湖南省长沙市雨花区华益中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

湖南省长沙市雨花区华益中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（）A．5.2×108 B．5.2×109 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣82．（3分）我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（）A．10 B．35 C．55 D．753．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，若AB+BC＝14cm，则四边形ABCD的周长为（）A．14cm B．20cm C．24cm D．28cm4．（3分）若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤5．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根6．（3分）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（）A．100（x+1）2＝331 B．100（x+1）+100（x+1）2＝331 C．100+100（x+1）2＝331 D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝3317．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（）A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm8．（3分）如图，已知点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（）A．5 B．6 C．7 D．89．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx与y＝x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）分式方程的解是．12．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于cm2．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根是x＝0，则另外一个根是．14．（3分）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，OE＝2，则BD的长为．16．（3分）如图，在坐标平面内，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（4分）计算：．18．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣2＝0；（2）x2﹣4＝2（x+2）．19．（6分）直线y＝x+2和直线y＝﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．求△ABC的面积．20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题：捐款（元）2050100150200人数（人）48n21（1）m＝，n＝；（2）学生捐款数目的众数是元，中位数是元，平均数是元；（3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝5，求BC的长．22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝8，求m的值．23．（10分）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？（2）若该景区要购买，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？24．（10分）【问题提出】已知：点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，如图1，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系．【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．【解决问题】（1）请你根据王明同学提供的思路探究线段BE，DF，EF之间的数量关系（直接写出结果）；（2）已知BE＝6，DF＝4，求正方形ABCD的面积．【思维拓展】如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，∠MAN＝45°．若CN＝24，MN＝26，求BM的长．25．（10分）已知点M（m，﹣m）、A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y＝x2的图象上，其中m＜0，x1＜m＜x2．（1）求m的值；（2）若直线AB经过点（﹣1，3），且△AMB的面积为3，求直线AB的解析式；（3）当x1≤x≤x2时，记二次函数y＝x2的最大值为P，最小值为Q，若x2﹣x1＝3，求P﹣Q的取值．

湖南省长沙市雨花区华益中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.0000000052mm，数据0.0000000052用科学记数法表示正确的是（）A．5.2×108 B．5.2×109 C．5.2×10﹣9 D．5.2×10﹣8【答案】C2．（3分）我国古代科举制度始于隋成于唐，兴盛于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按11：7：2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷录取人数为（）A．10 B．35 C．55 D．75【答案】A3．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，若AB+BC＝14cm，则四边形ABCD的周长为（）A．14cm B．20cm C．24cm D．28cm【答案】D4．（3分）若一次函数y＝（2m﹣3）x﹣1+m的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（）A．1＜m＜ B．1≤m＜ C．1＜m≤ D．1≤m≤【答案】B5．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A6．（3分）某棉签生产工厂2022年十月棉签产值达100万元，第四季度总产值达331万元，问十一、十二月份的月平均增长率是多少？设月平均增长率的百分数是x，则由题意可得方程为（）A．100（x+1）2＝331 B．100（x+1）+100（x+1）2＝331 C．100+100（x+1）2＝331 D．100+100（x+1）+100（x+1）2＝331【答案】D7．（3分）如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（）A．11cm B．13cm C．15cm D．17cm【答案】A8．（3分）如图，已知点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A9．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】C10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx与y＝x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：①b＝2；②PB＝PC；③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）分式方程的解是x＝3．【答案】x＝3．12．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于8cm2．【答案】8．13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根是x＝0，则另外一个根是2．【答案】2．14．（3分）已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为．【答案】．15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，OE＝2，则BD的长为4．【答案】4．16．（3分）如图，在坐标平面内，▱OABC的边OA在x轴的正半轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（1，2），点B在第一象限，将直线y＝﹣2x沿y轴向上平移m（m＞0）个单位．若平移后的直线与边AB有交点，则m的取值范围是4≤m≤8．【答案】4≤m≤8．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（4分）计算：．【答案】8﹣．18．（8分）解方程：（1）x2﹣4x﹣2＝0；（2）x2﹣4＝2（x+2）．【答案】（1），；（2）x1＝﹣2，x2＝4．19．（6分）直线y＝x+2和直线y＝﹣x+4相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．求△ABC的面积．【答案】△ABC的面积为9．20．（8分）某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题：捐款（元）2050100150200人数（人）48n21（1）m＝40，n＝5；（2）学生捐款数目的众数是50元，中位数是50元，平均数是74元；（3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？【答案】（1）40，5；（2）50，50，74；（3）111000元．21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，△AOB是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝5，求BC的长．【答案】（1）见解析；（2）．22．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且+＝8，求m的值．【答案】（1）且m≠0；（2）m＝223．（10分）某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？（2）若该景区要购买，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？【答案】（1）A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；（2）购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元．24．（10分）【问题提出】已知：点E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，如图1，探究图中线段EF，BE，DF之间的数量关系．【思路探索】王明同学的探究思路如下：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．【解决问题】（1）请你根据王明同学提供的思路探究线段BE，DF，EF之间的数量关系（直接写出结果）；（2）已知BE＝6，DF＝4，求正方形ABCD的面积．【思维拓展】如图2，△ABC中，∠BAC＝9