3.3.1抛物线及其标准方程（知识解题达标测试）

3.3.1抛物线及其标准方程【考点1：抛物线的定义】【考点2：抛物线的标准方程】【考点3：轨迹方程抛物线】

【考点4：抛物线距离和与差的最值问题】【考点5：抛物线的实际应用】知识点1：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．知识点诠释:（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值（2）定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点2：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，，，。知识点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。【考点1：抛物线的定义】【典例1】已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=−2的距离为4，则MF=A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解．【详解】因为抛物线C:y2=8x的焦点F2,0点M在C上，所以M到准线x=−2的距离为MF.又M到直线x=−2的距离为4，故MF=4故选：D.【变式11】已知抛物线x2=4y的焦点为F，点M在抛物线上，且MF=3，则点M到xA．4 B．22 C．2 【答案】C【分析】由抛物线定义计算即可得.【详解】由抛物线定义可知MF等于点M到准线的距离，故点M到x轴的距离为MF−1=3−1=2故选：C.【变式12】已知抛物线C:y2=12x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−2的距离为5，则|MF|=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】结合抛物线的定义计算即可得.【详解】由抛物线C:y2=12x可知其焦点为FM到x=−2的距离为5，则M到x=−3的距离为6，故|MF|=6.故选：A.【考点2：抛物线的标准方程】【典例2】焦点在直线2x+5y−10=0上的抛物线的标准方程为（

）A．y2=10x或x2=4y C．y2=20x或x2=8y 【答案】C【分析】根据焦点即可求解抛物线方程.【详解】直线2x+5y−10=0与坐标轴的交点为5,0以及0,2，所以抛物线的焦点为5,0或0,2，当焦点为5,0，此时抛物线方程为y2当焦点为0,2时，此时抛物线的方程为x2故选：C【变式21】已知抛物线的焦点是F(0,2)，则抛物线的标准方程是（

）A．y2=8x C．y2=−8x 【答案】B【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程.【详解】因为抛物线的焦点是F(0,2)，则抛物线的标准方程是x2故选：B【变式22】多选题已知抛物线C的焦点在直线2x−y+4=0上，则抛物线C的标准方程为（

）A．y2=8x B．y2=−8x C．【答案】BC【分析】分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果.【详解】由于焦点在直线2x−y+4=0上，当焦点在y轴上时，令x=0，可得y=4，所以焦点坐标为0,4，设方程为x2=2py(p>0)，由焦点坐标知p=8，所以抛物线C的标准方程为当焦点在x轴上时，令y=0，可得x=−2，所以焦点坐标为(−2,  设方程为y2=−2px(p>0)，由焦点坐标知p=4，所以抛物线C的标准方程为故选：BC．【变式23】边长为1的等边△AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A,B的抛物线方程是（

）A．y2=36C．y2=±36【答案】C【分析】利用题意得到抛物线上点的坐标，待定系数法求解参数即可.【详解】设抛物线方程为y2＝ax由题意得x2+y2=1，y=±取点A在x轴上方，故A±32解得a=±36，所以抛物线方程为故选：C【考点3：轨迹方程抛物线】【典例3】已知点M到点F(−2,0)的距离比点M到直线x=3的距离小1.(1)求点M的轨迹方程；(2)求线段MF中点Q的轨迹方程.【答案】(1)y(2)y【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；解法2：定义法求抛物线的方程.（2）轨迹法求点的轨迹方程.【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知x+2当x≥3时，可化为x+22整理得，y2当x<3时，可化为x+2整理得，y故点M的轨迹方程为y解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线x=2的距离相等，所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线，点M的轨迹方程为；y（2）设Q（x，y），M(则x0−2=2xy0又y02即y2【变式31】若圆C与x轴相切且与圆x2+y2=4A．x2=4y+4 C．x2=4y【答案】C【分析】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2【详解】设圆心坐标为x,y，依题意可得x2+y即圆C的圆心的轨迹方程为x2故选：C【变式32】已知圆F：x−122+y2=116与定直线l：x=−14，动圆P与圆F外切且与直线l【答案】y【分析】设Px,y【详解】设Px,y，动圆P与圆F外切且与直线l相切，则有x+14故曲线C的方程为y2故答案为：y【变式33】在平面坐标系中，动点P和点M(−3,0)、N(3,0)满足|MN|⋅|MP|+MN【答案】y【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得．【详解】由题意MN=(6,0),由|MN|⋅|MP化简得y2故答案为：y2

