基本初等函数与应用讲义高考数学一轮复习

知识点一基本初等函数：指数函数【基础指数框架】1．指数函数的概念一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．2．指数函数的结构特征（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：ax的系数是____________．3.指数函数的定义域（1）对于这类函数:定义域是指使有意义的x的取值范围．（2）对于这类函数:定义域是R.4.指数函数的单调性（1）函数的单调性的应用：=1\*GB3①比较大小：对指数式比较大小时，要看底数与指数是否相同。若底数相同、指数不同，可直接利用________性比较；若底数不同、指数相同，可利用指数函数的______________解决；若底数不同、指数也不同，可以采用_______法，中间量常取1．=2\*GB3②解含指数式的不等式：先将不等式的两边化成同底的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解．（2）复合函数的单调性：_________________________。5.指数函数的值域（1）对于值域问题，一方面要考虑函数的________和_________性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是_______．（2）对于这类函数，值域问题，应分以下两步求解：=1\*GB3①由定义域求出_________________的值域；=2\*GB3②利用指数函数_________的单调性或利用图象求得此函数的值域．（3）对于这类函数，值域可以分以下两步求解：=1\*GB3①设___________，求出____________的范围；=2\*GB3②利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．6.指数函数的定点问题定点问题处理思路：令变量整体为0，得.【例题分析】例1．函数是指数函数，则的取值范围是___________．例2．函数的定义域为___________．例3．若函数的定义域为，则的取值范围是___________．例4．函数的单调递减区间为___________．例5．函数的单调增区间是___________．例6．设则的大小关系是___________．例7．设，则的大小关系为___________．例8．函数的值域是___________．例9．函数的值域为___________．

例10．若函数则该函数过的定点为___________．【变式训练】1．若函数是指数函数，则实数的值为_________．2．函数=的定义域为3．已知则的大小关系4．已知，，，则的大小关系5．函数的单调递增区间为6．函数的值域是7．已知函数（且）的图象恒过定点，则________.

知识点二基本初等函数：对数函数【基础指数框架】1．对数函数的概念一般地，我们把函数________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_____．2．对数函数的结构特征（1）对数符号前面的系数是___________；（2）对数的底数是__________________的正实数（常数）；（3）对数的真数仅有___________．3.对数函数的定义域（1）分式中分母_________；（2）偶次根式中被开方数_______；（3）对数中真数大于______，底数大于______且不为_____；（4）正切函数中，；（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.4.对数函数的单调性及其应用（1）比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．=1\*GB3①若底数为同一常数，则可由对数函数的______________直接进行比较．=2\*GB3②若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．=3\*GB3③若底数不同，真数相同，则可以先用_____________化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．=4\*GB3④若底数与真数都不同，则常借助_______等中间量进行比较（2）复合函数的单调性：同增异减.（注意讨论定义域）5.对数函数的值域求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围．求值域的一般方法6.对数函数定点问题对数函数定点问题的处理思路：令真数为0，得.

【例题分析】例1．若函数是对数函数，_________.例2．函数的定义域是_________.例3．函数的定义域是_________.例4．函数的单调递减区间为_________.例5．已知函数在上单调,则的取值范围为_________.例6．设，则的大小关系_________.例6．若，，，则的大小关系_________.例7．已知函数，，则的值域是_________.例8．函数的值域是_________.例9．函数的图象过定点_________.

【变式训练】1．若函数是对数函数，则的值为_________.．2．函数的定义域是_________.3．函数的单调递增区间为_________.4．函数的单调递减区间是_________.5.已知，，，则的大小关系为_________.6.若，，，则的大小关系为_________.7．函数的值域是_________.8．函数的值域为_________.9．函数的图象恒过定点_________.

知识点三基本初等函数：幂函数【基础指数框架】1．幂函数的概念一般地，函数_________________叫做幂函数，其中是__________，是_________．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．3．几个常见幂函数的图象与性质幂函数图像定义域值域奇偶性单调性定点4.幂函数是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x轴弯曲，类似于的图象；（3）当_______时，函数图象向y轴弯曲，类似于的图象，而且逆时针方向指数在增大．

5.利用幂函数的性质解不等式利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:（1）确定可以利用的幂函数；（2）借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；（3）解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.6.定点问题（1）常见的两个定值：(1);(2).（2）处理定值问题的两个常见思路：=1\*GB3①若底数不变，令指数为__________;=2\*GB3②若指数不变，令底数为__________.【例题分析】例1．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．例2．（2020·上海市徐汇中学高一期中）幂函数的定义域的区间表示为__________．例3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为_______．例4．（2022·上海·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（

）A．B．C．D．

例5．（2022·全国·高一单元测试）函数的图像可能是（）A．B．C．D．例6.（2020秋•金明区校级期中）已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是．例7．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递减区间为__．例8．（2021·浙江·塘栖中学高一期中）函数的单调增区间是___________.例9.（2021春•渭滨区期末）已知幂函数过定点，且满足，则的范围为．例10．（2023·全国·高三专题练习）函数，和的图像都通过同一个点，则该点坐标为（

）A． B． C． D．例11．（2023·全国·高一专题练习）已知，则函数的图象恒过的定点的坐标为．【变式训练】1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．2．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数的图象过点，则___________.3．（2022·全国·高一课时练习）（1）函数的定义域是________，值域是________；（2）函数的定义域是________，值域是________；（3）函数的定义域是________，值域是________；（4）函数的定义域是________，值域是________．4．（2022·浙江·杭州市余杭高级中学高二学业考试）函数的大致图象是（

