天津市河北区2017-2018学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2017-2018学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．1．（3分）二次函数y=3x2的对称轴是（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y2．（3分）在抛物线y=x2+2x﹣1上的一个点是（）A．（1，2）B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）3．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B． C． D．4．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（）A．110° B．70° C．55° D．35°6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为24圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（）A．12 B．12 C．13 D．7．（3分）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6A．0 B．1 C．2 D．8．（3分）以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）9．（3分）下列说法中，正确的个数为：①在等圆中，等弦对等弧；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦．（）A．0 B．1 C．2 D．10．（3分）已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（）A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为．12．（3分）二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为．13．（3分）已知二次函数y=﹣2x2+x+4，当x＜时，y随x的增大而增大．14．（3分）在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是．15．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=52°，则∠C的度数为．16．（3分）已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为．17．（3分）已知点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（﹣2，3）对称，则m﹣n=．18．（3分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）三、解答题：共46分．19．（5分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若自变量x一函数值y的部分对应值如表所示，求抛物线的解析式．x…﹣103…y1=ax2+bx+c…00…20．（6分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AD为中线，⊙O的圆心在AD上且与腰AB相切于点E，求证：AC是⊙O的切线．21．（7分）如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，求证：BE=DC．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，6），点P为线段AB上的动点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，当矩形PCOD面积最大时，求点P的坐标．23．（10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8（Ⅰ）求证：OB⊥OC；（Ⅱ）求CG的长．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B（Ⅰ）求抛物线的对称轴及线段AB的长；（Ⅱ）如抛物线的顶点为P，若∠APB=120°，求顶点P的坐标及a的值；（Ⅲ）若a＞0，且在抛物线上存在点N，使得∠ANB=90°，是直接写出a的取值范围．

2017-2018学年天津市河北区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．1．（3分）二次函数y=3x2的对称轴是（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0【解答】解：∵a=3，b=0，∴二次函数y=3x2的对称轴是直线x=﹣=﹣=0．故选：C．2．（3分）在抛物线y=x2+2x﹣1上的一个点是（）A．（1，2） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，2）【解答】解：当x=1时，y=1+2﹣1=2，故意点（1，2）在抛物线上，故A正确；当x=0时，y=﹣1≠1，故点（0，1）和（0，0）不在抛物线上，故B、C不正确；当x=﹣1时，y=1﹣2﹣1=﹣2≠2，故点（﹣1，2）不在抛物线上，故D不正确；故选：A．3．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．4．（3分）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣1，5） B．（1，5） C．（﹣1，﹣5） D．（1，﹣5）【解答】解：因为y=﹣（x﹣1）2+5是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，5）．故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCE=70°，则∠A的度数是（）A．110° B．70° C．55° D．35°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠BCE=70°，故选：B．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB的长为24圆心O到AB的距离为5，则⊙O的半径为（）A．12 B．12 C．13 D．12【解答】解：∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=12，则OA==13，故选：C．7．（3分）已知圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是6A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意，可知圆的半径为5cm因为圆心到直线l的距离为6cmd＞r，直线和圆相离，所以直线和圆的公共点的个数为0，故选：A．8．（3分）以原点为中心，把点A（3，6）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（）A．（6，3） B．（﹣3，﹣6） C．（6，﹣3） D．（﹣6，3）【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（﹣6，3）．故选：D．9．（3分）下列说法中，正确的个数为：①在等圆中，等弦对等弧；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦．（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在等圆中，等弦对的弧不一定是等弧，①错误；直径所在的直线是圆的对称轴，②错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，③错误；故选：A．10．（3分）已知两点M（6，y1），N（2，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点P（x0，y0）是抛物线的顶点，若y0≤y2＜y1，则x0的取值范围是（）A．x0＜4 B．x0＞﹣2 C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2【解答】解：∵点C（x0，y0）是抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线有最小值，函数图象开口向上，∴a＞0，36a+6b+c＞4a+2b+∴8a＞﹣b∴﹣＜=4，∴x0＜4．故选：A．二、填空题：共8小题，每小题3分，共24分．11．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5）．【解答】解：点P（﹣2，5）关于原点的对称点坐标为（2，﹣5），故答案为：（2，﹣5）．12．（3分）二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为（﹣7，0）和（1，0）．【解答】解：当y=0时，有x2+6x﹣7=0，即（x+7）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣7，x2=1，∴二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为（﹣7，0）和（1，0）．故答案为：（﹣7，0）和（1，0）．13．（3分）已知二次函数y=﹣2x2+x+4，当x＜时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵y=﹣2x2+x+4=﹣2（x﹣）2+，∴抛物线开口向下，对称轴为x=，∴当x＜时，y随x的增大而增大，故答案为：．14．（3分）在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是线段、圆．【解答】解：在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是：线段、圆．故答案为：线段、圆．15．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=52°，则∠C的度数为64°．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣52°=128°，∴∠C=∠AOB=×128°=64°．故答案为64°．16．（3分）已知⊙O的直径为10，圆心O（4，5），则⊙O截y轴所得的弦长为6．【解答】解：∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵OD=4，∴AD=，∴⊙O截y轴所得的弦长为6，故答案为：6．17．（3分）已知点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（﹣2，3）对称，则m﹣n=﹣14．【解答】解：∵点P（m，1）与点P′（5，n）关于点A（﹣2，3）对称，∴=﹣2，=3，∴m=﹣9，n=5，则m﹣n=﹣9﹣5=﹣14．故答案为﹣14．18．（3分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m①当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有①②④．（只需填写序号）【解答】解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m①当m=﹣3时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；②当m＞0时，令y=0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得x=，x1=1，x2=﹣﹣，|x2﹣x1|=+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；③当m＜0时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，=﹣＞，即对称轴在x=右边，因此函数在x=右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；④当x=1时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．故答案为：①②④．三、解答题：共46分．19．（5分）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），若自变量x一函数值y的部分对应值如表所示，求抛物线的解析式．x…﹣103…y1=ax2+bx+c…00…【解答】解：由题意抛物线与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把（0，）代入，得﹣3a=，解得a=﹣，所以抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+x+．20．（6分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AD为中线，⊙O的圆心在AD上且与腰AB相切于点E，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．21．（7分）如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，求证：BE=DC．【解答】证明：∵△ABD、△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（0，6），点P为线段AB上的动点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，当矩形PCOD面积最大时，求点P的坐标．【解答】解：设点P的横坐标为t，则OD=PC=t，∵OA=6、OB=6，OA⊥OB，∴∠B=30°，PC⊥OB，∴BC===t，∴OC=OB﹣BC=6﹣t，则S矩形OCPD=OD•OC=t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，∴当t=3时，S矩形OCPD取得最大值，当t=3时，OC=6﹣3=3，所以点P的坐标为（3，3）．23．（10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8（Ⅰ）求证：OB⊥OC；（Ⅱ）求CG的长．【解答】解：（Ⅰ）连接OF；根据切线长定理得