2024初中中考数学真题难题-汇编-一次函数与反比例函数

一次函数与反比例函数一次函数〔2024广州〕假设一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么以下不等式中总是成立的是〔〕A、B、C、D、［难易］较易［考点］一次函数，不等式［解析］因为一次函数的图像经过第一、二、四象限,所以,所以,A错；，B错；,所以，所以C正确;的大小不能确定［参考答案］C2.〔2024广州〕如图,在平面直角坐标系中，直线与轴交于点,与直线交于点，点的坐标为求直线的解析式；直线与轴交于点，假设点是直线上一动点〔不与点重合〕，当与相似时，求点的坐标【难易】中等【考点】一次函数相似【解析】〔1〕首先设出一次函数解析式，将点A,D代入即可求出一次函数解析式;(2)先写出OB,OD,BC的长度，然后分两种情况讨论1：△BOD∽△BCE;2:△BOD∽△BEC.【参考答案】〔1〕设直线AD的解析式为y=kx+b将点A代入直线y=kx+b中得：k+b=b=1解得：k=b=1直经AD的解析式为：设点E的坐标为〔m,m+1〕令得x=-2点B的坐标为〔-2，0〕令y=-x+3=0得x=3点C的坐标为〔3，0〕OB=2,OD=1,BC=5,BD=当△BOD∽△BCE时,如图〔1〕所示，过点C作CEBC交直线AB于E：CE=m+1=,解得m=3此时E点的坐标为〔3，〕△BOD∽△BEC时，如图〔2〕所示，过点E作EFBC于F点，那么：CE=BE=BE*CE=EF*BCEF=2解得m=2此时E点的坐标为〔2，2〕当△BOD与△BCE相似时，满足条件的E坐标〔3，〕，〔2，2〕.3.〔2024茂名〕15．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y=x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=x上，依次进行下去…，假设点A的坐标是〔0，1〕，点B的坐标是〔，1〕，那么点A8的横坐标是6+6．【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数图象与几何变换．【分析】先求出点A2，A4，A6…的横坐标，探究规律即可解决问题．【解答】解：由题意点A2的横坐标〔+1〕，点A4的横坐标3〔+1〕，点A6的横坐标〔+1〕，点A8的横坐标6〔+1〕．故答案为6+6．【点评】此题考查坐标与图形的变换﹣旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题，属于中考常考题型．4.〔2024大庆〕由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，原有蓄水量y1〔万m3〕与干旱持续时间x〔天〕的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2〔万m3〕与时间x〔天〕的关系如图中线段l2所示〔不考虑其它因素〕．〔1〕求原有蓄水量y1〔万m3〕与时间x〔天〕的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．〔2〕求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y〔万m3〕与时间x〔天〕的函数关系式〔注明x的范围〕，假设总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．【考点】一次函数的应用．【分析】〔1〕根据两点的坐标求y1〔万m3〕与时间x〔天〕的函数关系式，并把x=20代入计算；〔2〕分两种情况：①当0≤x≤20时，y=y1，②当20＜x≤60时，y=y1+y2；并计算分段函数中y≤900时对应的x的取值．【解答】解：〔1〕设y1=kx+b，把〔0，1200〕和〔60，0〕代入到y1=kx+b得：解得，∴y1=﹣20x+1200当x=20时，y1=﹣20×20+1200=800，〔2〕设y2=kx+b，把〔20，0〕和〔60，1000〕代入到y2=kx+b中得：解得，∴y2=25x﹣500，当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，当20＜x≤60时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，y≤900，那么5x+700≤900，x≤40，当y1=900时，900=﹣20x+1200，x=15，∴发生严重干旱时x的范围为：15≤x≤40．【点评】此题考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线解析式为y=kx+b，将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组，求解；注意分段函数的实际意义，会观察图象．5.〔2024丹东〕某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．假设该果园每棵果树产果〔千克〕，增种果树〔棵〕，它们之间的函数关系如以以下列图．〔1〕求与之间的函数关系式；〔2〕在投入本钱最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？〔3〕当增种果树多少棵时，果园的总产量〔千克〕最大？最大产量是多少？解：〔1〕设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点〔12，74〕，〔28，66〕，根据题意，得解得，∴该函数的表达式为〔2〕根据题意，得，〔－0.5x+80〕〔80+x〕=6750解这个方程得，x1=10，x2=70∵投入本钱最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.〔3〕根据题意，得w=〔-0.5x+80〕〔80+x〕=-0.5x2+40x+6400=-0.5(x-40)2+7200∵a=-0.5<0，那么抛物线开口向下，函数有最大值∴当x=40时，w最大值为7200千克.∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克.6.〔2024襄阳〕襄阳市某企业积极响应政府“创新开展〞的号召，研发了一种新产品．研发、生产这种产品的本钱为30元／件，且年销售量y(万件)关于售价x(元／件)的函数解析式为：(1)假设企业销售该产品获得自睥利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价(元/件)的函数解析式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?(3)假设企业销售该产品的年利澜不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围．解：(1)(2)由(1)知，当540≤x<60时，W=-2〔x-50〕2+800．∵-2<0，，∴当x=50时。W有最大值800．当60≤x≤70时，W=-〔x-55〕2+625.∵-1＜0，∴当60≤x≤70时，W随x的增大而减小。∴当x=60时，W有最大值600．∴当该产品的售价定为50元／件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．(3)当40≤x＜60时，令W=750，得-2(x-50)2+800=750,解之，得由函数W=-2(x-50)2+800的性质可知，当45≤x≤55时，W≥750．当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.所以，要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.7.〔2024孝感〕孝感市在创立国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校方案购进A，B两种树木共棵进行校园绿化升级．经市场调查：购置种树木棵，种树木棵，共需元；购置种树木棵，种树木棵，共需元．〔1〕求种，种树木每棵各多少元？