高考数学一轮题型归纳(新高考地区专用)考点22三角函数的图象和性质9种常见考法归类(原卷版+解析)

考点22三角函数的图象和性质9种常见考法归类考点一三角函数的定义域考点二三角函数的值域(最值）（一）y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域（二）二次函数模型（三）分式型（四）根据三角函数的值域（最值）求参数考点三三角函数的图象考点四三角函数的周期性考点五三角函数的单调性（一）求三角函数的单调区间（二）比较三角函数值的大小（三）根据三角函数的单调性求参数考点六三角函数的奇偶性判断三角函数的奇偶性（二）根据奇偶性判断三角函数图象（三）根据奇偶性求函数值（四）根据奇偶性求参数考点七三角函数的对称性考点八三角函数的零点考点九三角函数性质的综合应用1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．（1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）（3）零次幂：中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为若，则2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;②即逆用倍角公式化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。=(4)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。(5)形如分式型：等三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。①基本类型一:、型

方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．

②基本类型二：型．转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；3.“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)在确定余弦函数y＝cosx在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1).4.周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}图象(一个周期)值域[－1，1][－1，1]R最值(k∈Z)当x＝eq\f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ时，ymin＝－1当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1无函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性(k∈Z)对称轴：x＝kπ＋eq\f(π,2)；对称中心：(kπ，0)对称轴：x＝kπ；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))无对称轴；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))最小正周期2π2ππ单调性(k∈Z)单调递增区间[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)]；单调递减区间[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)]单调递增区间[2kπ－π，2kπ]；单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]单调递增区间(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))奇偶性奇函数偶函数奇函数6.关于周期性的常用结论(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一.例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期.同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R).(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(3)周期函数的定义域是无限集.(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质.(5)最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．7.求三角函数的周期，一般有三种方法定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为.函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.8.与三角函数的奇偶性有关的问题（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．9.与三角函数的单调性有关的问题（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间．（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．10.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.(3)若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．11.比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．12.对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．13.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))∪…上是增函数．14.三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z.15.三角函数性质的综合探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx，x∈R(y＝tanx)的性质求解．对于y＝asinx＋bcosx型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．考点一三角函数的定义域1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为________________．2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是______.4．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是____________．5．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是________.考点二三角函数的值域(最值）（一）y＝Asin（ωx＋φ）型函数值域7．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为______．8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________.9．（2023·甘肃酒泉·统考三模）若函数的最小值为，则__________．10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2023·江西·校联考模拟预测）已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．12．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．13．（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（

）A． B． C． D．（二）二次函数模型14．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．15．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（

）A． B． C． D．16．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数的值域是___________.17．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的值域为__________．18．（2023·全国·高三专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是______．19．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A． B．3C． D．420．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____________．（三）分式型21．（2023·全国·高三专题练习）求函数的最大值及最小值．22．（2023·四川达州·统考二模）若，，则实数m的取值范围是______.（四）根据三角函数的值域（最值）求参数23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．24．（2023·四川泸州·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.25．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（

）A．0 B． C． D．26．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值是，则（

）A．2 B．1 C．0 D．27．（2023·上海·高三专题练习）若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________.28．（2023·上海·高三专题练习）已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________．29．（2023·全国·高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A． B．C． D．考点三三角函数的图象30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；(2)解不等式.31．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知函数，．(1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图；(2)若在上单调递减，求．32．（2023·全国·学军中学校联考二模）设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.(1)求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；(2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域.33．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）如图所示，函数（且）的图像是（

）．A． B．C． D．34．（2023·广东·高三专题练习）已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B． C．D．考点四三角函数的周期性35．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，周期为π的是（

）A． B．C． D．36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．不能确定37．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值和最小正周期分别是（

）A．， B．， C．， D．，38．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知函数，则“”是“的最小正周期为2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件39．（2023·北京东城·统考二模）函数在一个周期内的部分取值如下表：则的最小正周期为_______；_______．40．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数的最小正周期为，若，且，则（

）A． B． C． D．41．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．42．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（

）A． B． C． D．43．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数图象的对称中心到其相邻对称轴的距离为，则在上的值域为（

）A． B． C． D．44．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若，则的解析式为________．45．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，周期为，且，则实数的最小值为_______.（用弧度制表示）考点五三角函数的单调性（一）求三角函数的单调区间46．【多选】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．47．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．48．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）函数在上的单调递增区间为______.49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围；51．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为.(1)求的单调增区间；(2)在中，若，求的值.（二）比较三角函数值的大小52．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知，，，则（

