2025年高考数学总复习专项训练：二项分布、超几何分布与正态分布

专练54二项分布、超几何分布与正态分布

［基础强化］

一、选择题

1.随机变量自服从正态分布N(n，1),若p(&<2)=02P(2<^<6)=0.6,则.=()

A.6B.5

C.4D.3

答案：C

2I6

解析:由正态分布的特点可知，P(^>6)=1-P(^<2)-P(2<^<6)=0.2,AFi=-=4.

2.已知X+Y=8,若X〜B(10,0.6),则E(Y)和D(Y)分别是()

A.6和2.4B.2和2.4

C.2和5.6D.6和5.6

答案：B

解析:VX-B(10,0.6),.*.E(X)=10X0.6=6,D(X)=10X0.6X(l-0.6)=2.4,

又X+Y=8,；.Y=8—X,

；.E(Y)=8—E(X)=8—6=2,

D(Y)=(-1)2D(X)=2.4.

3.设随机变量X〜N(2,4),若P(X>a+2)=P(X<2a—3),则实数a的值为()

5

A.1B.

C.5D.9

答案：B

角星析：•/P(X>a+2)=P(X<2a-3),

4.[2024.山东威海模拟]设随机变量&〜B(n,p),且E©)=1.6,D@=1.28,则p=()

A.1B.1

C.gD.1

答案：A

解析：•・,随机变量&〜B(n,p),且E©=1.6,D@=1.28,

n=8

np=1.6,解得11.故选A

np(1—p)=1.28

5.[2024•浙江温州适应性考试(一)]一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个红球,

小明从中无放回地摸出3个小球，摸到一个白球记1分，摸到一个红球记2分，则小明总得分自的数学期

望等于()

A.3.8分B.4分

C.4.2分D.4.4分

答案：C

解析：由题意可得，小明总得分匕的所有可能取值为3,4,5,P化=3)=*=志,P化=4)=号H=

—=|,P化=5)=?/=磊.所以总得分。的数学期望E《)=3X古+4x|+5X-=4.2(分).故选C

6.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10

位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),贝Up=()

A.0.7B.0.6

C.0.4D.0.3

答案：B

解析：由题意得X〜B(10,p),则D(X)=10XpX(l-p)=2.4,

得p=0.4或p=0.6,又P(X=4)<P(X=6),

•Yop4(l-p)6<Ctop6(l-p)"

(1—p)2<p2,p>0.5,

.•・p=0.6.

7.设X~N(|ii，o；),Y〜N(眼，o；),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()

A.P(Y2pi2)2P(Y》m)

B.P(XWG2)WP(XW6)

C.对任意正数t,P(XWt)》P(YWt)

D.对任意正数t,P(X2t)》P(YNt)

答案：C

解析:由图可知，m<0<(12,O1<CT2,

.,.P(Y>H2)<P(Y^m),故A不正确；

P(XW02)>P(XWGI),故B不正确；

当t为任意正数时，由图可知P(XWt)NP(YWt),

而P(XWt)=l—P(X》t),P(YWt)=l—P(Y2t),

.•.P(X》t)WP(YNt),故C正确，。不正确.

8.(多选)某市有A,B,C,D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为1,游览

B,C和D的概率都是且该游客是否游览这四个景点相互独立，用随机变量X表示该游客游览的景点

的个数，下列正确的是()

A.游客至多游览一个景点的概率:

3

B.P(X=2)=g

c.P(X=4)=击

D.E(X)=y

答案：ABD

解析：记该游客游览i个景点为事件A”i=0,1,

则P(AO)=(I-D°-号(i-3(T尸古,

P(A1)=|(1—£)+(1一|)C；(1-1)=24,

所以游客至多游览一个景点的概率为

P(Ao)+P(Ai)=*+.=；,故A正确；

随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4；

P(X=O)=P(Ao)=/，

P(X=l)=P(Ai)=5，

P(X=2)=|XC|x|X(l—£|十(1一|)XCfX(£)X(l—£),故8正确；

P(X=3)=|XCX(£)X(l—0+(1—I)X式X(£)=妥,

P(X=4)=|X自，故C错误；

15Q7?13

数学期望为：E(X)=OX五+1Xzr+2XZT+3XZT+4XZT,故。正确，故选ABD

9.(多选)[2024・新课标I卷]随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出

口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元升青况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均

值1=2.1,样本方差$2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(L8,0.12),假设推动出口后

的亩收入Y服从正态分布N(I,s2),则(若随机变量Z服从正态分布及山<?),则P(Z<n+o)^0.8413)()

A.P(X>2)>0,2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8

答案：BC

解析：由题可得X〜N(1.8,0.12),Y〜N(2.1,O.l2),所以P(X>2)=P(X>n+20)<P(X>「i+c)仁1—0.8413

=0.1587<0.2,故A错误,8正确；P(Y>2)=P(Y>同一6)^0.8413>0.5,故C正确，。错误.

二、填空题

10.已知随机变量X〜B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,贝!Jp=.

答案:|

••P=Q-

11.随机变量X〜N(3,O2),且P(0<X<3)=0.35,则P(X>6)=.

答案：0.15

解析：\・X〜N(3,o2),

・・・P(X<3)=0.5.

又P(0<Xv3)=0.35,

JP(X<0)=0.5—0.35=0.15,

.,.P(X>6)=P(X<0)=0.15.

12.在我校高三高考调研中，数学成绩X〜N(90,o2)(o>0),统计结果显示P(60WXW120)=0.8,假设

我校参加此次考试的有780人，那么估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人.

答案：78

］一08

解析：〜N(90,，)，.•.正态曲线关于直线x=90对称，又P(60WXW120)=0.8,；.P(X>120)=..

=0.1,

.•.估计高于120分的有780X0.1=78人.

［能力提升］

13.(多选)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”

釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科

学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：

1(x—100)2

cwt)服从正态分布，其密度函数为f(x)=1s^-e--------200------，xG(—8,+oo),则下列说法正确的是

()

A.该地水稻的平均株高为100c机

B.该地水稻株高的方差为10

C.随机测量一株水稻，其株高在120cMi以上的概率比株高在70以下的概率大

。.随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大

答案：AC

1(x—11)2

解析：正态分布密度函数为f(x)=g^-e----—,xG(—8,+8),由题意知「1=100,©2=100,

所以该地水稻的平均株高为100CM方差为100,故A正确；B错误;因为正态分布密度曲线关于直线x=

100对称，所以P(X>120)=P(X<80)>P(X<70),故C正确；P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故。

错误.故选AC.

14.(多选)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每

个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是()

A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为磊

B.四人去了同一餐厅就餐的概率为击

C.四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为2念5

210

2

D.四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为1

答案：ACD

解析：四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有4种，则四人去

了四个不同餐厅就餐的概率为务=焉，故A正确；

同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为亲=由，故B错误；

dX52

四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为=荒，故C正确；

设四人中去第一餐厅就餐的人数为匕，

因为四人去第一餐厅就餐的概率都为卷,则自〜B(4,*

12

所以E&)=4X4=§,故。正确.

故选ACD

15.2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2024年清明节前后车

辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量自服从正态分布自〜N(1000,©2),若P化>1200)=a,

19

P(8OO<^<1000)=b,贝咳+的最小值为________.

dD

答案：32

110

解析：由自〜N(1000,©2),p(^>i200)=a,P(8OO<^<1000)=b#a=0.5-b,所以a+b=],则&+g

------1b=3a,

=2弓+弓)(a+b)=2(10+与+患)力2(10+2＜誉)=32,当且仅当\+b」即