苏教版高中数学必修第二册12.3.1复数的几何意义及复数的模【课件】

12.3复数的几何意义第一课时复数的几何意义及复数的模理解复数的代数表示及其几何意义，掌握用向量的模表示复数模的方法.课标要求素养要求通过复数代数形式及其几何意义的理解、复数模的运用，发展直观想象、数学抽象及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.复平面实轴虚轴(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

复平面内的点________.2.复数的几何意义Z(a，b)(2)记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为___________.3.复数的模|z|或|a＋bi|点睛复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部、虚部的对应：点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

1.思考辨析，判断正误(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()提示原点在虚轴上，但对应的复数不是纯虚数.(3)复数的模一定是正实数.(

)提示复数的模可以为0.(4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.(

)提示应该是充分条件.√×××2.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(

) A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

解析

∵z＝i＋2i2＝－2＋i，实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.B3.向量a＝(1，－2)所对应的复数的共轭复数是(

)A.1＋2i B.1－2iC.－1＋2i D.－2＋iA4.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.课堂互动题型剖析2题型一复数与复平面内的点【例1】在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围.

解

复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.(1)由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(3)由题意，得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，∴2<m<4或－5<m<－2.复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.思维升华【训练1】

实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i. (1)对应的点在x轴上方； (2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上？

解

(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，题型二复数与复平面内的向量的关系CA.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i解析由复数的几何意义，可得A.－5＋5i

B.－5－5iC.5＋5i D.5－5iD利用复数与向量的联系，可以用向量表示复数，将有些复数问题转化为向量问题处理，借助向量去解决复数问题.思维升华2－i解析复数2＋i表示的点A(2，1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，题型三复数的模角度1复数的模的计算【例3】

(1)已知i为虚数单位，(1＋i)x＝2＋yi，其中x，y∈R，则|x＋yi|＝(

)A解析

由题意x＋xi＝2＋yi，5思维升华角度2复数模的几何意义【例4】

设z∈C，在复平面内对应点Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形. (1)|z|＝2；

解

(1)法一

|z|＝2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.

法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.(2)1≤|z|≤2.不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点Z的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.思维升华±1∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z＝1＋i时，Z为(1，1)，两点间距离为当z＝－1＋i时，Z为(－1，1)，两点间的距离为一、牢记2个知识点1.复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.2.复数的模及几何意义.二、掌握2种方法1.待定系数法.2.数形结合法.三、注意1个易错点虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.设z＝3＋4i，则复数z1＝z－|z|－(1－i)在复平面内的对应点在(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限B∴z1＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i＝－3＋5i.∴复数z1在复平面内的对应点在第二象限.A.－2－i

B.－2＋iC.1＋2i

D.－1＋2i解析

∵A(－1，2)关于直线y＝－x的对称点B(－2，1)，B3.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－tanA)＋itanB对应的点位于复平面的(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限B4.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是(

)A.1个圆

B.线段C.2个点

D.2个圆解析

由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝3.∴复数z对应点的轨迹是1个圆.A5.(多选题)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为(

)A.1 B.2C.3 D.4AC∴m＝1或m＝3.二、填空题6.复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝______，|z|＝________.

解析

∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，12∴z＝2i，∴|z|＝2.7.若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是__________________.解析

∵复数对应的点位于第三象限，8.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，那么实数a的取值范围是________.

(－1，1)三、解答题9.设复数z＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时： (1)z为实数；解得m＝3(m＝－2舍去).故当m＝3时，z是实数.(2)z对应的点位于复平面内的第二象限？10.已知z1＝－3＋4i，|z|＝2，求|z－z1|的最大值和最小值.

解

如图，|z|＝2表示复数z在复平面内对应的点在以(0，0)为圆心，2为半径的圆上，而z1在复平面内的对应点的坐标为(－3，4)，∴|z－z1|可看作是点(－3，4)到圆上的点的距离.11.(多选题)已知z1，z2是复数，以下结论错误的是(

)A.若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0B.若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0AC解析A中z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；12.复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹方程是_____________________.

(x＋1)2＋(y－2)2＝9即(x＋1)2＋(y－2)2＝9，即为所求轨迹方程.13.已知f(z)＝|2＋z|－z，且f(－z)＝3＋5i，求复