备考2025年高考数学一轮复习第一章考点测试2

考点测试2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，低难度考点研读1.理解命题的概念2．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义3．理解全称量词与存在量词的意义4．能正确地对含有一个量词的命题进行否定一、基础小题1．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是()A．a－1>b B．a＋1>bC．|a|>|b| D．a3>b3答案B解析寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b，则a＋1>b一定成立，但是当a＋1>b成立时，a>b不一定成立；若a>b，则a3>b3一定成立，但是当a3>b3成立时，a>b也一定成立．故选B.2．“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是()A．所有可以被5整除的整数，末位数字都不是5B．所有不可以被5整除的整数，末位数字不都是5C．存在可以被5整除的整数，末位数字不是5D．存在不可以被5整除的整数，末位数字是5答案C解析“所有可以被5整除的整数，末位数字都是5”的否定是“存在可以被5整除的整数，末位数字不是5”．故选C.3．已知命题p：∃x∈N，ex≤sinx＋1，则命题p的否定是()A．∀x∉N，ex＞sinx＋1B．∃x∈N，ex≤sinx＋1C．∀x∉N，ex≤sinx＋1D．∀x∈N，ex＞sinx＋1答案D解析命题p：∃x∈N，ex≤sinx＋1为存在量词命题，其否定为∀x∈N，ex＞sinx＋1.故选D.4．“x＝eq\f(π,2)”是“函数y＝cos2x取得最大值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析当x＝eq\f(π,2)时，函数y＝cos2x＝cosπ＝－1，故充分性不成立；当函数y＝cos2x取得最大值时，2x＝2kπ，k∈Z，即x＝kπ，k∈Z，故必要性也不成立．综上可得，“x＝eq\f(π,2)”是“函数y＝cos2x取得最大值”的既不充分也不必要条件．故选D.5．“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析若直线l与曲线C只有一个交点，直线l与曲线C不一定相切，比如当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与该双曲线只有一个交点，但不相切；反之，若直线l与曲线C相切，直线l与曲线C也不一定只有一个交点．故“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的既不充分也不必要条件．故选D.6．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是()A．[－1，3]B．(－1，3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案B解析∵命题∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1≤0的否定是真命题，∴∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1＞0是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3.则实数a的取值范围是(－1，3)．故选B.7．设a，b是实数，则“a>|b|”是“ln(a2＋1)>ln(b2＋1)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>|b|，则a2>b2，ln(a2＋1)>ln(b2＋1)；若ln(a2＋1)>ln(b2＋1)，则a2＋1>b2＋1，即|a|>|b|，当a<0时，推不出a>|b|，所以“a>|b|”是“ln(a2＋1)>ln(b2＋1)”的充分不必要条件．故选A.8．(多选)下列说法正确的是()A．命题“∀x>0，x2>0”的否定是“∃x≤0，x2≤0”B．“x>1”是“x>2”的必要不充分条件C．“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件D．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件答案BCD解析对于A，命题“∀x>0，x2>0”的否定是“∃x>0，x2≤0”，故A错误；对于B，“x>1”推不出“x>2”成立，而“x>2”能推出“x>1”成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故B正确；对于C，“若a>b，则a2>b2”是假命题，因为1>－2，而12<(－2)2.“若a2>b2，则a>b”是假命题，因为(－2)2>12，而－2<1，即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C正确；对于D，在△ABC中，若A>B，则a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故D正确．故选BCD.9．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：x∈(A∩B)，那么¬p是________．答案x∉A或x∉B解析x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为x∉A或x∉B.10．已知命题p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若¬p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．答案(0，3]解析¬p：|4－x|＞6⇔(4－x)2＞36，∴x＜－2或x＞10，记A＝{x|x＜－2或x＞10}，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，∴x≤1－a或x≥1＋a，记B＝{x|x≤1－a或x≥1＋a}，∵¬p是q的充分不必要条件，∴AB，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≥－2，,1＋a≤10，,a＞0，))解得0＜a≤3，故实数a的取值范围是(0，3]．11．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．答案(－∞，－7]∪[1，＋∞)解析由p中的不等式(x－m)2>3(x－m)，得(x－m)(x－m－3)>0，解得x>m＋3或x<m.由q中的不等式x2＋3x－4<0，得(x－1)(x＋4)<0，解得－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p且pq，即m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1.所以实数m的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．12．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空)答案充分充要解析由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r，r⇒q⇒s⇒t，故p是t的充分条件，r是t的充要条件．