第28讲正切函数的性质与图象（思维导图3知识点8考点过关检测）

第28讲正切函数的性质与图象模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象；2．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性；3．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题.知识点1正切函数的图象与性质1、定义域：，2、值域：R3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是4、奇偶性：正切函数是奇函数，即．5、单调性：在开区间内，函数单调递增知识点2正切型函数形如的函数叫做正切型函数.1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．2、值域：3、最小正周期：4、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．知识点3解题技巧1、求正切型函数的定义域注意事项求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即。而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如的不等式的步骤如下：（1）作图象：作在上的正切函数图象；（2）求界点：求在上使成立的值；（3）求范围：求上使成立的范围；（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。2、求函数（都是常数）的单调区间的方法（1）若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可；（2）若，可利用诱导公式先把转化为，即先把的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可。考点一：正切型函数的定义域例1．（2223高一下·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，解得，函数的定义域为.故选：A.【变式11】函数的定义域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函数的定义域是.故选：C.【变式12】（2324高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为．【答案】/【解析】由题意可知，，，所以.故答案为：【变式13】（2324高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为.（用区间表示结果）【答案】【解析】要使函数有意义，只需，所以，，即，，所以或，所以函数的定义域为.故答案为：.考点二：正切型函数的最值或值域例2.（2324高一上·宁夏银川·期末）函数在上的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】由正切函数的单调性可知，在上为单调递增，所以其最小值为.故选：D【变式21】（2324高一下·江西·月考）函数，的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】故选：C.【变式22】（2324高一下·福建莆田·期中）函数，的值域为．【答案】【解析】当时，，，当时，；当时，；，的值域为.故答案为：.【变式23】（2324高一上·湖南长沙·月考）已知为钝角，则的最大值为．【答案】【解析】为钝角,,，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.考点三：正切型函数的周期性例3.（2324高一下·山东济宁·期中）函数的最小正周期为（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】易知，则其最小正周期为.故选：C【变式31】（2324高一上·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【解析】因为（）的最小正周期为，所以的最小正周期，解得.故选：A.【变式32】（2324高一下·河南驻马店·月考）函数的最小正周期是.【答案】/【解析】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为，与的图象如图所示，所以函数与最小正周期也一样，函数的最小正周期是，的最小正周期也是．故答案为：.【变式33】（2324高一下·江西赣州·月考）若，则（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】由题意知的最小正周期为，且，故，故选：C考点四：正切型函数的奇偶性例4.（2223高一下·四川广元·月考）下列函数为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以不是偶函数，故选项A错误；因为，所以，所以为偶函数，故选项B正确；因为，所以，所以不是偶函数，故选项C错误；因为，所以，所以不是偶函数，故选项D错误.故选：B【变式41】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2).【答案】(1)既不是偶函数，也不是奇函数；(2)奇函数【解析】（1）由得的定义域为且，由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数；（2）由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称，又，所以函数是奇函数.【变式42】（2324高三下·广东广州·三调）若函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定义域内，由时，得，；若0不在定义域内，由时，无意义，得．综上，．故选：C．【变式43】（2223高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若，则（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【解析】设，因为，所以函数是奇函数，因此，故选：A考点五：正切型函数的对称性例5.（2324高一下·河南驻马店·月考）下列是函数的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得，故函数的对称中心为，故AB错误；当时，，故对称中心为，D正确，经检验，C不满足要求.故选：D【变式51】（2223高一上·浙江杭州·期中）下列坐标所表示的点不是函数的图像的对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意在中，令，解得，当时，，∴函数的一个对称中心是，A正确.当时，，∴函数的一个对称中心是，D正确.当时，，∴函数的一个对称中心是，C正确.故选：B.【变式52】（2324高一下·辽宁大连·月考）若函数的最小正周期为1，则函数图象的对称中心为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，当时，，令，解得，当时，，令，解得，故函数图象的对称中心为.故选：B.【变式53】（2324高一上·河北保定·期末）“”是“函数的图象关于原点中心对称”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，则其图象关于原点对称，故充分性成立，当函数的图象关于原点中心对称时，则，不一定成立，则必要性不成立，则“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件，故选：B.考点六：正切型函数的单调性例6.（2223高一下·四川凉山·期中）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：C【变式61】函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，令，，解得，，所以函数的单调递减区间为.故选：D.【变式62】（2223高一上·福建漳州·期末）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，解得，所以函数的单调区间是.故选：A.【变式63】（2324高一下·江西南昌·期末）已知函数的单调递增区间是，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，解得，故且，解得，故选：C考点七：比较正切函数值的大小例7.下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A中，由，且，由正切函数性质，可得，且，所以，所以，所以A不正确；对于B中，由，由正切函数单调性可得，即，所以B错误；对于C中，由正切函数在上为单调递增函数，因为，所以，所以C正确；对于D中，由，由正切函数的单调性，可得，即，所以D错误.故选：C.【变式71】（2324高一下·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因为函数在上单调递增，且，所以，即.故选：D【变式72】（2223高一下·四川成都·月考）已知，不通过求值，判断下列大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】又即故选：C【变式73】（2223高一下·辽宁沈阳·月考）（多选）下列不等关系成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】AD【解析】.AB选项，因为在上单调递增，所以.因为在上单调递增，在上单调递减，所以.综上，，故A正确，B错误；CD选项，，则.因为在上单调递减，在上单调递增，所以.综上，，故D正确，C错误.故选：AD.考点八：利用正切函数解不等式例8.（2223高一下·安徽阜阳·月考）满足的x的取值范围是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故选：D【变式81】（2223高一下·四川成都·期中）已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角为斜三角形的内角，则，，即，故.故选：D.【变式82】（2223高一下·贵州遵义·期中）不等式的解集为（

