高考数学一轮复习全程复习构想·数学（文）第三节　概率与统计的综合问题练习

第三节概率与统计的综合问题提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一概率与统计图表的综合[应用性][例1]某社区组织了以“共同保护生态环境，共建绿色生态环境家园”为主题的垃圾分类、环境保护宣传咨询服务活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20，30)，第2组[30，40)，第3组[40，50)，第4组[50，60)，第5组[60，70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成宣传志愿者服务小组，求至少有1名男性的概率．反思感悟破解概率与统计图表综合问题的3步骤【对点训练】学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的概率．考点二概率与随机抽样的综合[综合性][例2]已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号．(1)如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号；(2)所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：人数数学优秀良好及格地理优秀7205良好9186及格a4b成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a，b的值；(3)若a≥10，b≥8，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954反思感悟破解概率与随机抽样综合问题的3步骤【对点训练】海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点三概率与数字特征的综合[应用性、综合性][例3]2019年高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为100分)，并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于70分的人数；(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的分析会，试求成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率．【对点训练】第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在中国北京举行．为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核．为了了解本次培训活动的效果，从A、B两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图．(1)计算A、B两所大学学生的考核成绩的平均值；(2)由茎叶图判断A、B两所大学学生考核成绩的稳定性；(不用计算)(3)将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率．考核成绩[60，85][86，100]考核等级合格优秀第三节概率与统计的综合问题提升关键能力考点一例1解析：(1)第2组的频率为1－(0.005＋0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.35，第4组的频率为0.02×10＝0.2，所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率为0.35＋0.2＝0.55；(2)第1组的频数为120×0.005×10＝6，其中男性有2人，记为x1，x2，女性有4人，记为y1，y2，y3，y4.随机抽取2名群众的基本事件是：(x1，x2)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，y4)，(y2，y3)，(y2，y4)，(y3，y4)，共有15种．其中至少有1名男性的基本事件是：(x1，x2)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x1，y3)，(x1，y4)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x2，y3)，(x2，y4)共9种．所以至少有1名男性的概率为915＝3对点训练解析：(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6分．(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130，140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140，150]的有2人，分别记作m，n.从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.故选出的两人在同一组的概率P＝715考点二例2解析：(1)依题意，最先抽取到的3个人的编号依次为785，567，199.(2)由题意可得7+9+a100＝0.3，解得a因为7＋9＋a＋20＋18＋4＋5＋6＋b＝100，所以b＝17.(3)由题意知a＋b＝31，且a≥10，b≥8，则满足条件的(a，b)有(10，21)，(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，共14组．其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的(a，b)有(10，21)，(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，共6组．故所求概率P＝614＝3对点训练解析：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝1所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1，150×150＝3，100×所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为4考点三例3解析：(1)由频率分布直方图可得第4组的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02.故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74(分)．由于前两组的频率之和为0.1＋0.3＝0.4，前三组的频率之和为0.1＋0.3＋0.3＝0.7，故中位数在第3组中．设中位数为t分，则有(t－70)×0.03＝0.1，得t＝2203即所求的中位数为2203(2)由(1)可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为2000×0.6＝1200.(3)由(1)可知，后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样的知识得这三组中所抽取的人数分别为3，2，1.记成绩在[70，80)的3名学生分别为a，b，c，成绩在[80，90)的2名学生分别为d，e，成绩在[90，100]的1名学生为f，则从中随机抽取3人的所有可能结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20种．其中成绩在[80，100]的学生没人被抽到的可能结果为(a，b，c)，只有1种，故成绩在[80，100]的学生至少有1人被抽到的概率P＝1－120＝19对点训练解析：(1)xA＝64+75+78+78+79+72+85+86+91+9210xB＝67+62+70+79+78+87+84+85+95+9310＝(2)由茎叶图可知，A所大学学生