〔2〕因布局需要，购置种树木的数量不少于种树木数量的倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下〔不考虑其它因素〕，实际付款总金额按市场价九折优惠．请设计一种购置树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．解：〔1〕设A种，B种树木每棵分别为元，元，那么， 解得．答：A种，B种树木每棵分别为元，元．〔2〕设购置种树木为棵，那么购置种树木为棵，那么≥， ∴≥． 设实际付款总金额为元，那么 ∵，随的增大而增大，∴时，最小．即，〔元〕．∴当购置A种树木棵，B种树木棵时，所需费用最少，最少费用为元．8.〔2024衡阳〕为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，假设从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用〔元/吨〕如表所示：港口运费〔元/台〕甲库乙库A港1420B港108〔1〕设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y〔元〕与x〔吨〕之间的函数关系式，并写出x的取值范围；〔2〕求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．【考点】一次函数的应用．【分析】〔1〕根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组得出x的取值；〔2〕因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，那么当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案．【解答】解〔1〕设从甲仓库运x吨往A港口，那么从甲仓库运往B港口的有〔80﹣x〕吨，从乙仓库运往A港口的有吨，运往B港口的有50﹣〔80﹣x〕=〔x﹣30〕吨，所以y=14x+20+10〔80﹣x〕+8〔x﹣30〕=﹣8x+2560，x的取值范围是30≤x≤80．〔2〕由〔1〕得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．9.〔2024怀化〕一次函数y=2x+4〔1〕在如以以下列图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；〔2〕求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，求出△AOB的面积；〔4〕利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数的图象．【分析】〔1〕利用两点法就可以画出函数图象；〔2〕利用函数解析式分别代入x=0与y=0的情况就可以求出交点坐标；〔3〕通过交点坐标就能求出面积；〔4〕观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论．【解答】解：〔1〕当x=0时y=4，当y=0时，x=﹣2，那么图象如以以下列图〔2〕由上题可知A〔﹣2，0〕B〔0，4〕，〔3〕S△AOB=×2×4=4，〔4〕x＜﹣2．10.〔2024娄底〕甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．〔1〕求乙骑自行车的速度；〔2〕当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【考点】一元一次方程的应用．【分析】〔1〕设乙骑自行车的速度为x米/分钟，那么甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意列方程即可得到结论；〔2〕300×2=600米即可得到结果．【解答】解：〔1〕设乙骑自行车的速度为x米/分钟，那么甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意得+=﹣2，解得：x=300米/分钟，经检验x=300是方程的根，答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；〔2〕∵300×2=600米，答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．11.〔2024湘西〕某商店购进甲乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．〔1〕求甲、乙每个商品的进货单价；〔2〕假设甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元，问有哪几种进货方案？〔3〕在条件〔2〕下，并且不再考虑其他因素，假设甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【考点】一次函数的应用．【分析】〔1〕设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元，根据甲的进货单价比乙的进货单价高20元，20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同即可列方程组求解；〔2〕设甲进货x件，乙进货〔100﹣x〕件，根据两种商品的进货总价不高于9000元，两种商品全部售完后的销售总额不低于10480元即可列不等式组求解；〔3〕把利润表示出甲进的数量的函数，利用函数的性质即可求解．【解答】解：〔1〕设甲每个商品的进货单价是x元，每个乙商品的进货单价是y元．根据题意得：，解得：，答：甲商品的单价是每件100元，乙每件80元；〔2〕设甲进货x件，乙进货〔100﹣x〕件．根据题意得：，解得：48≤x≤50．又∵x是正整数，那么x的正整数值是48或49或50，那么有3种进货方案；〔3〕销售的利润w=100×10%x+80〔100﹣x〕×25%，即w=2000﹣10x，那么当x取得最小值48时，w取得最大值，是2000﹣10×48=1520〔元〕．此时，乙进的件数是100﹣48=52〔件〕．答：当甲进48件，乙进52件时，最大的利润是1520元．【点评】此题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组、一次函数的性质，正确求得甲进货的数量的范围是关键．12.〔2024永州〕一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，那么k所有可能取得的整数值为﹣1．【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】由一次函数图象与系数的关系可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：由得：，解得：﹣＜k＜0．∵k为整数，∴k=﹣1．故答案为：﹣1．13.〔2024沈阳〕在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y〔km〕与甲车行驶时间t〔h〕之间的函数关系如图表示，当甲车出发h时，两车相距350km．【考点】一次函数的应用．【分析】根据图象，可得A与C的距离等于B与C的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度，根据甲、乙的路程，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由题意，得AC=BC=240km，甲的速度240÷4=60km/h，乙的速度240÷30=80km/h．设甲出发x小时甲乙相距350km，由题意，得60x+80〔x﹣1〕+350=240×2，解得x=，答：甲车出发h时，两车相距350km，故答案为：．【点评】此题考查了一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键．14.〔2024滨州〕〔2024•滨州〕星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h．设爸爸骑行时间为x〔h〕．