）A． B．C．， D．，【答案】C【解析】由题意得，，得.故选：C【变式83】（2223高一下·贵州遵义·期末）不等式的解集为．【答案】【解析】不等式的解集为.由可得，解得，不等式的解集为故答案为：一、单选题1．（2223高一下·广东佛山·月考）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，解得，故选：A2．（2324高一上·贵州安顺·期末）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的最小正周期为.故选：B3．（2324高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函数，令，解得，令，可得，所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B．4．（2324高一下·北京·期中）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于AC，函数，都是奇函数，A不是，C不是；对于B，函数是偶函数，周期为，B不是；对于D，函数是偶函数，周期为，D是.故选：D5．（2324高一上·安徽马鞍山·期末）下列直线中，与函数的图象不相交的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数中，，解得，函数的定义域为，显然，因此直线与函数的图象相交，直线与函数的图象不相交，A不是，C是；函数的值域为，因此直线，与函数的图象都相交，BD不是.故选：C6．（2324高一下·广西钦州·期中）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依题意，得，解得，所以不等式的解集为.故选：A二、多选题7．（2223高一下·浙江·期中）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A选项，，因为正切函数在上为增函数，且，所以，，即，A选项正确；对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且，所以，，B选项错误；对于C选项，，，因为余弦函数在为减函数，且，所以，，即，C选项正确；对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且，所以，，D选项错误.故选：AC.8．（2324高一下·四川南充·月考）已知函数，则（

）A． B．在上单调递增C．为的一个对称中心 D．最小正周期为【答案】BC【解析】对于A，，故A错误；对于B，由得，当时，，所以在上单调递增，因为，所以在上单调递增，故B正确；对于C，把代入中，得，所以为的一个对称中心，故C正确；对于D，函数的最小正周期为，故D错误.故选：BC.三、填空题9．（2324高一下·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为．【答案】【解析】周期为，且在区间上为单调增函数，，故，.且，故的最小值为.故答案为：10．已知函数在内是减函数，则的取值范围是．【答案】【解析】∵已知函数在内是减函数,∴函数在内是单调增函数，∴，解得，经检验，满足题意.∴的取值范围是．故答案为：.11．（2223高一下·上海虹口·期中）对于函数，其中．若，则．【答案】【分析】代入计算得到，再计算，得到答案.【解析】，故，.故答案为：四、解答题12．（2223高一下·安徽阜南·月考）已知函数．(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较与的大小．【答案】(1)，单调递减区间为，；(2)【解