备考2025年高考数学一轮复习第三章考点测试19

考点测试19复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，低等难度考点研读1.理解复数的基本概念2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．若复数z满足z(1＋i)＝4－3i，则z在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析因为z(1＋i)＝4－3i，所以z＝eq\f(4－3i,1＋i)＝eq\f(（4－3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－4i－3i＋3i2,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(7,2)i，所以复数z在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，位于第四象限．故选D.2．已知z＝eq\f(2,1－i)＋i，则z－eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－4i B．4iC．2 D．－2答案B解析因为z＝eq\f(2,1－i)＋i＝1＋i＋i＝1＋2i，所以z－eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i－(1－2i)＝4i.故选B.3．已知复数z满足z＝(1－eq\r(3)i)(2＋eq\r(3)i)，则|z|＝()A．2eq\r(7) B．5C．2eq\r(5) D．3eq\r(2)答案A解析复数z＝(1－eq\r(3)i)(2＋eq\r(3)i)＝2＋eq\r(3)i－2eq\r(3)i－3i2＝5－eq\r(3)i，则|z|＝eq\r(52＋（－\r(3)）2)＝2eq\r(7).故选A.4．已知复数z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)为纯虚数，则实数a＝()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析z＝(1＋2a)＋(a－2)i，由已知得1＋2a＝0且a－2≠0，解得a＝－eq\f(1,2).故选D.5．若复数z＝1－i，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z,1－z)))＝()A．1 B.eq\r(2)C．2eq\r(2) D．4答案B解析由z＝1－i，得eq\f(z,1－z)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z,1－z)))＝|－1－i|＝eq\r(2).6．若复数z满足(2－i)z＝i2023，则eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A.eq\f(1,5)i B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)i D.eq\f(2,5)答案D解析由(2－i)z＝i4×505＋3＝－i，得z＝eq\f(－i,2－i)＝eq\f(－i（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为eq\f(2,5).故选D.7．若复数z＝eq\f(i,1＋i)(i为虚数单位)，则zeq\o(z,\s\up6(－))＝()A.eq\f(1,2)i B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)答案D解析解法一：∵z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i（1－i）,2)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴zeq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))＝eq\f(1,2).故选D.解法二：∵z＝eq\f(i,1＋i)，∴|z|＝eq\f(1,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),2)，∴zeq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝eq\f(1,2).故选D.8.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\f(z1,z2)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析由复数的几何意义知，z1＝1－2i，z2＝1＋i，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(1－2i,1＋i)＝eq\f(（1－2i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)i，在复平面内对应的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(3,2)))，位于第三象限．故选C.9．设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1答案D解析由题意得z＝x＋yi，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即eq\r(（x－1）2＋（y＋1）2)＝1，则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.故选D.10．(多选)下列命题中错误的是()A．若复数z1满足zeq\o\al(2,1)＋1＝0，则z1＝iB．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝±z2C．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的充要条件是a＝0D．若复数|z1＋z2|＝0，则z1＝－z2答案ABC解析当z1＝±i时满足zeq\o\al(2,1)＋1＝0，A错误；当z1＝1＋i，z2＝1－i时满足|z1|＝|z2|，但z1≠±z2，B错误；复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b＝0时，复数z为实数，不是纯虚数，C错误；令z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，当|z1＋z2|＝0时，eq\r(（a＋c）2＋（b＋d）2)＝0，a＝－c，b＝－d，则z1＝－z2成立，D正确．故选ABC.二、高考小题11．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案A解析因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限．故选A.12．(2023·全国乙卷)设z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．1－2i B．1＋2iC．2－i D．2＋i答案B解析由题意可得z＝eq\f(2＋i,1＋i2＋i5)＝eq\f(2＋i,1－1＋i)＝eq\f(i（2＋i）,i2)＝eq\f(2i－1,－1)＝1－2i，则eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i.故选B.13．(2023·全国甲卷)若复数(a＋i)(1－ai)＝2，a∈R，则a＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案C解析因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,1－a2＝0，))解得a＝1.故选C.14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝eq\f(1－i,2＋2i)，则z－eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－i B．iC．0 D．1答案A解析因为z＝eq\f(1－i,2＋2i)＝eq\f(（1－i）（1－i）,2（1＋i）（1－i）)＝eq\f(－2i,4)＝－eq\f(1,2)i，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)i，所以z－eq\o(z,\s\up6(－))＝－i.故选A.15．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因为i(1－z)＝1，两边同乘以i，则原式变为i2(1－z)＝i，即－1＋z＝i，z＝1＋i，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，则z＋eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋i＋1－i＝2.故选D.16．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋aeq\o(z,\s\up6(－))＋b＝0，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2答案A解析由题设，z＝1－2i，eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋2i，代入有a＋b＋1＋(2a－2)i＝0，故a＝1，b＝－2.故选A.17．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋eq\r(3)i，则eq\f(z,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝()A．－1＋eq\r(3)i B．－1－eq\r(3)iC．－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i D．－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),3)i答案C解析eq\o(z,\s\up6(－))＝－1－eq\r(3)i，zeq\o(z,\s\up6(－))＝(－1＋eq\r(3)i)(－1－eq\r(3)i)＝1＋3＝4.eq\f(z,z\o(z,\s\up6(－))－1)＝eq\f(－1＋\r(3)i,3)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i.故选C.18．(2021·全国乙卷)设2(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＝4＋6i，则z＝()A．1－2i B．1＋2iC．1＋i D．1－i答案C解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，2(z＋eq\o(z,\s\up6(－)))＋3(z－eq\o(z,\s\up6(－)))＝4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i.三、模拟小题19．(2024·辽宁部分学校高三摸底考试)若复数z满足z(1＋i)＝2＋3i，则z的虚部是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)iC．1 D．－i答案A解析z＝eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f(（2＋3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，故z的虚部是eq\f(1,2).故选A.20．(2024·云南曲靖高三开学考试)已知z＝eq\f(i,2－i)，则zeq\o(z,\s\up6(－))＝()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(1,5)C.eq\f(\r(5),5)i D.eq\f(1,5)i答案B解析因为eq\f(i,2－i)＝eq\f(i（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(－1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i，所以zeq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,5).故选B.21．(2024·四川宜宾第四中学高三开学考试)已知z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,\r(2))))eq\s\up12(2024)(i是虚数单位)，则z＝()A．－1 B．1C．0 D．i答案B解析z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,\r(2))))eq\s\up12(2024)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,\r(2))))eq\s\up12(2×1012)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2i,2)))eq\s\up12(1012)＝i1012＝(i4)253＝1.故选B.22．(2024·福建漳州高三第一次质量检测)已知复数z满足z＋(z－1)i＝3(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)答案D解析将z＋(z－1)i＝3整理可得z＝eq\f(3＋i,1＋i)，所以z＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(3－2i－i2,1－i2)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i，可得|z|＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).故选D.23．(2024·广东佛山实验学校月考)已知i为虚数单位，若eq\f(4－2i,1＋i)＝a＋bi3(a，b∈R)，则a＋b＝()A．4 B．－2C．0 D．6答案A解析因为eq\f(4－2i,1＋i)＝eq\f(2（2－i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1－3i，又a＋bi3＝a－bi，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.故选A.24．(多选)(2024·福建厦门一中高三月考)已知复数z1，z2，下列命题正确的是()A．若|z1|