【考点4：抛物线距离和与差的最值问题】【典例4】设抛物线y2=−4x上一点P到y轴的距离为d1，到直线3x+4y−12=0的距离为d2，则A．3 B．2 C．163 【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.【详解】抛物线y2=−4x的焦点F(−1,0)，准线过点P作PB⊥l于B，PA垂直于直线3x+4y−12=0于点A，显然|PB|=|FP|，点F到直线3x+4y−12=0的距离d=|−1×3−12|则d1当且仅当点P是点F到直线3x+4y−12=0的垂线段与抛物线的交点时取等号，所以d1故选：B

【变式41】已知抛物线C:y2=8x，其焦点为F，P是拋物线C上的动点，若点M4,2，点Q在以FM为直径的圆上，则A．5−2 B．5+2 C．8【答案】A【分析】由抛物线定义得到PF等于点P到准线的距离，数形结合得到当R，P，Q三点共线，且三点连线所在直线RQ过圆心H时，PF+【详解】由题得点F的坐标为2,0，因为2+42=3,0+2所以圆H的圆心为H3,1，半径r=因为点P在抛物线C:y2=8x上，且抛物线的准线为x=−2，所以PF过点P作准线的垂线，垂足为R．要使PF+PQ取到最小值，即当R，P，Q三点共线，且三点连线所在直线RQ过圆心H时，PR+如图所示，此时PR+故选：A．【变式42】已知F是抛物线y2=4x的焦点，P是抛物线上的一个动点，A3,1，则△APFA．2+25 B．4+5 C．3+5【答案】B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可.【详解】抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线l的方程为x=−1，过P做PQ⊥l，垂足为设△APF周长为c，c=PA+PF+AF=PA+PF+(3−1)PF=PQ，因此c=PQ+AP+5，当P,A,Q在同一条直线上时，cPA⊥l时，cmin故选：B【变式43】P为抛物线y2=−4x上动点，则P到焦点F的距离与到A−2,1【答案】3【分析】求出抛物线焦点坐标和准线方程，将PF转为点到抛物线准线的距离|PM|，由抛物线的定义，可得|PF|=|PM|，转化为求AP+【详解】由题意得抛物线y2=−4x的焦点为F(−1,过点P作PM⊥l于点M，由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，

由图形可得，当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|取得最小值，最小值为点A到准线l:x=1的距离故答案为：3【考点5：抛物线的实际应用】【典例5】一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为0.5m.

(1)试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标；(2)为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时卫星波束反射聚集点的坐标.【答案】(1)抛物线的标准方程为y2=11.52x，焦点的坐标为(2)3.38,0【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，利用待定系数法进行求解即可；（2）利用待定系数法、代入法进行求解即可.【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为：y2=2pxp>02.42所以抛物线的标准方程为y2=11.52x，焦点的坐标为

（2）设抛物线的方程为y2把0.5,2.6代入方程中，得2.62所以焦点的坐标为：3.38,0.【变式51】北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪.某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，0,365为顶点的抛物线的一部分（从点C(1)求航天器变轨时点C的坐标；(2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离.【答案】(1)6,4(2)3【分析】（1）设出点C，利用A,C的距离和椭圆方程可求出点C的坐标；（2）根据抛物线经过的点求出方程，解出降落点的坐标，可得答案.【详解】（1）设Cx,y，由题意，AC=4，即又x2100+y225=1，联立解得x=6故C的坐标为6,4.（2）由题意设抛物线的方程为y=−mx因为抛物线经过点C6,4，0,所以n=365，4=−36m+365，解得令y=0可得x=9或x=−9（舍），即B9,0所以|AB|=|OB|−|OA|=3，所以航天器降落点B与观测点A之间的距离为3.【变式52】如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．【答案】(1)y(2)作图见解析，9.806km【分析】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程（2）由抛物线的定义，公路总长=QF【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，p2=0.4，则抛物线（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则F0.4,0∵城镇P位于点O的北偏东30°处，OP=10km，∴根据抛物线的定义知，公路总长=Q当Q′与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为9.806【变式53】如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为12dm，镜深2dm．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标；(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位dm）．【答案】(1)y2=18x(2)架子所用钢筋总长度为39【分析】（1）先建立直角坐标系，得到A点坐标，然后设出抛物线方程进而求得p的值，从而可以确定抛物线的方程和焦点的位置.（2）根据盛水或食物的容器在焦点处，结合两点间距离公式可得每根铁筋的长度.【详解】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是(2,6)，设抛物线方程为y2=2px(p>0)，则36=2p×2，解得则抛物线的标准方程是y2焦点坐标是F(4.5,0).（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，所以每根铁筋长为2+p2所以架子所用钢筋总长度为6.5×6=39dm一、单选题1．抛物线x2=−8y的准线方程是（A．x=132 B．y=−2 【答案】D【分析】根据抛物线的性质即可求出其准线方程．【详解】抛物线x2=−8y的准线方程为：故选：D2．已知抛物线y=14x2上一点A的纵坐标为4，则点A．1716 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】利用抛物线的定义，将点A到抛物线焦点的距离转化为点A到抛物线准线的距离即得.【详解】依题意，由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离即点A到准线y=−1的距离，即4−(−1)=5.故选：B.3．已知抛物线C：y2=mx过点2,5，则抛物线CA．x=58 B．x=−58 C．【答案】B【分析】根据题意，求得抛物线的方程y2【详解】由抛物线C：y2=mx过点2,5，可得(即抛物线的方程为y2=52x故选：B.4．设F为抛物线y2=8x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则AF+A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】由三角形重心坐标公式可得x1【详解】由题意可知，点F的坐标为(2,0)，设点A，B，C的坐标分别为(x1,y1又F为△ABC的重心，则x1+x由抛物线方程可得2p=8⇒p=4，所以由抛物线的定义可知AF+故选：D.5．设抛物线C：y2=3x的焦点为F，点A为曲线C第一象限上的一点，若A．π3 B．π4 C．2π【答案】A【分析】设抛物线的准线为l，作AH⊥l于H，作FE⊥AH于E，在Rt△AEF中求∠EAF【详解】设抛物线的准线为l，如图，作AH⊥l于H，则AH=FA=3，作FE⊥AH于E在Rt△AEF中，cos又0<∠EAF<π，所以∠EAF=即直线FA的倾斜角为π3故选：A.6．点P到直线y=3的距离比到点F0,−1的距离大2，则点P的轨迹方程为（