）A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b53．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（

）A． B．C． D．54．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．55．（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B． C． D．（三）根据三角函数的单调性求参数56．（2023·天津·统考二模）若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（

）A． B． C． D．57．（2023·江西赣州·统考二模）若函数在上单调，且满足，则（

）A． B． C． D．58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．59．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为_________.60．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．61．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．62．【多选】（2023·山西运城·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（

）A．1 B．3 C．5 D．763．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．64．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．65．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．66．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4考点六三角函数的奇偶性判断三角函数的奇偶性67．（2023·北京西城·统考二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件68．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

）A． B． C． D．（二）根据奇偶性判断三角函数图象69．（2023春·吉林白山·高三统考期中）函数的图象可能为（

）A． B．C． D．70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．71．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．72．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．（三）根据奇偶性求函数值73．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，若，则（

）A． B．0 C．1 D．74．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B． C． D．（四）根据奇偶性求参数75．【多选】（2023·浙江·校联考二模）已知函数为奇函数，则参数的可能值为（

）A． B． C． D．76．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（

）A． B． C． D．77．【多选】（2023·全国·高三专题练习）设函数，若函数为偶函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．78．（2023·江西·统考模拟预测）将函数的图像沿轴向左平移个单位长度后，得到的函数图像关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．79．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知函数是偶函数，则______．考点七三角函数的对称性80．【多选】（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的图象关于直线对称B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．将的图象向左平移个单位长度得到81．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知函数且满足，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．282．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．的最小正周期为2πC．在区间上单调递增 D．方程在区间上有2个实根83．（2023·全国·高三专题练习）设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．84．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．85．【多选】（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则（

）A．的取值范围是B．的图象在区间上有2条或3条对称轴C．在区间上的最大值不可能为2D．在区间上为增函数86．【多选】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有3条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（

）A．在区间上有且仅有3个不同的零点B．的取值范围是C．的最小正周期可能是D．在区间上单调递增考点八三角函数的零点87．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数在上零点的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．688．（2023·北京朝阳·二模）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________.89．（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知函数，若函数的图象与直线在上有3个不同的交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．90．【多选】（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知函数在上恰有三个零点，则（

）A．的最大值为B．在上只有一个极小值点C．在上恰有两个极大值点D．在上单调递增91．【多选】（2023·山西阳泉·统考二模）已知在上有且仅有2个极值点，则下列结论正确的是（

）A．B．若关于直线对称，则的最小正周期C．若关于点对称，则在上单调递增D．，使得在上的最小值为92．（2023·河南郑州·三模）设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．93．（2023·全国·高三专题练习）设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．94．（2023·全国·高三专题练习）函数的所有零点之和为______．考点九三角函数性质的综合应用95．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数.对于下列四种说法:①函数的图像关于点成中心对称；②函数在上有个极值点；③函数在区间上的最大值为；④函数在区间上单调递增.其中正确的序号是__________.96．【多选】（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数在上最大值为 B．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增 D．函数的最小正周期为97．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（

）A．为偶函数 B．的最小正周期为πC．的最小值为 D．的最大值为298．【多选】（2023·河北·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（

）A．是函数的一条对称轴B．函数在上单调递增C．的最小值为D．是的一条切线99．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设函数的最小正周期为，若，且的图象关于点对称，则（

）A． B．的图象关于直线对称C．在区间上是减函数 D．在区间上有且仅有两个极值点100．【多选】（2023·安徽合肥·二模）函数与函数的图象关于点对称，记，则（

）A．的值域为B．的图象关于直线对称C．在所有实根之和为D．在上解集为考点22三角函数的图象和性质9种常见考法归类考点一三角函数的定义域考点二三角函数的值域(最值）（一）y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域（二）二次函数模型（三）分式型（四）根据三角函数的值域（最值）求参数考点三三角函数的图象考点四三角函数的周期性考点五三角函数的单调性（一）求三角函数的单调区间（二）比较三角函数值的大小（三）根据三角函数的单调性求参数考点六三角函数的奇偶性判断三角函数的奇偶性（二）根据奇偶性判断三角函数图象（三）根据奇偶性求函数值（四）根据奇偶性求参数考点七三角函数的对称性考点八三角函数的零点考点九三角函数性质的综合应用1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．（1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）（3）零次幂：中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为若，则2.求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;②即逆用倍角公式化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。=(4)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。(5)形如分式型：等三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。①基本类型一:、型