〔1〕请分别写出爸爸的骑行路程y1〔km〕、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2〔km〕与x〔h〕之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；〔2〕请在同一个平面直角坐标系中画出〔1〕中两个函数的图象；〔3〕请答复谁先到达老家．【考点】一次函数的应用．【分析】〔1〕根据速度乘以时间等于路程，可得函数关系式，〔2〕根据描点法，可得函数图象；〔3〕根据图象，可得答案．【解答】解；〔1〕由题意，得y1=20x〔0≤x≤2〕y2=40〔x﹣1〕〔1≤x≤2〕；〔2〕由题意得；〔3〕由图象得到达老家．【点评】此题考查了一次函数图象，利用描点法是画函数图象的关键．15.〔2024德州〕如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点〔1，0〕作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，那么点A2024的坐标为〔21008，21009〕．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【专题】规律型；一次函数及其应用．【分析】写出局部An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A2n+1〔〔﹣2〕n，2〔﹣2〕n〕〔n为自然数〕〞，依此规律即可得出结论．【解答】解：观察，发现规律：A1〔1，2〕，A2〔﹣2，2〕，A3〔﹣2，﹣4〕，A4〔4，﹣4〕，A5〔4，8〕，…，∴A2n+1〔〔﹣2〕n，2〔﹣2〕n〕〔n为自然数〕．∵2024=1008×2+1，∴A2024的坐标为〔〔﹣2〕1008，2〔﹣2〕1008〕=〔21008，21009〕．故答案为：〔21008，21009〕．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A2n+1〔〔﹣2〕n，2〔﹣2〕n〕〔n为自然数〕〞．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，写出局部An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．16.(2024德州〕某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，该运动鞋每双的进价为120元，为寻求适宜的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：第1天第2天第3天第4天售价x〔元/双〕150200250300销售量y〔双〕40302420〔1〕观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；〔2〕假设商场方案每天的销售利润为3000元，那么其单价应定为多少元？【考点】一次函数的应用．【分析】〔1〕由表中数据得出xy=6000，即可得出结果；〔2〕由题意得出方程，解方程即可，注意检验．【解答】解：〔1〕由表中数据得：xy=6000，∴y=，∴y是x的反比例函数，故所求函数关系式为y=；〔2〕由题意得：〔x﹣120〕y=3000，把y=代入得：〔x﹣120〕•=3000，解得：x=240；经检验，x=240是原方程的根；答：假设商场方案每天的销售利润为3000元，那么其单价应定为240元．【点评】此题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．17.〔2024济宁〕点P〔x0，y0〕和直线y=kx+b，那么点P到直线y=kx+b的距离证明可用公式d=计算．例如：求点P〔﹣1，2〕到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P〔﹣1，2〕到直线y=3x+7的距离为：d====．根据以上材料，解答以下问题：〔1〕求点P〔1，﹣1〕到直线y=x﹣1的距离；〔2〕⊙Q的圆心Q坐标为〔0，5〕，半径r为2，判断⊙Q与直线y=x+9的位置关系并说明理由；〔3〕直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．【考点】一次函数综合题．【分析】〔1〕根据点P到直线y=kx+b的距离公式直接计算即可；〔2〕先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y=x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y=x+9相切；〔3〕利用两平行线间的距离定义，在直线y=﹣2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=﹣2x﹣6的距离即可．【解答】解：〔1〕因为直线y=x﹣1，其中k=1，b=﹣1，所以点P〔1，﹣1〕到直线y=x﹣1的距离为：d====；〔2〕⊙Q与直线y=x+9的位置关系为相切．理由如下：圆心Q〔0，5〕到直线y=x+9的距离为：d===2，而⊙O的半径r为2，即d=r，所以⊙Q与直线y=x+9相切；〔3〕当x=0时，y=﹣2x+4=4，即点〔0，4〕在直线y=﹣2x+4，因为点〔0，4〕到直线y=﹣2x﹣6的距离为：d===2，因为直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，所以这两条直线之间的距离为2．18.〔2024枣庄〕如图，点A的坐标为〔-4,0〕，直线与坐标轴交于点B，C，连结AC，如果∠ACD=90°，那么n的值为.第16题图第16题图【答案】.考点：一次函数的性质.反比例函数1.〔2024兰州〕如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC交x轴于点E,BD交x轴于点F，AC=2,BD=3,EF=那么【答案】：A【考点】：反比例函数的性质2.(2024兰州〕如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ABx轴于点C，点在反比例函数的图像上。〔1〕求反比例函数的的表达式；〔2〕在x轴的负半轴上存在一点P，使得，求点P的坐标；〔3〕假设将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60º得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图像上，说明理由。像上。3.〔2024茂名〕如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象交于点A〔﹣1，4〕和点B〔a，1〕．〔1〕求反比例函数的表达式和a、b的值；〔2〕假设A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式．【分析】〔1〕由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，从而得出反比例函数解析式；再将点A、B坐标分别代入一次函数y=x+b中得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；〔2〕连接AO，设线段AO与直线l相交于点M．由A、O两点关于直线l对称，可得出点M为线段AO的中点，再结合点A、O的坐标即可得出结论．【解答】解：〔1〕∵点A〔﹣1，4〕在反比例函数y=〔k为常数，k≠0〕的图象上，∴k=﹣1×4=﹣4，∴反比例函数解析式为y=﹣．把点A〔﹣1，4〕、B〔a，1〕分别代入y=x+b中，得：，解得：．〔2〕连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如以以下列图．∵A、O两点关于直线l对称，∴点M为线段OA的中点，∵点A〔﹣1，4〕、O〔0，0〕，∴点M的坐标为〔﹣，2〕．∴直线l与线段AO的交点坐标为〔﹣，2〕．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组以及中点坐标公式，解题的关键是：〔1〕由点的坐标利用待定系数法求函数系数；〔2〕得出点M为线段AO的中点．