人教A版（2019）必修第二册8.6.1空间直线、平面的垂直(精练)(原卷版+解析)

8.6.1空间直线、平面的垂直（精练）1．（2022陕西）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：(1)；(2)平面.3．（2022·江苏）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．(1)求证：；(2)设是的中点，求证：平面．4．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面；5．（2022·高一课时练习）如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．6．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，求证：，．7（2022·高一课时练习）如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．8．（2022·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．9．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.(1)证明：面.(2)求圆柱的体积.10．（2022·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．11．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．12．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD.13．（2022春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.(1)求证：平面BDE；(2)求证：PC⊥BD.14（2022·全国·高一专题练习）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面15．（2022·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．16．（2022·高一单元测试）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．(1)求证：(2)求证：平面17．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.(1)证明：平面；(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.18．（2022春·福建泉州·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．19．（2022·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求证：20．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..(1)求证：直线平面；(2)求三棱锥的体积.1（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是(

)①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.A．①② B．②③C．①③ D．①②③2．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面3．（2022黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面4．（2021秋·河北沧州·高三沧县中学校考阶段练习）（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则5（2023·江苏）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线平面ADF；(2)求证：直线平面ADF；(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．6．（2022春·河南开封·高一统考期中）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．7（2022辽宁）如图，在中，，，．分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．8．（2022·高一单元测试）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求线段BC的长度．9．（2022春·重庆铜梁·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，．点为棱的中点，点为棱上的一点，且，平面平面．(1)证明：；(2)证明：平面．8.6.1空间直线、平面的垂直（精练）1．（2022陕西）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】因为四边形为正方形，．在正方体中，易知平面，又平面，．又，平面，平面．2．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：(1)；(2)平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）在正方体中，平面，∵平面，∴，又四边形为正方形，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴.（2）与（1）中证明同理可证，又，平面∴平面．3．（2022·江苏）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点．(1)求证：；(2)设是的中点，求证：平面．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】（1）因为底面为菱形，，且为的中点，所以．又，所以．又底面底面，所以．因为平面平面，所以平面，平面，所以．（2）取的中点，连接，是中点，，，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又平面平面，平面平面，平面，平面．4．（2022·高一单元测试）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．(1)求证：∥平面；(2)求证：平面；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）连接与，两线交于点，连接．在中，∵，分别为，的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）∵侧棱底面，平面，∴，又∵为棱的中点，，∴．∵，，平面，∴平面，又平面，∴∵，∴．又∵，∴在和中，，∴，即，∴∵，，平面，∴平面．5．（2022·高一课时练习）如图，已知三棱锥中，，侧棱底面，点在棱和上的射影分别是点、，求证：．【答案】证明见解析【解析】由题意，平面，平面，故.又，，平面，则平面又平面，故，又，，平面，故平面.又平面，故，又，，平面，故平面.因为平面，故，即得证.6．（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，求证：，．【答案】证明见解析【解析】如图，在正方体中，平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴；同理，平面，平面，∴，又，，平面，∴平面，∵平面，∴.7（2022·高一课时练习）如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：．【答案】证明见解析.【解析】∵，M是BC的中点，∴．又平面PBC，平面PBC，则，∵，面，∴面，而面，∴．8．（2022·高一课时练习）在正三棱柱中，如图所示，，G，E，F分别是，AB，BC的中点，求证：直线直线GB．【答案】证明见解析【解析】证明：连接．在三角形中，G是的中点，所以．因为平面，平面，所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，所以所以直线直线GB．9．（2022春·广东揭阳·高一统考期末）圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，，，.(1)证明：面.(2)求圆柱的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】（1）证明：连接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）解：连接，∵，∴，∵垂直上底面，∴，∵，平面，，∴平面，又平面，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，，∴圆柱的体积为.10．（2022·高一课时练习）在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD．求证：l∥AE．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以AE⊥DC．因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为l⊥平面PCD，所以l∥AE．11．（2022·高一课时练习）如图，已知正方体A1C．(1)求证：A1C⊥B1D1；(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）如下图，连接A1C1．因为CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1．因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1．又因为CC1∩A1C1＝C1，所以B1D1⊥平面A1C1C．又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C．（2）如上图，连接B1A，AD1．因为B1C1=AD，B1C1∥AD所以四边形ADC1B1为平行四边形，所以C1D∥AB1，因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1．又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，所以MN⊥平面AB1D1．由（1）知A1C⊥B1D1．同理可得A1C⊥AB1．又因为AB1∩B1D1＝B1，所以A1C⊥平面AB1D1．所以A1C∥MN．故答案为：A1C⊥B1D1；MN∥A1C.12．（2021春·福建厦门·高一厦门双十中学校考期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB＝PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）取BD的中点O，连接CO，PO，因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO又PO∩CO＝O，PO，CO⊂平面PCO，所以BD⊥平面PCO因为PC⊂平面PCO，所以PC⊥BD；（2）由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，又EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD.由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，又CO⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CO∥平面PAD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面COE，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．13．（2022春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.(1)求证：平面BDE；(2)求证：PC⊥BD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，如图所示：∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点∵点E为PC的中点，∴∵平面BDE，且平面BDE∴平面BDE（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，∴PA⊥BD∵，平面PAC，∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，∴BD⊥PC.14（2022·全国·高一专题练习）如图所示，和所在平面互相垂直，且，点分别为的中点，求证：平面【答案】证明见解析【解析】证明：由且，可得，所以，又由为的中点，所以，因为为的中点，同理可得，又因为且平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，所以平面．15．（2022·高一单元测试）如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，．求证：AC垂直于平面BDM．【答案】证明见解析.【解析】设AC交BD于点O，连接MO,因为ABCD是菱形，所以,因为，且，所以，因为MO、BD是平面BDM上的两条相交直线，所以AC垂直于平面BDM．16．（2022·高一单元测试）如图，是正方形所在平面外一点，，且平面平面，，分别是线段，的中点．(1)求证：(2)求证：平面【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）因为正方形，又平面平面平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）取中点，连接，，在中，因为，分别是，的中点，所以，因为是正方形边中点，所以，所以，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，故EF平面17．（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.(1)证明：平面；(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）易知分别为的中点，是的中位线，，平面平面，平面；（2）底面平面，又平面，且，平面，又平面，四边形是正方形，，平面，平面，又平面平面平面.18．（2022春·福建泉州·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】（1）因为底面是正方形，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为底面是正方形，所以．因为底面，在平面内，所以．又，、在平面内，所以平面．又因为平面，所以平面平面．19．（2022·高一单元测试）如图所示，在矩形中，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.点是线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：在矩形中，，为的中点，∴，是的中点，∴，∵平面平面，平面平面，平面，平面，∴平面平面；（2）证明：在矩形中，，为的中点，∴，则，∴，由（1）知，平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴.20．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面分别为的中点..(1)求证：直线平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为为的中点，，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，因为，所以平行四边形是矩形，所以，因为，所以，又因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为平面，所以平面.（2）因为，所以，由平面为中点，所以点到平面的距离等于，所以.1（2021秋·河南安阳·高一安阳一中校考期末）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是(

