专题二空间向量和立体几何高三数学一轮复习

人教A版数学空间向量和立体几何（一轮复习）专题二知识点一证明线面平行,求平面的法向量,面面角的向量求法典例1、如图所示多面体中，底面是边长为3的正方形，平面，，，是上一点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．

拓展练习：在四棱锥中，，，，，且，，平面平面.（1）证明：//平面；（2）求二面角的余弦值.典例2、如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，，，是的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.

拓展练习：如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.典例3、在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，．（1）证明：；（2）点F在线段PD上，试确定点F的位置使BF与平面PAB所成的角的正弦值为．

拓展练习：在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点．（1）求证：．（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是60°．若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．知识点二证明线面平行,线面角的向量求法典例4、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且，，点是的中点.（1）求证:平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.

拓展练习：如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．典例5、如图，中，且，将沿中位线EF折起，使得，连结AB，AC，M为AC的中点.（1）证明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.

拓展练习：如图，在四棱柱中，四边形和四边形都是矩形，，四边形是一个边长为4的菱形，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.典例6、如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．

拓展练习：请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．人教A版数学空间向量和立体几何（一轮复习）专题二典例1、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：过点作，交于点，则，即，因为，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）由题意以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，，即，，令，，则，，设二面角为，所以，即，所以二面角的正弦值为.拓展练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）设点满足，即，结合条件，即，，即；由条件，即，可得：，显然线段不共线，从而可得四边形为平行四边形，即可得：//，平面，平面，故可得：//平面（2）过点作作的垂线，垂足为，平面，平面平面，平面平面，可得：平面∵，∴，故可得，，，.在直角梯形中，，，可得，在中，根据余弦定理：，根据上述分析可得：，从而可得：.综上可得：三条直线两两垂直.故以点为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系.则有点，，，，，设平面的法向量为，则可得：，即有，令，可得；平面与平面为同一个平面，显然平面的一个法向量为.可得：，结合图形可知是锐二面角，从而可得二面角的余弦值为典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）1.解：（1）证明：连接交于点，连接，易知为中点，在中，，分别为，中点，∴为的一条中位线，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）过点作交于点，则点到平面的距离，即点到平面的距离，∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，则点到平面的距离即为的长度，在中，，，故，又，故，则，∴，∴，∴，即点到平面的距离为.（3）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（2）可得，，，，∴，，，，设平面的一个法向量为，则，则可取，设平面的一个法向量为，则，则可取，∴，∴二面角的正弦值为1.拓展练习：答案：（1）；（2）.解：（1）取的中点，连结，则平面，是等边三角形，，以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，0，，点到平面的距离为.（2），，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，，，二面角的余弦值为.典例3、答案：（1）证明见解析（2）点F在PD的中点处解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD面ABCD，∴取AB中点E，连接DE，∵，∴，又∵，∴．∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，∴，又，PD面PAD，AD面PAD，∴BD⊥面PAD，又PA面PAD，∴（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，分别以DA，DB，DP为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，设平面PAB的一个法向量为，则，则可取．设点F的坐标是，则BF的坐标是(0,－,t)，设BF与平面PAB所成的角为，则解得或点F在线段PD上，则，即点F在PD的中点处满足题意.拓展练习：答案：（1）证明见解析；（2）存在，为棱的中点.解：（1）∵，是的中点，∴.又平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴．（2）以为原点，分别以，为x，y轴，如图建立坐标系.则：，，，，，，，，.设平面的一个法向量，则：，不妨取，，，所以.假设在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是60°，设且，，∴，∴，，，∴，若直线与平面所成的角为60°，则：，解得.即点为棱的中点所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是60°.典例4、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）连接BD交AC于F点，连接EF，在中，∵EF是中位线，∴．又∵平面AEC，平面AEC，∴平面AEC．（2）由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Axyz．则，，，∴，易知平面PAB的一个法向量为，设直线CE与平面PAB所成角为，则．∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为．拓展练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）取的中点为，连接.分别是，的中点,.D是的中点，直三棱柱，.，.四边形为平行四边形.又平面，平面，所以平面.（2）选择条件①：；直三棱柱，平面，平面，，，平面，所以平面.而平面.又，.以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，，设直线DE与平面所成的角为，则所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.选择条件②：；取的中点为，连接.直三棱柱，分别是，的中点,平面，平面，，，平面，所以平面.而平面..分别是，的中点,，.以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，，设直线DE与平面所成的角为，则.所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.选择条件③：到平面的距离为1．过点作,垂足为，直三棱柱，平面，平面，，，平面，所以平面.平面.所以由（1）知平面；因为到平面的距离为1，所以.又，所以又因为是的中点,,所以是的中点,.又，.以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，，设直线DE与平面所成的角为，则.所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.典例5、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）设，则，，平面平面，连接，，，，，即又，平面ABC（2），以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系设平面的法向量为，平面的法向量为，令，则同理可得，又二面角为钝角，故二面角的余弦值为.拓展练习：答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）由矩形得，由矩形得.又，∴平面.又平面，∴.又∵四边形为菱形，∴，而，∴平面.（2）在菱形ABCD中，，，由余弦定理可得，则，于是均为正三角形，取的中点M，易得，且.以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则取，得.设平面的法向量为，则取，得.设平面与平面的夹角为，则.典例6、答案：（1）证明见解析（2）（3）存在，，理由见解析.解：（1）在正方形中，，又因为，，所以面，因为面，所以，因为，，，所以面，因为面，所以，因为，所以平面；（2）由已知可得，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，连接，可得，因为，所以，所以，，，，，，，设平面的一个法向量，由，令，则，，所以，设平面的一个法向量，由，则，令，则，所以，所以，（3）因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.存在，理由如下：假设在棱上是否存在一点满足条件，设，，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以解得：，，所以在棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是且的长为.拓展练习：答案：（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析解:(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．证明如下：如图所示：设PC的中点为H，连结FH，因为，，，，所以所以四边形AGHF为平行四边形，则AF∥GH，又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC，∴AF∥平面PGC．(2)选择①AB⊥BC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)，设平面FAC的一个法向量为(x，y，z)∴，取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)，平面ACD的一个法向量为(0，0，1)，设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ，∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．选择②FC与平面ABCD所成的角为：∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，∴FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴，在Rt△FCM中，CM，又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE，∴AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵PA＝AB＝2，∴A(0，0，0)，B(，﹣1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)，∴(0，1，1)，(，0，1)，设平面EAC的一个法向量为(x，y，z)则，取x，得(，﹣3，3)，平面ACD的一个法向量为：(0，0，1)，设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ．∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为．选择③∠ABC：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，