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了中点坐标公式降低了难度．4.(2024深圳〕如图，四边形是平行四边形，点C在x轴的负半轴上，将ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上.假设点D在反比例函数的图像上，那么k的值为_________.解析：如图，作DM⊥轴由题意∠BAO=∠OAF,AO=AF,AB∥OC所以∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF∴∠AOF=60°=∠DOM∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4∴MO=2，MD=∴D(-2，-)∴k=-2×〔〕=5.〔2024大庆〕9．A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕、C〔x3，y3〕是反比例函数y=上的三点，假设x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，那么以下关系式不正确的选项是〔〕A．x1•x2＜0B．x1•x3＜0C．x2•x3＜0D．x1+x2＜0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数y=和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．【解答】解：∵反比例函数y=中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，应选A．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，此题是逆用，难度有点大．6.〔2024大庆〕如图，P1、P2是反比例函数y=〔k＞0〕在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为〔4，0〕．假设△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．〔1〕求反比例函数的解析式．〔2〕①求P2的坐标．②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形．【分析】〔1〕先根据点A1的坐标为〔4，0〕，△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；〔2〕先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为〔4+a，a〕，并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围．【解答】解：〔1〕过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B∵点A1的坐标为〔4，0〕，△P1OA1为等腰直角三角形∴OB=2，P1B=OA1=2∴P1的坐标为〔2，2〕将P1的坐标代入反比例函数y=〔k＞0〕，得k=2×2=4∴反比例函数的解析式为〔2〕①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C∵△P2A1A2为等腰直角三角形∴P2C=A1C设P2C=A1C=a，那么P2的坐标为〔4+a，a〕将P2的坐标代入反比例函数的解析式为，得a=，解得a1=，a2=〔舍去〕∴P2的坐标为〔，〕②在第一象限内，当2＜x＜2+时，一次函数的函数值大于反比例函数的值．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．7.〔2024梅州〕如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A〔2，5〕在反比例函数的图象上．一次函数的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．〔1〕求和的值；〔2〕设反比例函数值为，一次函数值为，求时的取值范围．解：〔1〕把A〔2，5〕分别代入和，得，解得，；〔2〕由〔1〕得，直线AB的解析式为，反比例函数的解析式为．由，解得：或．那么点B的坐标为．由图象可知，当时，x的取值范围是或．8.〔2024黄冈〕如图，点A(1,a)是反比例函数y=-的图像上一点，直线y=-x+与反比例函数y=-的图像在第四象限的交点为B.(1)求直线AB的解析式；(2)动点P(x,o)在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差到达最大时，求点P的坐标.〔第21题〕【考点】反比例函数，一次函数，最值问题.【分析】〔1〕因为点A(1,a)是反比例函数y=-的图像上一点，把A(1,a)代入y=－中，求出a的值，即得点A的坐标；又因为直线y=-x+与反比例函数y=-的图像在第四象限的交点为B，可求出点B的坐标；设直线AB的解析式为y=kx+b，将A，B的坐标代入即可求出直线AB的解析式；(2)当两点位于直线的同侧时，直接连接两点并延长与直线相交，那么两线段的差的绝对值最大。连接A，B，并延长与x轴交于点P，即当P为直线AB与x轴的交点时，｜PA－PB｜最大.【解答】解：〔1〕把A(1,a)代入y=－中，得a=－3.∴A(1,－3).又∵B，D是y=－x+与y=－的两个交点，∴B(3,－1).设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(1,－3)，B(3,－1)，解得k=1，b=－4.∴直线AB的解析式为y=x－4.〔2〕当P为直线AB与x轴的交点时，｜PA－PB｜最大由y=0,得x=4,∴P(4,0).9.(2024十堰〕如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点〔不与端点A，B重合〕，作CD⊥OB于点D，假设点C，D都在双曲线y=上〔k＞0，x＞0〕，那么k的值为〔〕A．25B．18C．9D．9【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行线的性质；等边三角形的性质．【分析】过点A作AE⊥OB于点E，根据正三角形的性质以及三角形的边长可找出点A、B、E的坐标，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出，令该比例=n，根据比例关系找出点D、C的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、n的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：过点A作AE⊥OB于点E，如以以下列图．∵△OAB为边长为10的正三角形，∴点A的坐标为〔10，0〕、点B的坐标为〔5，5〕，点E的坐标为〔，〕．∵CD⊥OB，AE⊥OB，∴CD∥AE，∴．设=n〔0＜n＜1〕，∴点D的坐标为〔，〕，点C的坐标为〔5+5n，5﹣5n〕．∵点C、D均在反比例函数y=图象上，∴，解得：．应选C．【点评】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D、C的坐标．此题属于中档题，稍显繁琐，解决该题型题目时，巧妙的借助了比例来表示点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．10.〔2024随州〕如图，直线y=x+4与双曲线y=〔k≠0〕相交于A〔﹣1，a〕、B两点，在y轴上找一点P，当PA+PB的值最小时，点P的坐标为〔0，〕．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式求出点A、B的坐标，然后作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，然后求出直线BC的解析式，求出点P的坐标．