）A．B．C．D．5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则其单调增区间为_____.7．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调减区间为__________．8.（2021秋•庐江县期末）已知幂函数，若，则的取值范围是9．（2023·全国·高一专题练习）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为．10．（2023·全国·高一专题练习）函数恒过定点．

知识点四抽象函数的概念与性质【基础指数框架】1.已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；2.已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；3.单调性的定义：增（减）函数：一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有______________，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间。4.函数的奇偶性一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数．一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数．5.赋值法【例题分析】考向一抽象函数的定义域例1．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．例2．（2022秋·高一单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·高一课时练习）已知函数的定义域为，求函数的定义域.

考向二抽象函数的值域例4．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知函数的定义域是R，值域为，则下列函数中值域也为的是（

）A． B． C． D．例5．（2023·高一课时练习）若的值域为，则的值域为______.考向三抽象函数的性质例6．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为,对任意,恒有成立,且,则是______（填“奇”或“偶”）函数.例8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模·多选）已知不恒为0的函数，满足，都有．则（

）A． B． C．为奇函数 D．为偶函数例9．（2023·全国·统考高考真题·多选）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点【变式训练】考向一抽象函数的定义域1．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·福建福州·期中）已知函数的定义域为则的定义域为_________________3．（2022秋·高一课时练习）已知的定义域为，求的定义域.考向二抽象函数的值域4．（2022秋·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是（

）A． B． C． D．考向三抽象函数的性质5．（2023·全国·高三专题练习）设函数的定义域为，对任意x，，恒有成立，则是______（填“奇”或“偶”）函数．6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测·多选）已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（

）A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数7．（2023·山西太原·太原五中校考一模·多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．

知识点四函数与导数：图像问题【基础指数框架】1.图像问题（1）导数的图像与函数图像的关系：已知函数的导数是，若，则函数的图像单调_________，若，则函数的图像单调_________，所以的图像只看__________，的图像只看__________.（2）由解析式求函数图像：=1\*GB3①看函数奇偶性；偶函数：__________________，奇函数：__________________.=2\*GB3②看函数特殊值.【例题分析】考点一导函数与原函数的图像问题例1．（2324高二下·重庆·阶段练习）设函数在上可导，其导函数的图像如图所示，则（

）A．函数有极大值 B．函数有极大值C．函数的单调递增区间为 D．函数的单调递增区间为例2．（2324高二下·湖南益阳·阶段练习）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．有4个极值点，其中有2个极大值点 B．有4个极值点，其中有2个极小值点C．有3个极值点，其中有2个极大值点 D．有3个极值点，其中有2个极小值点例3．（2223高二上·江苏镇江·阶段练习）函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是（

）

A．是函数的最小值B．是函数的极值C．在区间上单调递增D．在处的切线的斜率大于0考点二函数图像问题例4．（2324高一上·湖北武汉·期末）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

例5．（2324高二下·上海·阶段练习）下列图像中，不可能成为函数的图像的是（

）．A． B． C． D．

例6．（2324高三下·四川巴中·阶段练习）以下最符合函数的图像的是（

）A． B．C． D．例7．（2324高三下·四川绵阳·开学考试）函数的图像大致是（

）A． B．

C． D．

例8．（2223高三下·全国·阶段练习）函数在上的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【变式训练】考点一导函数与原函数的图像问题1．（2324高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（

）

A．是函数的极大值 B．是函数的极小值C．在区间上单调递增 D．的零点是和2．（2324高二上·江苏南京·期末）函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点二函数图像问题3．（2324高三上·天津南开·阶段练习）函数的大致图像为（

）A．B．C．D．4．（2122高一上·黑龙江鸡西·期末）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

5．（2023·全国·模拟预测）函数的图像可能是（

）A． B．

C．

D．

6．（2324高三上·陕西汉中·期中）函数的图像大致为（

）A．B．C． D．7．（2324高三上·山东德州·阶段练习）函数的大致图像为（

）A．

B．

C．

D．

8．（2324高三上·河南南阳·阶段练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

知识点五函数与导数：应用问题【基础指数框架】1.对于指数方程，可两边同时取的_______，转化为一次方程______________；2.对于对数方程，可两边同时取的__________，转化为一次方程______________；3.解应用题的一般步骤：(1)认真审题，分清条件和问题，理清数量关系，选择函数模型;(2)建立模型，把文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立数学模型;(3)求解模型.【例题分析】例1．（2023·云南红河·统考一模）中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（

）分钟饮用口感最佳．（参考数据；，）A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26例2．（2023·四川南充·校考模拟预测）车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（

）参考数据：，，，A．元千克 B．元千克C．元千克 D．元千克

例3．（2023·陕西渭南·统考一模）2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足.若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（

）A． B． C． D．例4．（2023·四川成都·统考一模）日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．例5．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（

）（参考数据：，）A． B． C． D．例6．（2023·山西·统考一模）在天文学中，常用星等，光照度等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等为，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据）（

）A．2 B．1.05 C．0.05 D．例7．（2022·北京·统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（

）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态例8．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【变式训练】1．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）一种药在病人血液中的量不低于1800mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3600mg的此药，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药（，结果精确到0.1）（

）A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3

2．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等