椭圆的基本性质

课题:12。4椭圆得基本性质(二课时)教学目标:1、掌握椭圆得对称性,顶点,范围等几何性质.2、能根据椭圆得几何性质对椭圆方程进行讨论,在此基础上会画椭圆得图形.3、学会判断直线与椭圆得位置,能够解决直线与椭圆相交时得弦长问题,中点问题等。4、在对椭圆几何性质得讨论中,注意数与形得结合与转化,学会分类讨论、数形结合等数学思想与探究能力得培养;培养探究新事物得欲望,获得成功得体验,树立学好数学得信心、教学重点:椭圆得几何性质及初步运用教学难点:直线与椭圆相交时得弦长问题与中点问题教学过程:一。课前准备:知识回忆椭圆与圆得概念椭圆得标准方程2、课前练习圆得定义: 到一定点得距离等于＿＿＿＿__得图形得轨迹。椭圆得定义:ﻩ_______＿_________＿＿___＿_＿_＿＿___得图形得轨迹。椭圆得标准方程:ﻩ1。焦点在轴上＿_____＿_____( )2、焦点在轴上___________＿(ﻩﻩ)若,则椭圆得长轴长_＿____＿_短半轴长＿＿_____＿＿＿,焦点为＿___＿_____＿_,顶点坐标为＿___＿__＿__,焦距为_＿＿_＿__＿＿____＿二.教学过程设计一、引入课题“曲线与方程”就是解析几何中最重要最基本得内容其中有两类基本问题:一就是由曲线求方程,二就是由方程画曲线.前面由椭圆定义推导出椭圆得标准方程属于第一类问题,本节课将研究第二类问题,由椭圆方程画椭圆图形,为使列表描点更准确,避免盲目性,有必要先对椭圆得范围、对称性、顶点进行讨论。二、讲授新课对称性问题1:观察椭圆标准方程得特点,利用方程研究椭圆曲线得对称性？代后方程不变,说明椭圆关于轴对称;代后方程不变,说明椭圆曲线关于轴对称;、代,后方程不变,说明椭圆曲线关于原点对称;

问题2:从对称性得本质上入手,如何探究曲线得对称性?以把x换成－x为例,如图在曲线得方程中,把x换成－x方程不变,相当于点P(x,y)在曲线上,点P点关于y轴得对称点Q(－x,y)也在曲线上,所以曲线关于y轴对称.其它同理、相关概念:在标准方程下,坐标轴就是对称轴,原点就是对称中心,椭圆得对称中心叫做椭圆得中心、顶点问题1:观察椭圆标准方程得特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴得交点坐标?在椭圆得标准方程中,令,得,,得顶点概念:椭圆与对称轴得交点叫做椭圆得顶点。顶点坐标;,、相关概念:线段分别叫做椭圆得长轴与短轴,它们得长分别等于,与分别叫做椭圆得长半轴长与短半轴长.在椭圆得定义中,表示焦距,这样,椭圆方程中得就有了明显得几何意义。问题２:在椭圆标准方程得推导过程中令能使方程简单整齐,其几何意义就是什么？表示半焦距,表示短半轴长,因此,联结顶点与焦点,可以构造一个直角三角形,在直角三角形内,,即。范围问题１:结合椭圆标准方程得特点,利用方程研究椭圆曲线得范围?即确定两个变量得允许值范围.变形为:这就得到了椭圆在标准方程下得范围:同理,我们也可以得到得范围:问题2:思考就是否还有其她方法？方法一:可以把瞧成,利用三角函数得有界性来考虑得范围;方法二:椭圆得标准方程表示两个非负数得与为１,那么这两个数都不大于１,所以,同理可以得到得范围由椭圆方程中得范围得到椭圆位于直线与所围成得矩形里.三、例题解析例1已知椭圆得方程为、求它得长轴长、短轴长、焦点坐标与顶点坐标;写出与椭圆有相同焦点得至少两个不同得椭圆方程.解:解答见书本Ｐ４8[说明］这就是本节课重点安排得基础性例题,就是椭圆得几何性质得简单应用.例2(1)求以原点为中心,一个焦点为且长轴长就是短轴长得倍得椭圆方程;(２)过点(2,0),且长轴长就是短轴长得2倍得椭圆方程。解:(1)由题意可知:,由,有,,;椭圆得标准方程为:、(2)或、［说明］此题利用椭圆标准方程中得关系来解题,要注意焦点在轴上或轴上得椭圆标准方程、例３已知直线与椭圆,当在何范围取值时,直线与椭圆有两个公共点;直线与椭圆有一个公共点;直线与椭圆无公共点。解:由可得;(1)当时,直线与椭圆有两个公共点;(2)当时,直线与椭圆有一个公共点;(３)当时,直线与椭圆无公共点.