【解答】解：把点A坐标代入y=x+4得，﹣1+4=a，a=3，即A〔﹣1，3〕，把点A坐标代入双曲线的解析式：3=﹣k，解得：k=﹣3，联立两函数解析式得：，解得：，，即点B坐标为：〔﹣3，1〕，作出点A关于y轴的对称点C，连接BC，与y轴的交点即为点P，使得PA+PB的值最小，那么点C坐标为：〔1，3〕，设直线BC的解析式为：y=ax+b，把B、C的坐标代入得：，解得：，函数解析式为：y=x+，那么与y轴的交点为：〔0，〕．故答案为：〔0，〕．11.〔2024咸宁〕如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点A〔m，2〕，将直线y=2x向下平移后与反比例函数y=在第一象限内的图像交于点P，且△POA的面积为2.〔1〕求k的值；〔2〕求平移后的直线的函数解析式.【考点】反比例函数与一次函数的综合题，平移.【分析】〔1〕将点A(m，2)代入y=2x，可求得m的值，得出A点的坐标，再代入反比例函数y=，即可求出k的值；〔2〕设平移后的直线与y轴交于点B，连接AB，那么S△AOB=S△POA=2【解答】解：(1)∵点A(m，2)在直线y=2x上，∴2=2m，∴m=1，∴点A〔1，2〕。又∵点A〔1，2〕在反比例函数y=的图像上，∴k=2.〔2〕设平移后的直线与y轴交于点B，连接AB，那么S△AOB=S△POA=2过点A作y轴的垂线AC，垂足为点C，那么AC=1.∴OB·AC=2，∴OB=4.∴平移后的直线的解析式为y=2x-4.【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的综合题，平移.要注意，在图像上的点的坐标满足这个图像的解析式；问题〔2〕中，设平移后的直线与y轴交于点B，得出S△AOB=S△POA=2工过点A作y轴的垂线AC是解题的关键.12.〔2024襄阳〕如图，直线y=ax+b与反比例函数y=〔x＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，m)两点，与x轴，y轴分别交干C，D两点．(1)m=，n=；假设M(xl，y1)，N(x2，y2)是反比例函数图象上两点，且0＜xl＜x2，那么yl(填“＜〞或“＝〞或“＞〞)；(2)假设线段CD上的点P到x轴，y轴的距离相等．求点P的坐标．(1)m=4n=lyl＞y2(2)解：∵直线y=ax+b经过点A(l，4)，B(4，1)，解之，得当x=y时，x=-x+5，解之，得所以，13.〔2024常德〕如图，直线AB与坐标轴分别交于A〔﹣2，0〕，B〔0，1〕两点，与反比例函数的图象在第一象限交于点C〔4，n〕，求一次函数和反比例函数的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，把A〔﹣2，0〕，B〔0，1〕代入得出方程组，解方程组即可；求出点C的坐标，设反比例函数的解析式为y=，把C〔4，3〕代入y=求出m即可．【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，把A〔﹣2，0〕，B〔0，1〕代入得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=x+1；设反比例函数的解析式为y=，把C〔4，n〕代入得：n=3，∴C〔4，3〕，把C〔4，3〕代入y=得：m=3×4=12，∴反比例函数的解析式为y=．14.〔2024衡阳〕如图，A，B是反比例函数y=〔k＞0，x＞0〕图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C〔图中“→〞所示路线〕匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，那么S关于x的函数图象大致为〔〕A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S==a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；应选：A．15.〔2024湘西〕如图，反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A〔1，4〕，且该直线与x轴的交点为B．〔1〕求反比例函数和直线的解析式；〔2〕求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】〔1〕把A点坐标分别代入y=和y=﹣x+b中分别求出k和b即可得到两函数解析式；〔2〕利用一次函数解析式求出B点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：〔1〕把A〔1，4〕代入y=得k=1×4=4，所以反比例函数的解析式为y=；把A〔1，4〕代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5，所以直线解析式为y=﹣x+5；〔2〕当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，那么B〔5，0〕，所以△AOB的面积=×5×4=10．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点问题〔1〕求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，方程组无解，那么两者无交点16.〔2024岳阳〕如图，一次函数y=kx+b〔k、b为常数，且k≠0〕和反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是1＜x＜4．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．【解答】解：∵由图象可知：A〔1，4〕，B〔4，1〕，x＞0，∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4，故答案为：1＜x＜4．17.〔2024泰州〕如图，点A〔m，4〕，B〔﹣4，n〕在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，经过点A、B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D．〔1〕假设m=2，求n的值；〔2〕求m+n的值；〔3〕连接OA、OB，假设tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线AB的函数关系式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕先把A点坐标代入y=求出k的值得到反比例函数解析式为y=，然后把B〔﹣4，n〕代入y=可求出n的值；〔2〕利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m=k，﹣4n=k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值；〔3〕作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE==，tan∠BOF==，那么+=1，加上m+n=0，于是可解得m=2，n=﹣2，从而得到A〔2，4〕，B〔﹣4，﹣2〕，然后利用待定系数法求直线AB的解析式．【解答】解：〔1〕当m=2，那么A〔2，4〕，把A〔2，4〕代入y=得k=2×4=8，所以反比例函数解析式为y=，把B〔﹣4，n〕代入y=得﹣4n=8，解得n=﹣2；〔2〕因为点A〔m，4〕，B〔﹣4，n〕在反比例函数y=〔k＞0〕的图象上，所以4m=k，﹣4n=k，所以4m+4n=0，即m+n=0；〔3〕作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，在Rt△AOE中，tan∠AOE==，在Rt△BOF中，tan∠BOF==，而tan∠AOD+tan∠BOC=1，所以+=1，而m+n=0，解得m=2，n=﹣2，那么A〔2，4〕，B〔﹣4，﹣2〕，设直线AB的解析式为y=px+q，把A〔2，4〕，B〔﹣4，﹣2〕代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=x+2．18.