A．y2=2x B．y2=−4x C．【答案】D【分析】根据题意点P到直线y=1的距离和到点F0,−1【详解】根据题意，设点P(x,y)，且点P在y=3的下方，故点P到直线y=1的距离和到点F0,−1所以点的轨迹为以F0,−1为焦点，以直线y=1所以P的轨迹方程为x2故选：D.7．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，若AB=16，则点M到A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由抛物线的定义和相关性质求解即可得到答案.【详解】由题设易知p=4，从而准线方程为x=设点Ax1,y1，点由抛物线的定义知，AF+所以有x1+x2=12，所以M故选:B8．抛物线y=−6x2的焦点为（A．−32,0 B．0,−124 【答案】B【分析】将方程化为标准方程，进而求焦点坐标.【详解】将抛物线y=−6x2的方程整理为标准形式得可知该抛物线的焦点在y轴负半轴上，且p=112，即所以抛物线y=−6x2的焦点坐标为故选：B.9．若动圆M与圆C:x−22A．x2=8y C．y2=2x 【答案】D【分析】根据题意得到Mx,y到C2,0的距离与到直线【详解】因为圆C:x−22+y设动圆圆心的坐标为Mx,y，半径为R，则CM又动圆M与直线x+1=0相切，即Mx,y到直线x+1=0的距离为R所以Mx,y到直线x+2=0的距离为R+1所以Mx,y到C2,0的距离与到直线所以Mx,y的轨迹为抛物线，其焦点为C所以动圆圆心的轨迹方程为y2故选：D．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为Mx,y二、多选题10．设抛物线C:x2=4y的焦点为F，点A,B是CA．抛物线C的准线方程为y=−1B．若AF=4，那么点A的横坐标为C．若AF+BF=8，则线段ABD．以线段AF为直径的圆与x轴相切【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义以及方程对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】抛物线C:x2=4y所以焦点为F0,1，准线方程为y=−1B选项，若AF=4，根据抛物线的定义可知y由x2=4×3=12得C选项，若AF+线段AB的中点到x轴的距离为82D选项，设E是AF的中点，则yE根据抛物线的定义可知AF=yA所以：以线段AF为直径的圆与x轴相切，D选项正确.故选：ABD

三、填空题11．以抛物线x2=2y的焦点为圆心，且与x2【答案】x【分析】根据抛物线的焦点坐标与双曲线的渐近线方程，再结合点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题意知，抛物线x2=2y的焦点为0,12，因为相切，所以圆的半径为121+±故答案为：x212．过点1,0作直线与y2=4x交于A，B两点，若|AB|=4，则直线AB的倾斜角为【答案】90°【分析】联立直线与抛物线方程可求得x1+x【详解】因为抛物线y2=4x的焦点坐标F(1,0)，准线为则直线AB过抛物线的焦点，且由题意可知直线AB的斜率不为0，不妨设直线AB为x=my+1，Ax1,联立x=my+1y2=4x，消去x易知Δ>0，则y1+因为|AB|=4，所以x1+x2+2=4所以直线AB的方程为x=1，则直线AB的倾斜角为90°.故答案为：90°.四、解答题13．已知抛物线C：y2=2pxp>0(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=