新高考2025版高考数学一轮总复习练案60第十章第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理A组基础巩固一、单选题1．(2024·四川广安、眉山、内江、遂宁诊断)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能状况的种数为(B)A．15 B．30C．35 D．42[解析]发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的状况有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的状况有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能状况共有20＋10＝30(种)，故选B.2．(2024·辽宁省大连市模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(A)A．18种 B．9种C．6种 D．3种[解析]第一步：放1号球，有Ceq\o\al(1,3)＝3种方法；其次步：将剩余三个球分别放入剩余的三个盒子，有Aeq\o\al(3,3)＝6种方法；故符合题意的放法共有3×6＝18种．故选A.3．(2024·河南质检)从5名高校毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为(B)A．40 B．60C．100 D．120[解析]不同的选派方法有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝60种．4．(2024·湖南株洲质检)由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是(C)A．24 B．12C．10 D．6[解析]当个位数是0时，有Aeq\o\al(3,3)＝6个，当个位数是5时，有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝4个，所以能被5整除的个数是10，故选C.5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(B)A．243 B．252C．261 D．279[解析]由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.6．假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(D)A．48 B．18C．24 D．36[解析]第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．7．(2024·四川省自贡市诊断)从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为(C)A．6 B．12C．18 D．24[解析]由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种状况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)＋Aeq\o\al(2,3)＝18种．故选C.8．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(D)A．56 B．54C．53 D．52[解析]在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满意条件的对数值共有56－4＝52(个)．9．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且随意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有(C)A．288种 B．144种C．576种 D．96种[解析]依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)随意的两个汉字即不同行也不同列，其次个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．依据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．10．(2024·河北省唐山市一中冲刺)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有(B)A．4种 B．10种C．18种 D．20种[解析]分两种状况：①选2本画册，2本集邮册送给4位挚友，有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位挚友，有Ceq\o\al(1,4)＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．二、多选题11．(原创)在如图所示的电路中，下列结论正确的是(BCD)A．电路可形成5种不同的通路B．电路可形成6种不同的通路C．使电路接通的开关不同的闭合方式有21种D．使电路不通的开关不同的闭合方式有11种[解析]明显电路可形成2×3＝6种通路，A错，B对；要使电路接通1,2至少有一个闭合且3,4,5至少有一个闭合，不同状态有(22－1)×(23－1)＝21种，C对；又5个开关不同闭合状态有25＝32种，所以使电路不通的开关不同闭合方式有32－21＝11种，D正确．12．(原创)下列说法正确的是(CD)A．将4封信投入3个信箱中，共有64种不同的投法B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法C．五名学生争夺四项竞赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种D．用0,1，…，9十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为328[解析]4封信投入3个信箱有34＝81种不同投法，A错；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，将2个小球放入一个盒子中，另2个小球分别放入另两个盒子中，有3种方法，故共有15种放法，故B不正确；五名学生争夺四项竞赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．故C正确；个位为0的三位偶数有9×8＝72(个)，个位不为0的三位偶数有4×8×8＝256(个)，∴没有重复数字的三位偶数有256＋72＝328(个)．D正确．故选CD.三、填空题13．(2024·上海青浦区模拟)把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有20个．[解析]前2项递增，后3项递减的有Ceq\o\al(2,5)个．前3项递增，后2项递减的有Ceq\o\al(3,5)个，故共有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝20.14．(2024·辽宁省大连市模拟)甲、乙等五名志愿者被安排到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立担当一个岗位工作的分法共有72种．(用数字作答)[解析]第一步将人分四组有Ceq\o\al(2,3)＝3种方法，其次步支配岗位有Aeq\o\al(4,4)＝24种方法，则符合题意的不同方法有24×3＝72种．15．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成168个不同的三位数．[解析]要组成三位数，依据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8－1＝7个数；其次步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．B组实力提升1．(2024·贵阳模拟)现有2门不同的考试要支配在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试支配方案种数是(A)A．12 B．6C．8 D．16[解析]第一步确定日期有6种方案，其次步支配考试有2种方案，则不同考试支配有6×2＝12种，故选A.2.(2024·江西省萍乡市模拟)如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有(C)A．24 B．48C．96 D．120[解析]由表端点ABECD涂法432与A同色12与A不同色12知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(种)，故选C.3．(2024·河北唐山摸底)现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有(B)A．10种 B．14种C．20种 D．28种[解析]甲得3份乙得1份有4种方法．甲得2份乙得2份有6种方法．甲得1份乙得3份有4种方法．故不同的分法共有14种，选B.4．(2024·江苏泰州期末)党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教化一体化发展，高度重视农村义务教化，为了响应报告精神，某师范高校5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生安排到该山区的3所乡村小学，每所学校至少安排1人最多安排2人，则安排方案的总数为90.[解析]将5名毕业生按2,2,1分组，则方法有eq\f(C\o\al(2,5)·C\o\al(2,