〔2024沈阳〕如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=〔x＞0〕图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．假设四边形OAPB的面积为3，那么k的值为〔〕A．3B．﹣3C．D．﹣【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．再由函数图象所在的象限确定k的值即可．【解答】解：∵点P是反比例函数y=〔x＞0〕图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．假设四边形OAPB的面积为3，∴矩形OAPB的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．应选A．【点评】此题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．18.〔2024呼和浩特〕反比例函数y=的图象在二四象限，一次函数为y=kx+b〔b＞0〕，直线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，与直线y=kx+b交于点D．〔1〕假设点A，D都在第一象限，求证：b＞﹣3k；〔2〕在〔1〕的条件下，设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F，当=且△OFE的面积等于时，求这个一次函数的解析式，并直接写出不等式＞kx+b的解集．【考点】反比例函数综合题．【分析】〔1〕由反比例函数y=的图象在二四象限，得到k＜0，于是得到一次函数为y=kx+b随x的增大而减小，根据A，D都在第一象限，得到不等式即可得到结论；〔2〕根据题意得到，由三角形的面积公式得到S△OEF=×〔﹣〕×b=联立方程组解得k=﹣，b=3，即可得到结论．【解答】解：〔1〕证明：∵反比例函数y=的图象在二四象限，∴k＜0，∴一次函数为y=kx+b随x的增大而减小，∵A，D都在第一象限，∴3k+b＞0，∴b＞﹣3k；〔2〕由题意知：，∴①，∵E〔﹣，0〕，F〔0，b〕，∴S△OEF=×〔﹣〕×b=②，由①②联立方程组解得：k=﹣，b=3，∴这个一次函数的解析式为y=﹣x+3，解﹣=﹣x+3得x1=，x2=，∴直线y=kx+b与反比例函数y=的交点坐标的横坐标是或，∴不等式＞kx+b的解集为＜x＜0或x＞．19.〔2024宁夏〕正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是〔〕A．x＜﹣2或x＞2B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【解答】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．应选B．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．此题属于根底题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．20.〔2024宁夏〕如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过OA的中点C，交AB于点D．〔1〕求反比例函数的关系式；〔2〕连接CD，求四边形CDBO的面积．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．【分析】〔1〕解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；〔2〕求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD即可求得．【解答】解：〔1〕∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，∴AB=OB=2，作CE⊥OB于E，∵∠ABO=90°，∴CE∥AB，∴OC=AC，∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，∴C〔，1〕，∵反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过OA的中点C，∴1=，∴k=，∴反比例函数的关系式为y=；〔2〕∵OB=2，∴D的横坐标为2，代入y=得，y=，∴D〔2，〕，∴BD=，∵AB=2，∴AD=，∴S△ACD=AD•BE=××=，∴S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣=×2×2﹣=．【点评】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决此题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．21.(2024滨州〕如图，点A、C在反比例函数y=的图象上，点B，D在反比例函数y=的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=，CD=，AB与CD间的距离为6，那么a﹣b的值是3．【考点】反比例函数的性质．【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，连接OA、OB，延长AB交y轴于点E，通过计算三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，那么点A〔，y1〕，点B〔，y1〕，点C〔，y2〕，点D〔，y2〕．∵AB=，CD=，∴2×||=||，∴|y1|=2|y2|．∵|y1|+|y2|=6，∴y1=4，y2=﹣2．连接OA、OB，延长AB交y轴于点E，如以以下列图．S△OAB=S△OAE﹣S△OBE=〔a﹣b〕=AB•OE=××4=，∴a﹣b=2S△OAB=3．故答案为：3．【点评】此题考查了反比例函数系数k的结合意义以及反比例函数的性质，解题的关键是找出a﹣b=2S△OAB．此题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用反比例函数系数k的几何意义结合三角形的面积求出反比例函数系数k是关键．22.〔2024菏泽〕如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，那么△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为〔〕A．36 B．12 C．6 D．3【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，那么点B的坐标为〔a+b，a﹣b〕．∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，∴〔a+b〕×〔a﹣b〕=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD=a2﹣b2=〔a2﹣b2〕=×6=3．应选D．【点评】此题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．23.〔2024菏泽〕如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A〔﹣1，a〕．〔1〕求a，m的值；〔2〕求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A〔﹣1，4〕坐标代入反比例解析式中即可求得m的值；〔2〕解方程组，即可解答．【解答】解：〔1〕∵点A的坐标是〔﹣1，a〕，在直线y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×〔﹣1〕+2=4，∴点A的坐标是〔﹣1，4〕，代入反比例函数y=，∴m=﹣4．〔2〕解方程组如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A〔﹣1，a〕．〔1〕求a，m的值；〔2〕求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A〔﹣1，4〕坐标代入反比例解析式中即可求得m的值；〔2〕解方程组，即可解答．