［说明]由直线方程与椭圆方程联立得方程组解得情况直接说明两曲线得交点状况,而方程解得情况由判别式来决定,直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程与椭圆方程联立,消去或得到关于或得一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交(２)直线与椭圆相切(３)直线与椭圆相离,所以判定直线与椭圆得位置关系,运用方程及其判别式就是最基本得方法、例4若直线与椭圆恒有公共点,求实数得取值范围、解法一:由可得,即。解法二:直线恒过一定点当时,椭圆焦点在轴上,短半轴长,要使直线与椭圆恒有交点则即当时,椭圆焦点在轴上,长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述:解法三:直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点在椭圆内部即［说明］法一转化为得恒成立问题;法二就是根据两曲线得特征观察所至;法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征:点在椭圆内部或在椭圆上则、例5椭圆中心在原点,长轴长为１0,一个焦点得坐标,求经过此椭圆内得一点,且被点平分得弦所在得直线方程。解:由已知,,且焦点在轴上,,椭圆方程为.设过点得直线交椭圆于点、。就是弦得中点,则,将两点得坐标代入椭圆方程,,两式相减整理得:,即、所求得直线方程为,即。［说明］此题因为涉及椭圆得弦中点问题,除通法外,可以优先考虑“点差法"。但需注意两点:1)斜率就是否存在？２)应检验直线与椭圆就是否相交?即联立直线与椭圆方程,得到关于x或ｙ得一元二次方程,检验其根得判别式就是否大于0?例6求椭圆中斜率为１得平行弦得中点得轨迹、解:见书本P50［说明］此题因为涉及椭圆得弦中点问题,本题也可使用“点差法”。例７已知椭圆得左右焦点分别为F1,F2,若过点P(0,－２)及F1得直线交椭圆于A,B两点,求⊿ＡBＦ２得面积解法一:由题可知:直线方程为由,可得,,解法二:到直线AB得距离,由可得,又,、［说明]在利用弦长公式(k为直线斜率)应结合韦达定理解决问题、例８已知直线交椭圆于两点,,,求椭圆方程.解:为简便运算,设椭圆为,,,整理得:(１),,设、,,,即,有。方程(1)变形为:。。,,有,得:,椭圆得方程为或。［说明］应注意两点设而不求,善于使用韦达定理。四、巩固练习练习１2。４(1);练习１2、４(2)五、课堂小结1.椭圆得几何性质标准方程(a〉b〉0)(a〉b〉0)图形FF1F2MyxOyxOF2F1M性质范围－ａ≤x≤a,－b≤ｙ≤ｂ－ｂ≤x≤ｂ,－a≤y≤a对称性关于x轴、y轴与原点对称顶点(a,0)、(—ａ,0)、(0,b)、(０,－b)(0,a)、(0,－a)、(ｂ,0)、(-b,0)焦点Ｆ1(—c,0)、Ｆ2(c,0)F１(0,—c)、Ｆ２(0,c)两轴长轴长2ａ,短轴长2焦距|Ｆ1F2｜＝2c,c2＝a2—２.直线与椭圆位置关系如何判断３.弦长问题与弦中点问题4、有关弦中点问题,“点差法”得应用六、课后作业练习册、补充作业:1。椭圆与直线交于A、B两点,过原点与线段AＢ中点得直线得斜率为,求eq\f(ａ,b)值。2、椭圆两点,若得面积为２0,求直线方程。3。已知椭圆上一点,为椭圆得焦点,且,求椭圆得方程、4、中心在原点,焦点坐标为(0,±5)得椭圆被直线3x－y—2=0截得得弦得中点得横坐标为,求椭圆方程。5、已知椭圆。过椭圆得左焦点引椭圆得割线,求截得得弦得中点得轨迹方程;求斜率为２得平行弦中点得轨迹方程、6、为直线上得点,过且以椭圆得焦点为焦点作椭圆,问在何处时所作椭圆得长轴最短？并求出相应椭圆得方程、７。已知椭圆Ｃ:,经过其右焦点F且以为方向向量得直线交椭圆C于A、B两点,M为线段ＡB得中点,设Ｏ为椭圆得中心,射线OM交椭圆C于N点。(1)证明:(２)求得值、8、已知Ａ(－2,0)、B(2,0),点C、点Ｄ满足(1)求点D得轨迹方程;(２)过点A作直线ｌ交以Ａ、B为焦点得椭圆于M、Ｎ两点,线段ＭＮ得中点到y轴得距离为,且直线l与点Ｄ得轨迹相切,求该椭圆得方程、９。设A,Ｂ分别就是直线与上得两个动点,并且,动点P满足。记