方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．

②基本类型二：型．转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；3.“五点法”作图(1)在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0).(2)在确定余弦函数y＝cosx在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1).4.周期函数一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.5.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}图象(一个周期)值域[－1，1][－1，1]R最值(k∈Z)当x＝eq\f(π,2)＋2kπ时，ymax＝1；当x＝－eq\f(π,2)＋2kπ时，ymin＝－1当x＝2kπ时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1无函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性(k∈Z)对称轴：x＝kπ＋eq\f(π,2)；对称中心：(kπ，0)对称轴：x＝kπ；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))无对称轴；对称中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))最小正周期2π2ππ单调性(k∈Z)单调递增区间[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)]；单调递减区间[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)]单调递增区间[2kπ－π，2kπ]；单调递减区间[2kπ，2kπ＋π]单调递增区间(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))奇偶性奇函数偶函数奇函数6.关于周期性的常用结论(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期不唯一.例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期.同时，不是每一个周期函数都有最小正周期，如f(x)＝2(x∈R).(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.(3)周期函数的定义域是无限集.(4)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质.(5)最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．7.求三角函数的周期，一般有三种方法定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为.函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.8.与三角函数的奇偶性有关的问题（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．9.与三角函数的单调性有关的问题（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．（2）当ω<0时，先利用诱导公式将变形为，将变形为，再求函数的单调区间．（3）当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆．10.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.(3)若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．11.比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．12.对正弦函数、余弦函数最值的三点说明(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．13.正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性．(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3,2)π)，…上都是增函数．(3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))∪(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))∪…上是增函数．14.三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z.15.三角函数性质的综合探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx，x∈R(y＝tanx)的性质求解．对于y＝asinx＋bcosx型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式；若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．考点一三角函数的定义域1．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为________________．【答案】【分析】根据f(x)解析式列出不等式组，解不等式组即可得到定义域﹒【详解】，，解得，对于，当时，，当时，，当时，，当时，，∴不等式组的解为：或的定义域为故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为______．【答案】【分析】由题意可得，解得，分别令k=-1、0、1，综合即可得答案.【详解】由题意得，解得，令k=-1，解得，令k=0，解得，令k=1，解得，综上，定义域为.故答案为：3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是______.【答案】【解析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解.【详解】因为，所以，所以，所以，解得或或.故答案为：【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是____________．【答案】【分析】根据题意欲求对数函数的定义域要求对数的真数大于0，利用三角函数的性质，求出定义域即可．【详解】解：因为，所以，即，即，解得，故函数的定义域为故答案为：5．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D6．