预习01集合的概念（六大考点）

预习01集合的概念一、元素与集合的概念1．元素与集合的概念（1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示．（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示．（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．2．元素的特性（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”．注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物．二、元素与集合的关系（1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作．（2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作．（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果．（2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的．三、常用的数集及其记法常用的数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或四、集合的表示方法1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．（1）元素与元素之间必须用“，”隔开．（2）集合中的元素必须是明确的．（3）集合中的元素不能重复．（4）集合中的元素可以是任何事物．2．描述法（1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等．（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．（3）不能出现未被说明的字母．考点01 集合的基本概念【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．【例1】下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【答案】A【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；B：，方程根确定，可构成集合；C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选：A【例2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（

）A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数图象上所有的点【答案】ACD【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD【变式11】给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确；②因为好听的歌标准不确定，所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确；③因为高一（1）班所有姓氏是确定的，所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的；④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确，因此正确的个数为1，故选：B【变式12】下列对象能构成集合的是（

）A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生【答案】C【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合；对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合；对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合；对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合.故选：C.【变式13】考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数；(2)方程在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)的近似值的全体.【答案】(1)能(2)能(3)不能(4)不能【详解】（1）对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合.（2）方程在实数范围内的解是或，所以方程能构成集合.（3）“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合.（4）“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.考点02 用列举法表示集合【方法点拨】求出集合的元素，把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次，最后用花括号括起来【例3】用列举法表示小于4的自然数构成的集合，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】小于4的自然数构成的集合为，故选：A.【例4】用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；(2)方程的实数根组成的集合B；(3)一次函数与的图象的交点组成的集合C.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以.（2）因为方程的实数根为，所以.（3）联立，解得，所以一次函数与的交点为，所以.【变式21】大于小于的正整数用列举法表示.【答案】【详解】由题意大于小于的正整数用列举法表示为：.故答案为：.【变式22】英文单词good的所有字母组成的集合记为，用列举法表示集合．【答案】【详解】根据集合元素的互异性可知集合．故答案为：【变式23】用合适的方法表示下列集合：(1)方程的解集；(2)大于1且小于7的所有整数组成的集合.【答案】(1)(2)【详解】（1）解方程，解得，所以解集可以用列举法表示为.（2）大于1且小于7的所有整数为，所以用列举法表示为.考点03 用描述法表示集合【方法点拨】（1）用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示；（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围；（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【例5】已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D．【例6】试用描述法表示下列集合.(1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合；(3)二次函数图象上的所有点组成的集合.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）设方程的实数根为，并且满足条件，用描述法表示为.（2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且，故用描述法表示为.（3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为.【变式31】集合，用列举法表示是.【答案】【详解】集合，故用列举法表示是.故答案为：【变式32】用描述法表示下列集合：(1)不等式的解组成的集合；(2)被除余的正整数的集合；(3)；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为，则集合中的元素是数.设代表元素为x，则x满足，所以，即．（2）设被3除余2的数为x，则．又因为元素为正整数，故．所以被3除余2的正整数的集合（3）设偶数为x，则．但元素是2，4，6，8，10，所以．所以．（4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，故第二象限内的点的集合为．【变式33】用描述法表示下列集合；(1)不等式的解集．(2)所有的偶数组成的集合．【答案】(1)(2)【详解】（1）解不等式得，所以，原不等式的解集用描述法表示为.（2）所有的偶数组成的集合为.考点04 判断元素与集合的关系【方法点拨】判断元素与集合关系：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可；（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．【例7】已知集合，则与集合的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，所以与集合的关系为.故选：B.【例8】若集合，，则中所有元素的和为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】当时，分别取，，，分别为，，；当时，分别取，，，分别为，，；当时，分别取，，，分别为，，，故，所有元素之和为.故选：B.【变式41】以下选项中，不是集合的元素的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A,当时，，故不是的元素，对于B，当时，，故是的元素，对于C，当时，，故是的元素，对于D，当时，，故是的元素，故选：A【变式42】(多选)已知集合，，且，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】由题知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，所以为奇数，为偶数．所以是奇数，是偶数，是偶数，是偶数．即，，，.故选：ABC．【变式43】用“”或“”填空：（1）若，则1A，1A；（2）若，则1B，1.5B；（3）若，则0.2C，3C．【答案】【详解】因为，所以；因为，所以；因为，所以；故答案为：，，，，，.考点05 常用的数集【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．【例9】已知，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】因为，且，所以.故选：A.【例10】已知集合，则集合为.【答案】【详解】，且，为15的因数，或3或5或15，解得或12或10或0，集合为.故答案为：.【变式51】下列关系中正确的个数为（

）①，②，③，④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】对于①，，①错误；对于②，，②正确；对于③，，③错误；对于④，，④错误，故正确的个数为1个.故选：A【变式52】使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：（1）“255是正整数”即()；（2）“不是有理数”即()；（3）“3.1416是正有理数”即()；（4）“是整数”即()；（5）“是负实数”即()．【答案】【详解】（1）由“255是正整数”，可表示为；（2）由“不是有理数”，可表示为；（3）由“3.1416是正有理数”，可表示为；（4）由“是整数”，可表示为；（5）由“是负实数”，可表示为.【变式53】用列举法表示集合且为．【答案】【详解】时，，时，，时，，所以集合且.故答案为：.考点06 根据元素与集合的关系求参数【方法点拨】利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例11】已知集合，若，则实数的值为（

）A．2 B． C．2或 D．4【答案】B【详解】由，若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性；若，即，则不符合集合元素的互异性.故.故选：B.【例12】若，用列举法表示集合.【答案】【详解】由题意可知，是方程的一个根，则，代入方程，即，解得或，所以，故答案为：【变式61】已知，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得且，解得．故选：A【变式62】已知含有两个元素的集合，其中．(1)实数m不能取哪些数？(2)若，求实数m的值．【答案】(1)不能取0和4；(2)．【详解】（1）根据题意，可得，解得且，因此，实数m不能取0和4；（2）由（1）的结论，可知m≠4，若，则，解得（不符合题意），因此，实数m的值是．【变式63】若，则．【答案】2【详解】因为，所以或，若，，不满足互异性；若或2，又，所以，故答案为：2.一、单选题1．下列给出的对象能构成集合的有（

）①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值；③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确；对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误；对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误；对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确；故选：B2．已知集合，那么下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由方程，解得或，所以，所以，，.故选：A.3．若集合，，则B中元素的最小值为（

）A． B． C． D．32【答案】A【详解】由题意可得，，所以B中元素的最小值为.故选：A4．下列命题中正确的（

）①与表示同一个集合；②由组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合可以用列举法表示．A．只有①和④ B．只有②和③C．只有② D．以上语句都不对【答案】C【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确；③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错．故选：C5．已知集合只有一个元素，则实数的值为（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2【答案】A【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，当时，方程可化为，满足题意，当时，方程只有一个解，则，解得，所以或.故选：.二、多选题6．下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】由正整数、有理数、整数的定义知：，，，，所以A、C错，B、D对.故选：BD7．若以集合A中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形不可能是（

）A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形【答案】BCD【详解】因为集合中的元素具有互异性，所以，所以可以构成四边都不相等的梯形，但是不可能构成平行四边形，菱形和矩形.故选：BCD三、填空题8．已知①；②；③④，其中正确的为（填序号）.【答案】①③【详解】；；；，故①③正确.故答案为：①③9．已知集合，若，则实数的值为【答案】/0.5【详解】因为，，所以或，解得或.当时，，不符合元素的互异性，舍；当时，，符合题意.综上，.故答案为：四、解答题10．用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(