsinθ知识点解析：暂无解析江苏省专转本（高等数学）模拟试卷第8套一、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf’(x)=f(x)+3x2．若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)．标准答案：由xf’(x)=f(x)+3x2，可得f’(x)一=3x，所以q=3x．那么∫p(x)dx=-lnx，∫q(x)e∫p(x)dx=．所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx．所以f(x)=3x2+2x．知识点解析：暂无解析2、设其中Dt是由x=t、y=t以及坐标轴围成的正方形区域，函数f(x)连续．(1)求a的值使得g(t)连续；(2)求g’(t)．标准答案：如图，画出积分区域，则(1)根据函数连续定义，满足=f(0)=g(0)=a，所以a=0．(2)当t≠0时，g’(t)=(∫0tf(x)dx)’=f(t)．所以，g’(t)=f(t)．知识点解析：暂无解析3、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用x(万元)及报纸广告费用y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14x+32y一8xy一2x2一10y2．问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?标准答案：广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)-C(x，y)=15+14x+32y一8xy一2x2-10y2一(x+y)=15+13x+31y一8xy一2x2一10y2又L"xx(x，y)=-4，L"xy(x，y)=一8，L"yy(x，y)=一20，故B2一AC=64一(一4)×(一20)=一16＜0．又A=一4＜0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略．知识点解析：暂无解析二、证明题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、设x∈(0，1)，证明：(1+x)ln2(1+x)＜x2．标准答案：原不等式等价于ln(1+x)＜一ln(1+x)，F(0)=0，F’(x)=当x＞0时，∴F’(x)＞0，F(x)在x＞0上严格单调上升，即F(x)＞F(0)=0．即原不等式得证．知识点解析：暂无解析5、f(x)=证明：(1)f(x)在x=0处可微；(2)f’(x)在x=0处不可微．标准答案：．∴f(x)在x=0处可微，(2)当x≠0时，f’(x)=因此结合结论(1)有于是，我们可以计算一下f’(x)在x=0是否可微，所以f’(x)在x=0处不可微．注：可微即可导．知识点解析：暂无解析三、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、在下列的极限求解中，正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：7、下列级数收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选项A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度)．B项用比较法通项，P≤1，发散，对于C，由于不存在，根据定义可知该级数发散，可排除．D项，根据莱布尼兹判别法，an≥0，an单调下降，且，收敛，故此级数条件收敛．8、设a=一i+j+2k，b=3i+4k，用b0表示b方向上的单位向量，则向量a在b上的投影为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据矢量b在a上的投影公式proja(b)=9、设f(x)在x=x0处可导，则f’(x0)=()．A、一4B、一2C、2D、4标准答案：B知识点解析：10、函数的水平渐近线方程是()．A、y=1B、y=2C、y=3D、y=0标准答案：C知识点解析：11、下列不定积分计算正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：四、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)12、设f(x)=(x500一1)g(x)，其中g(x)在x=1处连续，g(1)=4，则f’(1)=_______．标准答案：2000知识点解析：13、y=y(x)由ln(x+y)=exy确定，则x=0处的切线方程为_______．标准答案：y—e=(e2-1)x知识点解析：由ln(x+y)=exy，得=exy(y+xy’)，k=y’(0)=e2-1，所以方程为：y—e=(e2—1)x．14、标准答案：知识点解析：15、标准答案：1知识点解析：16、若函数为连续函数，则a+b=______．标准答案：1知识点解析：17、设函数y=2x2+ax+3在x=1处取得极小值，则a=_____．标准答案：一4知识点解析：由极值存在的必要条件知：y’|x=1=0，即4+a=0，故a=一4．五、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、设方程x2+y2+z2一4z=0确定z=z(x，y)，求标准答案：知识点解析：(1)F=x2+y2+z2一4z，Fx’=2x，Fy’=2y，Fz’=2z一4．19、计算D：x2+y2≤2x．标准答案：π知识点解析：(1)画出积分区域D∵D关于x轴对称，y关于y为奇函数，20、判别的敛散性．标准答案：收敛知识点解析：这是正项级数，∴由比较法非极限形式知收敛21、将f(x)=展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：22、求xydx+满足=y(一1)=2的特解．标准答案：知识点解析：23、已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为r1,2=1±2i，求此微分方程．标准答案：y"-2y’+5y=0知识点解析：(1)特征方程：(r一1-2i)(r一1+2i)=0，(r-1)2-(2i)2=0，(r一1)2一4i2=0(i2=一1)，r2一2r+1+4=0，r2一2r+5=0．(2)微分方程：y"一2y’+5y=0．24、设y=求y’及y"．标准答案：知识点解析：25、求曲线的凹凸区间与拐点．标准答案：拐点(0，一1)及(一∞，0)，(1，+∞)为凹区间，(0，1)为凸区间知识点解析：(1)定义域(一∞，+∞)．得x