广西部分示范性高中2024-2025学年高三上学期摸底质量检测数学试题

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.2.若，则（）A.B.C.D.3.2024年1月至5月重庆市八大类商品和服务价格增长速度依次为，，则该组数据的第75百分位数为（）A.B.C.D.4.甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮6次的实验中，命中次数的均值为2.4，则的方差为（）A.1.24B.1.44C.1.2D.0.965.已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（）A.B.C.D.7.已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为（）A.B.C.D.8.在中，，且边上的高为，则（）A.的面积有最大值，且最大值为B.的面积有最大值，且最大值为C.的面积有最小值，且最小值为D.的面积有最小值，且最小值为二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点到抛物线准线的距离为4，则的值可能为（）A.8B.C.24D.10.将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A.为偶函数B.的最小正周期为C.与在上均单调递减D.函数在上有5个零点11.若函数，则（）A.可能只有1个极值点B.当有极值点时，C.存在，使得点为曲线的对称中心D.当不等式的解集为时，的极小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，且，则__________.13.已知是等比数列，，则数列的前项和为__________.14.甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为的6个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在正方体中，点分别在上，且.（1）若，证明：平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.16.（15分）为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.8416.635若，则，.17（15分）已知函数，且曲线在点处的切线斜率为.（1）比较和的大小；（2）讨论的单调性；（3）若有最小值，且最小值为，求的最大值.18.（17分）已知平面内一动点到点的距离与点到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程.（2）在直线上有一点，过点的直线与曲线相交于两点.设，证明：只与有关.19.（17分）若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”.（1）若数列为“稳定数列”，求的取值范围；（2）若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；（3）若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，.高三数学考试参考答案1.A由题意得，所以.2.C由题意得，则.3.B因为，所以该组数据的第75百分位数为.4.B由题意得，则，所以.5.D当时，的图象经过第一､三､四象限，不经过第二象限，当时，的图象经过第二､三､四象限，不经过第一象限，则，得，所以的图象经过第一､二､三象限，不经过第四象限.6.C由题意得，则.在中，由，得，则，得，解得，所以的离心率为.7.A设正四面体的边长为，球的半径为，易得正四面体的高，则.正四面体的体积，球的体积，所以.8.D设的内角的对边分别为.由题意得C），得，得.因为，所以，即.由得，则，得（当且仅当时，等号成立），所以，则有最小值，且最小值为.9.AD由题意得的准线方程为，则，解得或.10ACD为偶函数，A正确.由题意得的最小正周期，B错误.由，得，所以与在上均单调递减，C正确.当时，函数和的图象如图所示，函数和的图象有5个交点，所以函数在上有5个零点，D正确.11.BCD由题意得.当，即时，，在上单调递增，无极值点.当，即时，设是方程的两个解，则在上单调递增，在上单调递减，有2个极值点.综上，不可能只有1个极值点，当有极值点时，，A错误，B正确.当时，，则点为曲线的对称中心，C正确.当不等式的解集为时，易得的零点为1和2，且1为0的二重根，则，则.易知在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，D正确.12.由题意得，解得.13.设等比数列的公比为，则，得，则，所以的前项和为14.若甲获得3分，则甲必取中6号球，乙必取中1号球.当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为；当甲小球上的数字为时，甲获得3分的概率为.综上，甲获得3分的概率为.15.（1）证明：且四边形是平行四边形，且.，且，且，，且，四边形是平行四边形，.平面平面平面（2）解：以为原点，为3个单位长度，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设平面的法向量为，则，取，则，得.易得平面的一个法向量为，平面与平面夹角的余弦值为.16.解：（1）零假设为：学生的性别和是否喜欢运动无关.根据列联表中的数据，计算得到，根据的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即学生的性别和是否喜欢跳绳无关.（2）设经过训练后，该校学生每分钟的跳绳个数为，则.由题意得，，则.因为，所以预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为819.17.解：（1）由题意得，则，得.（2）由题意得的定义域为.当时，，则在上单调递增.当时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增.（3）由（2）可知当时，没有最小值，则，得.当时，单调递增，当时，单调递减，所以.18.（1）解：设，由题意得，化简得曲线的方程为.（2）证明：设.联立得，因为，所以，所以则联立得.，同理可得，所以.故只与有关.19.（1）解：由题意得，得.因为，所以的取值范围为.（2）解：（方法一）数列不是“稳定数列”.理由如下：当时，；当时，（也成立