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是________.【答案】【分析】由题意得出，解此不等式组可得出原函数的定义域.【详解】由已知，得，即，则.因此，函数的定义域为.故答案为：．【点睛】本题考查三角函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.考点二三角函数的值域(最值）（一）y＝Asin（ωx＋φ）型函数值域7．（2023·上海·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为______．【答案】【分析】根据的范围，得的范围，数形结合可得的范围，从而可得函数的值域.【详解】当时，，则，所以，所以函数的值域为.故答案为：8．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为________，最小值为________.【答案】【分析】利用两角差的余弦公式以及辅助角公式化简合并得到，即可得到最大最小值.【详解】，，，.故答案为：；.9．（2023·甘肃酒泉·统考三模）若函数的最小值为，则__________．【答案】/【分析】根据三角恒等变换化简整理得，结合正弦函数求最值.【详解】∵，∴函数的最小值为，此时，即.故答案为：.10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用正弦定理可得，进而整理，并求的取值范围，结合正弦函数分析运算即可.【详解】因为，由正弦定理可得，则，因为，，则，所以，即，则，因为，解得，所以，则，即的取值范围是.故选：B.11．（2023·江西·校联考模拟预测）已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简得到，得到，且的最小正周期为，根据题意求得的最小值为，进而求得的最小值.【详解】因为，所以，且函数的最小正周期为，因为存在实数使得对任意实数总有成立，所以的最小值为，所以的最小值为.故选：A.12．（2023·河北·统考模拟预测）如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．【答案】/【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，则，则，由，得，所以当，即时，取得最小值.故答案为：.13．（2023·四川自贡·统考一模）函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可.【详解】，，，根据函数在的最大值为7,最小值为3，所以，即，根据正切函数在为单调增函数，则，在上单调减函数，，，则，，，，，故选：B.（二）二次函数模型14．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．【答案】【分析】通过换元，转化为二次函数求最小值问题.【详解】令，则，所以，所以当，即时，函数取最小值.故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角的余弦公式化简，再利用闭区间上的二次函数求解作答.【详解】依题意，函数，令，则，当，即时，，所以函数的最小值是.故选：D16．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数的值域是___________.【答案】【分析】利用二倍角公式表示，配方，结合的范围进行求解.【详解】因为又因为,所以当时,取得最小值-1,当时,取得最大值2,故的值域是.故答案为：17．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的值域为__________．【答案】【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域.【详解】因为，又，所以，则，即函数的值域为.故答案为：.18．（2023·全国·高三专题练习）若方程在内有解，则a的取值范围是______．【答案】【分析】利用同角三角函数关系式可将问题转化为在上有解，利用正弦函数及二次函数的性质求得a的取值范围.【详解】把方程变为，设，则．显然当且仅当的值域时,有解．且由知,，∴当时，有最小值，当时，有最大值的值域为,∴的取值范围是．故答案为：.19．（2023·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A． B．3C． D．4【答案】C【分析】令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；【详解】解：根据题意，设，则，则原函数可化为，，所以当时，函数取最大值.故选：C.20．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为_____________．【答案】【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.【详解】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.（三）分式型21．（2023·全国·高三专题练习）求函数的最大值及最小值．【答案】最大值为，最小值为0【分析】表示过，的直线的斜率，结合几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，进而结合圆的切线性质求解即可.【详解】解：表示过，的直线的斜率，由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，所以设切线的斜率为，则直线方程为，即，则，解得或，所以函数的最大值为，最小值为0．22．（2023·四川达州·统考二模）若，，则实数m的取值范围是______.【答案】【分析】若，，即，转化为求，求解即可.【详解】若，，则，令，，令，，则，所以，由双勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增，所以.故，所以实数m的取值范围是.故答案为：.（四）根据三角函数的值域（最值）求参数23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用换元法转化为二次函数的问题，根据值域即可求实数的取值范围.【详解】设，则，所以，且，又的值域为，所以，即实数的取值范围为.故选：C.24．（2023·四川泸州·统考模拟预测）已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由题意可得，即，令，讨论时恒成立，当时，分离转化为最值问题即可求解.【详解】若可得，即，所以，所以，令，若，则，当时，成立，当时，，所以，因为，当且仅当即，或时，取得最小值，所以；若，则，当时，恒成立，当时，，可得，因为在上单调递增，所以即时，，所以，综上所述：，故答案为：.25．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（

