专题7 曲线的公切线问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计 (人教B版2019)

专题7曲线的公切线问题2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计(人教B版2019)课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析本节课的主要教学内容为曲线的公切线问题，该部分内容出自2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册同步教学设计（人教B版2019）的专题7。本节课的内容主要包括：

1.曲线的公切线定义及性质

2.公切线的求法及应用

3.曲线与切线的关系

教学内容与学生已有知识的联系：

学生在学习本节课之前，应已掌握函数的导数、曲线的切线等基础知识。本节课的内容与这些已有知识紧密相关，学生在学习本节课的过程中，可以借助已有知识更好地理解和掌握公切线的相关概念和性质。同时，通过本节课的学习，学生可以进一步深化对曲线与切线关系的理解，提高解决问题的能力。二、核心素养目标本节课的核心素养目标主要包括：

1.逻辑推理：通过学习曲线的公切线问题，培养学生运用逻辑推理能力，从已知条件出发，推导出公切线的性质和求法。

2.数学建模：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，将公切线问题应用于解决曲线与切线的相关问题。

3.直观想象：通过图形演示和实例分析，培养学生的直观想象能力，更好地理解曲线与切线之间的关系。

4.数学运算：在学习公切线求法的过程中，培养学生运用数学运算能力，准确计算出公切线的方程。

5.数学抽象：引导学生从具体曲线的实例中，抽象出公切线的概念和性质，培养学生数学抽象的能力。三、教学难点与重点1.教学重点：

-曲线的公切线定义及性质：理解公切线的概念，掌握公切线与曲线的关系，以及公切线的性质。

-公切线的求法及应用：学会使用导数求曲线的切线方程，并能应用于解决实际问题。

-曲线与切线的关系：理解曲线在某点的切线与曲线本身的相互关系，以及如何利用切线性质分析曲线特征。

2.教学难点：

-公切线的求法：引导学生理解并掌握利用导数求曲线在某点的切线方程的方法，特别是如何正确求出导数并判断单调性。

-应用公切线解决实际问题：学生往往难以将理论知识应用于解决实际问题，需要通过实例分析和练习题让学生加深理解。

-理解切线与曲线的交点性质：学生可能对切线与曲线交点坐标的求法感到困惑，需要通过图形演示和步骤讲解来帮助学生理解。

举例说明：

重点举例：在学习公切线性质时，强调公切线与曲线在切点处的切线平行，以及公切线与曲线在该点的切线斜率相等。

难点举例：在求解公切线方程时，引导学生利用导数求出曲线在某点的切线斜率，然后结合切点坐标求出切线方程。四、教学方法与手段教学方法：

1.引导法：通过提出问题，引导学生思考和探索曲线的公切线问题，激发学生的求知欲。

2.案例分析法：通过分析具体的曲线实例，让学生直观地理解公切线的性质和应用。

3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力和交流能力。

教学手段：

1.多媒体演示：利用多媒体设备展示曲线的图形和公切线的动态演示，增强学生的直观感受。

2.教学软件应用：利用教学软件进行动画演示和互动练习，提高学生的参与度和兴趣。

3.在线学习平台：利用在线学习平台提供丰富的学习资源和解题工具，方便学生自主学习和巩固知识。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对曲线公切线问题的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道曲线的公切线是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于曲线和切线的图片或视频片段，让学生初步感受曲线公切线的魅力或特点。

简短介绍曲线公切线的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.曲线公切线基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解曲线公切线的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解曲线公切线的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍曲线公切线的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

通过实例或案例，让学生更好地理解曲线公切线在数学和物理学中的应用或作用。

3.曲线公切线案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解曲线公切线的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的曲线公切线案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解曲线公切线的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际数学问题解决的影响，以及如何应用曲线公切线解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与曲线公切线相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对曲线公切线的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调曲线公切线的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括曲线公切线的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调曲线公切线在数学学习和问题解决中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用曲线公切线。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于曲线公切线应用的短文或报告，以巩固学习效果。六、学生学习效果1.知识掌握：学生能够准确理解和掌握曲线的公切线的定义、性质和求法，以及曲线与切线之间的关系。