【解答】解：〔1〕∵点A的坐标是〔﹣1，a〕，在直线y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×〔﹣1〕+2=4，∴点A的坐标是〔﹣1，4〕，代入反比例函数y=，∴m=﹣4．〔2〕解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标为〔2，﹣2〕．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．解得：或，∴该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标为〔2，﹣2〕．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．24.〔2024济宁〕如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，那么△AOF的面积等于〔〕A．60 B．80 C．30 D．40【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，设OA=a，BF=b，通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值，通过分割图形求面积，最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，如以以下列图．设OA=a，BF=b，在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB=，∴AM=OA•sin∠AOB=a，OM==a，∴点A的坐标为〔a，a〕．∵点A在反比例函数y=的图象上，∴a×a==48，解得：a=10，或a=﹣10〔舍去〕．∴AM=8，OM=6．∵四边形OACB是菱形，∴OA=OB=10，BC∥OA，∴∠FBN=∠AOB．在Rt△BNF中，BF=b，sin∠FBN=，∠BNF=90°，∴FN=BF•sin∠FBN=b，BN==b，∴点F的坐标为〔10+b，b〕．∵点B在反比例函数y=的图象上，∴〔10+b〕×b=48，解得：b=，或b=〔舍去〕．∴FN=，BN=﹣5，MN=OB+BN﹣OM=﹣1．S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=〔AM+FN〕•MN=〔8+〕×〔﹣1〕=×〔+1〕×〔﹣1〕=40．应选D．25.〔2024聊城〕如图，在直角坐标系中，直线y=﹣x与反比例函数y=的图象交于关于原点对称的A，B两点，A点的纵坐标是3．〔1〕求反比例函数的表达式；〔2〕将直线y=﹣x向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕将y=3代入一次函数解析式中，求出x的值，即可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；〔2〕根据A、B点关于原点对称，可求出点B的坐标以及线段AB的长度，设出平移后的直线的函数表达式，根据平行线间的距离公式结合三角形的面积即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：〔1〕令一次函数y=﹣x中y=3，那么3=﹣x，解得：x=﹣6，即点A的坐标为〔﹣6，3〕．∵点A〔﹣6，3〕在反比例函数y=的图象上，∴k=﹣6×3=﹣18，∴反比例函数的表达式为y=﹣．〔2〕∵A、B两点关于原点对称，∴点B的坐标为〔6，﹣3〕，∴AB==6．设平移后的直线的函数表达式为y=﹣x+b〔b＞0〕，即x+2y﹣2b=0，直线y=﹣x可变形为x+2y=0，∴两直线间的距离d==b．∴S△ABC=AB•d=×6×b=48，解得：b=8．∴平移后的直线的函数表达式为y=﹣x+8．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征．三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，解题的关键是：〔1〕求出点A的坐标；〔2〕找出关于b的一元一次方程．此题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线间的距离公式要比通过解直角三角形简洁不少．26.〔2024泰安〕如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为〔0，3〕，点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N． 〔1〕求反比例函数和一次函数的表达式； 〔2〕假设点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标． 【分析】〔1〕由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； 〔2〕把y=3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P〔x，y〕，根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可． 【解答】解：〔1〕∵正方形OABC的顶点C〔0，3〕， ∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°， ∵AD=2DB， ∴AD=AB=2， ∴D〔﹣3，2〕， 把D坐标代入y=得：m=﹣6， ∴反比例解析式为y=﹣， ∵AM=2MO， ∴MO=OA=1，即M〔﹣1，0〕， 把M与D坐标代入y=kx+b中得：， 解得：k=b=﹣1， 那么直线DM解析式为y=﹣x﹣1； 〔2〕把y=3代入y=﹣得：x=﹣2， ∴N〔﹣2，3〕，即NC=2， 设P〔x，y〕， ∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等， ∴〔OM+NC〕OC=OM|y|，即|y|=9， 解得：y=±9， 当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8， 那么P坐标为〔﹣10，9〕或〔8，﹣9〕． 【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． 27.〔2024烟台〕反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，那么t的取值范围是〔〕A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出关于x的一元二次方程，由两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，结合根的判别式以及根与系数的关系即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t＞．应选B．26.〔2024淄博〕反比例函数y=〔a＞0，a为常数〕和y=在第一象限内的图象如以以下列图，点M在y=的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，那么点B是MD的中点．其中正确结论的个数是〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积﹣〔三角形ODB面积+面积三角形OCA〕，解答可知；③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y=图象上，那么△ODB与△OCA的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，那么四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；③连接OM，点A是MC的中点，那么△OAM和△OAC的面积相等，∵△ODM的面积=△OCM的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBM与△OAM的面积相等，∴△OBD和△OBM面积相等，∴点B一定是MD的中点．