)①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】D【解析】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,∴平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面平面ABD，故①正确；∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；故选：D2．（2022春·贵州六盘水·高一校考阶段练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】对于A中，由已知底面，且底面为矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；对于B中，由已知底面，且底面为矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；对于C中，由已知底面，且底面为矩形，所以，且,平面，所以平面，又由平面，所以平面平面，所以C正确；对于D中，设为平面与平面的交线，因为，平面，平面，所以平面，因为为平面与平面的交线，所以，又，所以，因为平面，平面，所以，所以，又底面，所以，所以，所以为平面与平面的二面角，若平面平面，则，而底面，所以，此时三角形内角和大于，所以平面与平面不垂直，所以D错误.故选：D.3．（2022黑龙江）（多选）如图，在三棱锥P-ABC中，平面的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面B．C．平面D．平面【答案】ABC【解析】平面，平面，又，平面且平面，故A正确由平面，平面得又，是的中点，又平面，平面，平面，故B,C正确由平面，平面得因为与不平行因此与不垂直从而不与平面垂直，故D错误故选：ABC.4．（2021秋·河北沧州·高三沧县中学校考阶段练习）（多选）设m、n、l表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题中正确的是（

）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【答案】ACD【解析】选项A，根据空间中直线平行的传递性，可知A正确；选项B，若，则m与l可能相交，也可能异面，也可能平行，故B错；选项C，根据空间中平面平行的传递性，可知C正确；选项D，两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故D正确；故选：ACD．5（2023·江苏）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF．(1)求证：直线平面ADF；(2)求证：直线平面ADF；(3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论．条件①：；条件②：；条件③：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析【解析】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至，所以，又，平面，所以平面；（2）证明：依题意可得且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面；（3）证明：因为平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，过点作，交于点，若选①，，，所以，所以，此时，所以如图过点作交的延长线于点，因为平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，显然平面与平面不垂直；若选②：，则，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若选③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；6．（2022春·河南开封·高一统考期中）在条件①；②；③平面平面中任选一个，补充到下面的问题中，并给出问题解答．问题：如图，在直三棱柱中，，且________，求证：．【答案】证明见解析【解析】（情况一）补充条件①．证明：在直棱柱中，平面，因为平面，所以．因为，平面，平面所以平面．因为平面，所以，