2024年人教版八年级上册数学同步训练：最短路径（原卷版）

第05讲最短路径

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，

①最短路径的基本原理点到直线的距离最短。

②最短路径的基本模型2.掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，

垂直平分线的性质解决相应题目。

最短路径

造桥选址

知识点01最短路径的基本原理

1.最短路径的基本原理:

号线最短

最短。

p

③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离0如图，儿W是垂直平分线，CA=.

知识点02最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短

1.如图，存在直线/以及直线外的点P和点0,直线/上存在一点使得的值最小：

方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的

交点即为要找的点M。1

解：如图，作点P关于直线/的对称点加。连接P。，尸'。与直线/交于点跖则此时最小。

证明：与P关于直线/对称

直线I是PP的________________

：.MPMP'

：.MP+MQ=+MQ=o

.•.儿0+河。此时有最小值，为的长度

题型考点：①基本作图。②求值计算。

【即学即练1】

1.如图，在正方形网格中有N两点，在直线/上求一点尸使尸M+PN最短，则点P应选在（）

A./点B.B点C.C点D.D点、

【即学即练2】

2.如图，在等边△48C中，3c边上的高4D=6,E是高/。上的一个动点，厂是边的中点，在点£运

动的过程中，E2+E尸存在最小值，则这个最小值是（）

知识点03最短路径基本类型一一角内一点与角两边构成的三角形周长最短

1.如图，已知/MON以及角内一点尸，角的两边。”与ON上存在点/与点8,使得△P/8的周长最小:

方法点拨：分别作点尸关于（W与ON的对称点P与广，连接PPLPP”与

OM、ON的交点/与8即为要找到的点。

解：如图，分别作点尸关于。加•与ON的对称点P与片，连接PP"。FP"与

OM、ON的分别交于点/与点8,连接尸/、PB以及AB,此时△P48的周长最小。

证明：与P关于0M对称，尸与产关于ON对称

河是尸P的,ON是尸夕的。

：.APAP,BPBP"

C△尸43=PA+AB+PB=+AB+=

：.APAB的周长最小。

题型考点：①基本作图。②求值计算。

【即学即练1】

3.如图，已知/O,点尸为其内一定点，分别在/O的两边上找点N、8,使△尸/3周长最小的是（）

【即学即练2】

4.如图，已知的大小为a,尸是内部的一个定点，且。尸=5,点E、尸分别是。4、。8上的

动点，若尸周长的最小值等于5,则。=（

A.30°B.45°C.60°D.90°

知识点04最短路径基本类型一一角内两点与角两边构成的四边形周长最短

1.如图：已知以及角内两点点尸与点Q,角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小:

方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边

CU与。2相交与点M与点N,此时点M与点N即为要找的点。

解:如图，作点0关于04的对称点。，点P关于02的对称点C,连接

DC,OC与。/交于点与交于点N,连接加，MN,PN,PQo此时四边

形尸。的周长最下。

证明：•••。与。关于对称，尸与C关于08对称

D

：.OA是QD的_________,OB是PC的___

：.MDMQ,NPNCo

C四边形PQMN=PQ+QM+MN+PN

=尸0+_______+MN+_________

=P0+_______oCB

四边形PQMN的周长最小。

题型考点：①基本作图。

【即学即练1】

5.已知：N/O8,点M■和点N,试在CM、03上分别找点P、0,使四边形MAQ尸的周长最短.（尺规作

图，不需写作法，保留作图痕迹）

知识点05最短路径基本类型-——造桥选址问题

1.如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q-现在河上修建一座垂直于河岸的桥,

使得村庄P到村庄Q的路程最短:

方法点拨：在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，直

线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。如下图：

题型考点：①基本作图。

【即学即练11

6.如图，N和8两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥使从N到8的路径NMN8最短的是（假

定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）

题型精讲

题型01最短路径的作图

【典例1】

小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区4,3提供牛奶，要使a3两小区到送奶站的距离之和最

小，则送奶站C的位置应该在（）

居民区A居民区4；

居民区B、以;、居民区B

街道---------街道——

A.B.：C

居民区A

I居民区B居民区A

\居民区B

街道？/

街道——'

C.A'D.C

【典例2】

如图，河道/的同侧有N两个村庄,计划铺设管道将河水引至M,N两村，下面四个方案中，管道总长

度最短的是（）

・N

M.

/N

：/Q1

1•

A.QB./

[N

c.Q\D.Q

【典例3】

如图，直线A，/2表示一条河的两岸，且/1〃/2现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使

得从村庄尸经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）

C

■

E%

-----------/2

A.路线：PF-FQPB.路线：PE-EQP

C.路线：PE-EF—FQPD.路线：PEfEF—FQ

【典例4】

将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为。，沿河。8排开（从点P到点。）；将军从马棚"

出发到达队头P,从P至。检阅队伍后再赶到校场M请问：在什么位置列队（即选择点P和。），可

以使得将军走的总路程MP+PQ+QN最短？

【典例5】

如图，山娃星期天从/处赶了几只羊到草地/i放羊，然后赶羊到小河乙饮水，之后再回到8处的家，假设

山娃赶羊走的都是直路，请你为它设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置.

草地

【典例6】

如图：要求在％上找出M,N两点.使四边形PQW的周长最小，在图上画出"，N的位置.（不写

画法，保留作图痕迹）

题型02最短路径的计算

【典例1】

如图，等边△48C中，。为NC中点，点尸、。分别为/8、上的点，且AP=/0=4,QD=3,在8。上

有一动点E,则PE+QE的最小值为（）

【典例2】

如图，CL•是△NBC的角平分线，△NBC的面积为12,2C长为6,点、E,尸分别是CD,NC上的动点，则

ZE+EF的最小值是（）

C.3D.2

【典例3】

如图，四边形N8CD中，ZBAD=a,ZB=ZD=90°,在8C、CD上分别找一点M、N,当周长

最小时，则NM4N的度数为（）

c

A.—aB.2a-180°C.180°-aD.a-90°

2

【典例4】

如图，//。8=30°,点。是它内部一点，OD=m.点、E,尸分别是CM,上的两个动点，则△£>£/周

【典例5】

如图，直线加是△48C中8c边的垂直平分线，点P是直线加上一动点，若AB=7,AC=6,BC=8,