正确；应选：D．【点评】此题考查了反比例函数y=〔k≠0〕中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 27〔2024巴中〕，如图，一次函数y=kx+b〔k、b为常数，k≠0〕的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=〔n为常数且n≠0〕的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，假设OB=2OA=3OD=6．〔1〕求一次函数与反比例函数的解析式；〔2〕求两函数图象的另一个交点坐标；〔3〕直接写出不等式；kx+b≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．〔2〕两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．〔3〕根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．【解答】解：〔1〕∵OB=2OA=3OD=6，∴OB=6，OA=3，OD=2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴=，∴=，∴CD=10，∴点C坐标〔﹣2，10〕，B〔0，6〕，A〔3，0〕，∴解得，∴一次函数为y=﹣2x+6．∵反比例函数y=经过点C〔﹣2，10〕，∴n=﹣20，∴反比例函数解析式为y=﹣．〔2〕由解得或，故另一个交点坐标为〔5，﹣4〕．〔3〕由图象可知kx+b≤的解集：﹣2≤x＜0或x≥5．28.〔2024成都〕如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A〔2，2〕．〔1〕分别求这两个函数的表达式；〔2〕将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限的交点为C，连接AB、AC，求点C的坐标及△ABC的面积．【答案】〔1〕y＝－x，；〔2〕点C的坐标为(4，-1)，6．解法二：如图2，连接OC．∵OA∥BC，∴S△ABC＝S△BOC=OBxc＝×3×4＝6．试题解析：(1)∵正比例函数的图象与反比例函数直线的图象都经过点A(2，-2)．，∴解得：∴y＝－x，；(2)∵直线BC由直线OA向上平移3个单位所得，∴B〔0，3〕，kbc＝koa＝－1，∴设直线BC的表达式为y＝－x＋3，由，解得，．∵因为点C在第四象限∴点C的坐标为(4，-1)．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．29.〔2024达州〕如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A〔3，0〕，B〔0，6〕分别在x轴，y轴上，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点D，且与边BC交于点E，那么点E的坐标为〔2，7〕．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】首先过点D作DF⊥x轴于点F，易证得△AOB∽△DFA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点C的坐标，继而求得直线BC的解析式，那么可求得点E的坐标．【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，那么∠AOB=∠DFA=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC，∴∠OAB+∠DAF=90°，∴∠ABO=∠DAF，∴△AOB∽△DFA，∴OA：DF=OB：AF=AB：AD，∵AB：BC=3：2，点A〔3，0〕，B〔0，6〕，∴AB：AD=3：2，OA=3，OB=6，∴DF=2，AF=4，∴OF=OA+AF=7，∴点D的坐标为：〔7，2〕，∴反比例函数的解析式为：y=①，点C的坐标为：〔4，8〕，设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x+6②，联立①②得：或〔舍去〕，∴点E的坐标为：〔2，7〕．故答案为：〔2，7〕．30〔2024广安)如图，一次函数y1=kx+b〔k≠0〕和反比例函数y2=〔m≠0〕的图象交于点A〔﹣1，6〕，B〔a，﹣2〕．〔1〕求一次函数与反比例函数的解析式；〔2〕根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】〔1〕把点A坐标代入反比例函数求出k的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出a的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；〔2〕找出直线在一次函数图形的上方的自变量x的取值即可．【解答】解：〔1〕把点A〔﹣1，6〕代入反比例函数y2=〔m≠0〕得：m=﹣1×6=﹣6，∴．将B〔a，﹣2〕代入得：﹣2=，a=3，∴B〔3，﹣2〕，将A〔﹣1，6〕，B〔3，﹣2〕代入一次函数y1=kx+b得：∴∴y1=﹣2x+4．〔2〕由函数图象可得：x＜﹣1或0＜x＜3．30.〔2024眉山〕．如图，点A是双曲线在第三象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，那么k的值是。解：∵双曲线的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA＝OB．连接OC，如以以下列图．∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB．∠BAC＝60°．∴．∴，，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°－∠FOC＝∠OCF．∴△OFC∽△AEO．相似比，∴面积比．∵点A在第一象限，设点A坐标为〔a，b〕，∵点A在双曲线上，∴S△AEO＝ab＝，∴S△OFC＝．∴设点C坐标为〔x，y〕，∵点C在双曲线上，∴k＝xy∵点C在第四象限，∴FC＝x，OF＝－y．∴FC•OF＝x•〔－y〕＝－xy＝－6．∴xy＝－．．故答案为：－．31.〔2024资阳〕如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是〔1，0〕、〔3，1〕、〔3，3〕，双曲线y=〔k≠0，x＞0〕过点D．〔1〕求双曲线的解析式；〔2〕作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质．【分析】〔1〕根据在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是〔1，0〕、〔3，1〕、〔3，3〕，可以求得点D的坐标，又因为双曲线y=〔k≠0，x＞0〕过点D，从而可以求得k的值，从而可以求得双曲线的解析式；〔2〕由图可知三角形CDE的面积等于三角形EDA与三角形ADC的面积之和，从而可以解答此题．【解答】解：〔1〕∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是〔1，0〕、〔3，1〕、〔3，3〕，∴点D的坐标是〔1，2〕，∵双曲线y=〔k≠0，x＞0〕过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；〔2〕∵直线AC交y轴于点E，∴S△CDE=S△EDA+S△ADC=，即△CDE的面积是3．32.〔2024新疆〕如图，直线y=2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为〔1，0〕．〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕点D〔a，1〕是反比例函数y=〔x＞0〕图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说