2.逻辑推理能力：通过解决曲线公切线问题，学生的逻辑推理能力得到锻炼，能够从已知条件出发，推导出正确的结论。

3.数学应用能力：学生能够将公切线的理论知识应用于解决实际问题，提高数学应用能力。

4.直观想象能力：通过图形演示和实例分析，学生的直观想象能力得到提升，能够更好地理解曲线与切线之间的关系。

5.数学抽象能力：学生能够从具体曲线的实例中，抽象出公切线的概念和性质，提高数学抽象能力。

6.合作能力：通过小组讨论和合作解决曲线公切线问题，学生的合作能力得到培养，学会与他人共同解决问题。

7.自主学习能力：学生能够在教师的引导下，自主学习曲线公切线的相关知识，培养自主学习能力。

8.表达能力：通过课堂展示和点评，学生的表达能力得到锻炼，能够清晰地表达自己的观点和思路。

9.问题解决能力：学生能够运用所学的曲线公切线知识，解决实际问题，提高问题解决能力。

10.创新思维：学生在解决曲线公切线问题的过程中，能够提出创新的思路和方法，培养创新思维。七、板书设计1.重点知识点：

-曲线的公切线定义及性质

-公切线的求法及应用

-曲线与切线的关系

2.关键词：

-曲线

-公切线

-切线

-导数

-切点

-单调性

3.板书句子：

-“曲线的公切线：曲线在某点的切线。”

-“公切线的求法：利用导数求曲线在某点的切线方程。”

-“曲线与切线的关系：切线是曲线的局部性质，曲线是由无数切线组成的。”

4.艺术性和趣味性：

-使用图形和符号来表示曲线、切线和公切线，增加直观性。

-在板书设计中加入曲线和切线的示意图，让学生更直观地理解概念。

-使用不同颜色或字体来突出重点知识点，增加板书的吸引力。

-通过提问和互动的方式，引导学生参与课堂讨论，增加趣味性。八、典型例题讲解1.例题1：求曲线y=x^3在点(1,1)处的公切线方程。

解答：首先求出曲线在点(1,1)处的导数，即y'=3x^2。然后求出该点的切线方程，即y-1=3(x-1)。整理得到公切线方程为y=3x-2。

2.例题2：已知曲线y=sin(x)在点(π/2,1)处的公切线斜率为1，求该公切线方程。

解答：由于公切线斜率为1，所以曲线在点(π/2,1)处的导数为1。因此，切线方程为y-1=x-π/2。整理得到公切线方程为y=x+1-π/2。

3.例题3：求曲线y=e^x在点(1,e)处的公切线方程。

解答：首先求出曲线在点(1,e)处的导数，即y'=e^x。然后求出该点的切线方程，即y-e=e(x-1)。整理得到公切线方程为y=ex-e。

4.例题4：已知曲线y=x^2-2x+1在点(1,-1)处的公切线方程为y=2x-3，求该曲线的另一个方程。

解答：由于公切线方程为y=2x-3，所以曲线在点(1,-1)处的导数为2。因此，切线方程为y+1=2(x-1)。整理得到曲线的另一个方程为y=2x-3。

5.例题5：求曲线y=ln(x)在点(e,1)处的公切线方程。

解答：首先求出曲线在点(e,1)处的导数，即y'=1/x。然后求出该点的切线方程，即y-1=(1/e)(x-e)。整理得到公切线方程为y=(1/e)x+1-1/e。作业布置与反馈-题目1：求曲线y=x^3在点(1,1)处的公切线方程。

-题目2：已知曲线y=sin(x)在点(π/2,1)处的公切线斜率为1，求该公切线方程。

-题目3：求曲线y=e^x在点(1,e)处的公切线方程。

-题目4：已知曲线y=x^2-2x+1在点(1,-1)处的公切线方程为y=2x-3，求该曲线的另一个方程。

-题目5：求曲线y=ln(x)在点(e,1)处的公切线方程。

2.作业反馈：

-对学生提交的作业进行批改，检查解题步骤是否正确，答案是否准确。

-对于错误的解题步骤，指出错误的原因，并提供正确的解题方法。

-对于答案不准确的情况，指出计算错误的地方，并指导学生如何进行正确的计算。

-对于解题思路不清晰的学生，提供解题思路的指导，帮助他们理解和掌握解题方法。

-对于作业中表现优秀的学生，给予表扬和鼓励，增强他们的学习动力。

-对于作业中存在共性问题，在课堂上进行集体讲解和答疑，帮助全班学生共同提高。

-鼓励学生相互交流和讨论，共同解决作业中的问题，提高合作能力。

-针对不同学生的学习情况，提供个性化的学习建议和辅导，帮助每个学生提高学习效果。教学反思与总结在教学反思方面，我认为自己在教学方法和策略上做得比较好。通过引入实际案例，让学生更好地理解公切线在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣和主动性。同时，通过小组讨论和合作，培养学生的合作能力和解决问题的能力。但是，在教学管理方面，我发现自己在课堂纪律的维持上存在不足，有时候学生的注意力不够集中，影响了教学效果。

在教学总结方面，我认为本节课的教学效果总体上是好的。学生能够理解和掌握公切线的概念、性质和求法，通过案例分析和小组讨论，学生能够将理论知识应用于解决实际问题。同时，通过课堂展示和点评，学生的表达能力和问题解决能力得到锻炼。但是，在教学过程中，我发现学