二、高考小题13．(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件答案B解析当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝eq\f(π,2)，β＝0，但sinα＋cosβ≠0，即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cosβ＝0；当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，即sinα＋cosβ＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B.14．(2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案B解析解法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2,a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.解法二：因为a2＝b2⇔a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab⇔a＝b，所以本题可以转化为判断a＝－b或a＝b与a＝b的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B.15．(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析解法一：因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(y,－y)＋eq\f(－y,y)＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.解法三：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(－2xy,xy)＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2，所以eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x2＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2－2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2,xy)－2＝－2，所以eq\f(（x＋y）2,xy)＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＝－2”的充要条件．故选C.16．(2022·天津高考)“x为整数”是“2x＋1为整数”的________条件()A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要答案A解析由题意知，若x为整数，则2x＋1为整数，故充分性成立；当x＝eq\f(1,2)时，2x＋1为整数，但x不为整数，故必要性不成立，所以“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分不必要条件．故选A.17．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1＝－1，q＝2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{Sn}是递增数列时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，这样的q不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.三、模拟小题18．(2024·辽宁大连二十四中高三开学考试)已知命题¬p：∃a∈R，aπ－πa>0，则()A．p：∃a∉R，aπ－πa>0B．p：∀a∉R，aπ－πa≤0C．p：∃a∈R，aπ－πa≤0D．p：∀a∈R，aπ－πa≤0答案D解析根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以¬p：∃a∈R，aπ－πa>0的否定是p：∀a∈R，aπ－πa≤0.故选D.19．(2024·辽宁名校联盟高三开学考试)设x，y∈R，则“xy>1”是“x2＋y2>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由xy>1，得x2＋y2≥2xy>2>1；但当x2＋y2>1时，取x＝1，y＝eq\f(1,100)，则xy＝eq\f(1,100)<1.所以“xy>1”是“x2＋y2>1”的充分不必要条件．故选A.20．(2023·山东淄博高三月考)在△ABC中，设命题p：eq\f(a,sinC)＝eq\f(b,sinA)＝eq\f(c,sinB)，命题q：△ABC是等边三角形，那么p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理可知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，若eq\f(a,sinC)＝eq\f(b,sinA)＝eq\f(c,sinB)＝t，则eq\f(a,c)＝eq\f(b,a)＝eq\f(c,b)＝t，即a＝tc，b＝ta，c＝bt，即abc＝t3abc，即t＝1，则a＝b＝c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A＝B＝C＝eq\f(π,3)，则eq\f(a,sinC)＝eq\f(b,sinA)＝eq\f(c,sinB)成立，即p是q的充要条件．故选C.21．(2024·湖南师大附中高三摸底考试)已知{an}是公差为3的等差数列，其前n项和为Sn，设甲：{an}的首项为零；乙：S2＋3是S1＋3和S3＋3的等比中项，则()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C解析由{an}是公差为3的等差数列，可知S1＋3＝a1＋3，S2＋3＝2a1＋6，S3＋3＝3a1＋12.若S2＋3是S1＋3和S3＋3的等比中项，则(2a1＋6)2＝(a1＋3)(3a1＋12)，解得a1＝0或a1＝－3(舍去，因为此时S1＋3＝S2＋3＝0)，可见“{an}的首项为零”是“S2＋3是S1＋3和S3＋3的等比中项”的充要条件．故选C.22．(2024·江苏南通如皋高三开学考试)已知命题p：∀x∈[1，3]，x2－ax＋3<0，则p的一个必要不充分条件是()A．a<5 B．a>3C．a<4 D．a>4答案B解析因为∀x∈[1，3]，x2－ax＋3<0，所以a>x＋eq\f(3,x)在[1，3]上恒成立，只需y＝x＋eq\f(3,x)在[1，3]上的最大值小于a，因为y＝x＋eq\f(3,x)在[1，eq\r(3))上单调递减，在(eq\r(3)，3]上单调递增，其中1＋eq\f(3,1)＝3＋eq\f(3,3)＝4，故y＝x＋eq\f(3,x)在[1，3]上的最大值为4，所以a>4，所以a>4是p的充要条件，D错误；因为a>4⇒a>3，但a>3a>4，所以a>3是p的一个必要不充分条件，B正确；其他两个选项既不是充分条件也不是必要条件．故选B.23．(2024·江苏南通如东县高三开学考试)设p：|x－a|≤3，q：2x2＋x－1≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq