5.2实际问题中的函数模型课件高一上学期数学北师大版

2实际问题中的函数模型第五章函数应用北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.能建立函数模型解决实际问题.3.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.基础落实·必备知识一遍过知识点1

实际问题的函数刻画1.在现实世界中,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.2.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质,使问题得到解决.通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的函数解析式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数据,再通过数据拟合得到的.思考辨析世界上很多事物间的联系可以用函数刻画,在试图用函数刻画两个变量的联系时,需要关注哪些要点?提示

先确定两个变量是谁;再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义;如果满足,就要考虑建立函数关系式.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(

)(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为y=-4x+200.(

)(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.(

)××√2.2014年我国人口总数约为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则预计

年我国人口将首次超过20亿(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg7≈0.8451).

20433.[人教B版教材例题]某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为l,如果要使围墙围出的场地面积最大,则矩形的长、宽各等于多少?解

设矩形的长为x时,场地的面积为S.因为矩形的周长要为l,所以矩形的宽为

(l-2x),即所围矩形是长、宽都为

的正方形时,场地面积最大.知识点2

数学建模1.定义:用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.2.过程:如下图所示.名师点睛常见的函数模型及其特点:(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k≠0).(2)一元二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其增长特点是函数值先减小后增大(a>0)或先增大后减小(a<0).(3)反比例函数模型:y=(k≠0)型,其增长特点是当x>0时,y随x的增大而减小(k>0)或y随x的增大而增大(k<0).(4)指数型函数模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).思考辨析幂函数一定比一次函数增长速度快吗?提示

幂函数的指数与一次函数的一次项系数不确定,两者的增长幅度不能比较.自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.(

)(2)当某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是y=2x.(

)(3)当a>1时,不存在实数x0,使ax0<<logax0.(

)√×√重难探究·能力素养速提升探究点一用函数图象刻画变化过程【例1】

(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系图象正确的是(

)A解析

前3年年产量的增长速度越来越快,只有A,C的图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.(2)(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中错误的有(

)A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油ABC解析

根据图象所给数据,逐个验证选项.根据图象知,当行驶速度大于40千米/时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错误;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.规律方法

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.变式训练1已知正方形ABCD的边长为4,动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是(

)D解析

依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;当4<x≤8时,f(x)=8;当8<x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合要求.探究点二建立一元二次函数模型解决实际问题【例2】

设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100).而分流出的从事第三产业的人员平均每人每年可创造产值1.2a万元.(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多?因此当0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=-(x2-110x)=-[(x-55)2-3

025].∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增,∴当x=50时,f(x)max=60a.即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最多.规律方法

求解本题时,应注意以下两点:一是x∈N+,二是第二、三产业的总产值每年增加量为剩余人员创造的产值与分流人员创造产值的和减去没有人员分流时创造的产值.变式训练2有A,B两城相距100km,在A,B两城之间距A城x

km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求其定义域.(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?

∵x≥10,且100-x≥10,∴10≤x≤90.∴函数的定义域为[10,90].探究点三建立指数型函数、对数型函数模型解决实际问题【例2】

设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100).而分流出的从事第三产业的人员平均每人每年可创造产值1.2a万元.(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多?(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增,∴当x=50时,f(x)max=60a.即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最多.规律方法

1.指数型函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利息、细胞分裂等问题都可以建立指数型函数模型来解决问题,建立函数解析式时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系,探寻内在的规律.2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.变式训练3大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数

,单位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8100个单位时,它的游速是多少?(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大?并说明理由.解

(1)将x=8

100代入函数关系式,得

,所以一条鲑鱼的耗氧量是8

100个单位时,它的游速是2

m/s.探究点四建立分段函数模型【例4】

WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min),按30元计费;超过500min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费,在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.(1)写出上网时间x(单位:min)与所付费用y(单位:元)之间的函数关系式.(2)12月份小王WAP上网使用量为20h,要付多少钱?(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?解

(1)由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为(2)当x=20×60=1

200(min)时,x>500,应付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500

min,由30+0.15(x-500)=90,解得x=900,所以10月份的上网时间为900

min.规律方法

1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个.变式训练4为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间满足关系式:

该企业职工每人每月工资为1200元,其他经营性费用为每月13200元.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?解

(1)设该企业职工人数为t,依题意p=52时,q=36时,则(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴p=55时,能更早还清贷款,又(100×450-1

200×20-13

200)×12=93

600,∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.探究点五拟合函数模型解决实际问题【例5】

某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:投资A种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.250.490.7611.261.51该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.解

以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图①②所示.图①

观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图①所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图②所示.图②

设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,所以y=0.25x.即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x,12-x(单位:万元),则0<x<12.设总纯利润为W(单位:万元),那么W=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6.当x=≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时12-x=8.8.即该经营者下月用3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大纯利润约为4.1万元.规律方法

解决拟合函数模型问题一般有以下步骤:(1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图.(2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,“点滴”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.变式训练5为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x(单位:cm)与当年灌溉面积y(单位:hm2).现有连续10年的实测资料,如下表所示:年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描出灌溉面积y随积雪深度x变化的数据点(x,y).(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象.(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉的土地面积是多少?解

(1)数据点分布如图①所示.图①

(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,得用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已图②

知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25

cm时,可以灌溉土地47.4

hm2.本节要点归纳1.知识清单:(1)用函数模型解决实际问题;(2)数据拟合与函数建模的优劣.2.方法归纳:数学建模.3.常见误区:实际问题中一是要注意自变量的取值范围,二是要检验所得结果,最后要将数学问题还原为实际问题.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.[探究点四]根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为

(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时15min,那么c和A的值分别是(

)A.75,25 B.75,16 C.60,25

D.60,16D1234567891011122.[探究点二]在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为(

)A.120 B.210C.225 D.300C解析

设矩形的长为x,宽为y,则以x为底的三角形和该锐角三角形相似,可得

y=30-x,则矩形面积S=xy=x(30-x)=-(x-15)2+225,当矩形长x=15时,面积S最大,为225.故选C.1234567891011123.[探究点三](多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少

则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(

)A.6 B.9 C.8 D.7BC1234567891011124.[探究点五·2024山东历下期末]随着物质生活的逐步提高,人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务.据机构统计,当线上吸引粉丝量不低于2万人时,其线下销售健身卡的利润y(单位:万元)随粉丝量x(单位:万人)的变化情况如下表所示.根据表中数据,我们用函数模型y=loga(x+m)+b进行拟合,建立y关于x的函数解析式.请你按此模型估测,当线上的粉丝量为33万人时,线下销售健身卡的利润大约为

万元.

1234567891011121234567891011125.[探究点三]物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降温到40℃需要20min,那么降温到35℃时,需要多少时间?(参考数据:lg11≈1.04,lg2≈0.30)1234567891011126.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为(

)A.亏5.20元

B.亏5.92元C.盈6元

D.盈5元B解析

可设A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.B级关键能力提升练1234567891011127.[2024山东历下期末](多选题)中国传统文化中有很多内容体现了数学的“对称美”,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种相互转化,相对统一的和谐美.定义:圆O的圆心在原点,若函数的图象将圆O的周长和面积同时等分成两部分,则这个函数称为圆O的一个“太极函数”,则下列说法正确的是(

)BD1234567891011121234567891011121234567891011128.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有aL水,桶A中的水不断流入桶B,tmin后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5min时,桶A和桶B中的水量相等,再过

min,桶A中的水只有

L.

101234567891011121234567891011129.如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.图①

图②

图③

由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是

,图③方案是

.

降低成本,票价不变

增加票价解析

由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.12345678910111212345678910111210.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为(5t-t2)万元.(