）A．0 B． C． D．【答案】CD【分析】由题意可得，从而可得所以当时，，又因为，所以必有成立，结合选项，即可得答案.【详解】解：因为，所以当时，即，，又因为，所以，所以的可能取值为.故选：CD.26．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值是，则（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】把函数化为的二次函数,根据求出函数的最大值,由此求得的值.【详解】函数由,得,所以时,函数在区间上取得最大值,解得故选:27．（2023·上海·高三专题练习）若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是__________.【答案】【分析】根据题意先求出的取值范围，然后根据题意列出不等式，解之即可求解.【详解】因为，，所以，又因为函数（常数）在区间没有最值，所以，解得，所以的取值范围是故答案为：.28．（2023·上海·高三专题练习）已知，函数在区间上有唯一的最小值-2，则的取值范围为______________．【答案】．【分析】先用辅助角公式得到，结合得到，求出，得到答案.【详解】，因为，，所以，因为函数在上有唯一的最小值-2，所以，解得，故的取值范围是.故答案为：29．（2023·全国·高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以最小正周期满足所以，所以有：，故选：B考点三三角函数的图象30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出在区间上的图象；(2)解不等式.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象；（2）根据函数图象列式可求出结果.【详解】（1）完成表格如下：00200在区间上的图象如图所示：（2）不等式，即.由，解得.故不等式的解集为.31．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知函数，．(1)若为的最小正周期，用“五点法”画在内的图象简图；(2)若在上单调递减，求．【答案】(1)图象见解析(2)【分析】（1）根据五点法作图，列出表格，描点连线即可；（2）解法1：根据单调性知，解出的范围，根据范围有，再根据的范围得，最终确定的值；解法2：根据和范围得，从而有，列出不等式组，用表示出的范围，最后求出值即可得到值.【详解】（1），由，得．列表如下：0200描点连线，得f（x）在[0，π）内的图象简图：（2）解法1：由f（x）在上是减函数知，因为，所以代入解得．因为，，所以．由得，，由题意只能，从而．解法2：因为，，所以．由题设知，，从而解得．因为，所以故，因为，所以，于是．32．（2023·全国·学军中学校联考二模）设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.(1)求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；(2)在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域.【答案】(1)，图象答案见解析(2)【分析】（1）由函数的最小正周期为，结合周期公式求，求出平移后的函数解析式，结合余弦函数的性质求，再由五点法列表，并描点连线作出图象；（2）由条件结合边角互化求出角，根据锐角三角形内角关系求的范围，结合余弦函数性质求的值域.【详解】（1）函数的最小正周期，，∵图象向左平移后得到的函数为，由已知，又，.，解析式为：，由五点法可得，列表如下：0010-10在上的图象如图所示：（2），由正弦定理可得，，所以，即，因为，所以所以，又，所以，又因为三角形为锐角三角形，，,所以，所以，又所以33．（2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习）如图所示，函数（且）的图像是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】将函数解析式化成分段函数，再根据正弦函数的图象判断即可.【详解】解：因为，所以函数图象如C所示.故选：C34．（2023·广东·高三专题练习）已知函数部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．【详解】由图像知有三个零点经验证只有AD满足，排除BC选项，A中函数满足为偶函数，D中函数满足为奇函数，而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．故选：D．考点四三角函数的周期性35．（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，周期为π的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用三角函数的周期性求解.【详解】函数周期为；函数周期为；函数周期为；函数周期为.故选：D36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【分析】作出函数的图象得到函数的最小正周期，再证明即得解.【详解】作出函数的图象如图所示，得到函数的最小正周期为.证明：所以函数的最小正周期为.故选：A37．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值和最小正周期分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式将函数化简，然后利用正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】函数，故函数的最小正周期等于，当，即，时，函数有最小值等于．故选：D.38．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知函数，则“”是“的最小正周期为2”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分与必要条件的定义和正弦型函数的周期公式即可求解【详解】由的最小正周期为2可得，即，所以由“”可推出“的最小正周期为2”由“的最小正周期为2”不一定能推出“”故是的最小正周期是的充分不必要条件，故选：A.39．（2023·北京东城·统考二模）函数在一个周期内的部分取值如下表：则的最小正周期为_______；_______．【答案】/0.5【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果.【详解】由图表知，当时，，当时，，所以，即,又，，所以得到，又由，得到，又，所以，故，所以，故答案为：，.40．（2023·安徽马鞍山·统考三模）记函数的最小正周期为，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.【详解】函数的最小正周期，则，解得；又，即是函数的一条对称轴，所以，解得.又，当时，.故选：C.41．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】运用二倍角公式化简，结合与的对称性求得的值，进而求得结果.【详解】因为，所以．又因为，所以，即，①又因为的图象关于直线对称，所以，．所以，，②所以由①②得，所以，故．故选：A.42．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数，若，，的最小正周期，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，解不等式求出，再由周期公式求出，最后由可得答案.【详解】，，则，，∴，解得，因为，所以，即，，，，，即，又∴.故选：D.43．（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）已知函数图象的对称中心到其相邻对称轴的距离为，则在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用二倍角公式和三角恒等变换得到，然后根据题意求出，再根据正弦函数的图像和性质即可求解.【详解】由，因为函数图象的对称中心到其相邻对称轴的距离为，所以，则，所以，因为，则，所以，则，也即，故选：.44．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若，则的解析式为________．【答案】【分析】根据三角函数的图象，结合周期性、对称性分析运算.【详解】因为B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，，所以由勾股定理可得．又因为，则，解得或（舍去），所以．因为为函数图象的对称中心，则，，所以，．又因为，所以．故.故答案为：.45．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，周期为，且，则实数的最小值为_______.（用弧度制表示）【答案】/【分析】利用余弦函数性质求出，再由给定函数值求出的表达式即可作答.【详解】依题意，由，得，则，即有，因此，所以的最小值为．故答案为：考点五三角函数的单调性（一）求三角函数的单调区间46．【多选】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据的最小正周期可判断A；根据，确定，结合正弦函数单调性可判断B；根据时，，结合余弦函数单调性可判断C；数形结合，结合正切型函数图像和性质可判断D.【详解】对于选项A，函数的最小正周期为，故选项A错误：对于选项B，函数的最小正周期为，当，，因为在上单调递增，所以在上单调递增，B正确；对于C，函数最小正周期为，当时，，因为在上单调道减，所以在上单调递减，故选项C错误对于选项D，作出函数的大致图像如图：函数的最小正周期为，且在区间上单调递增，故选项D正确故选：BD47．（2023·全国·高三专题练习）函数的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原问题等价于求函数的一个单调递增区间，作出的图象即可求解.【详解】解：函数的一个单调递增区间，即为函数的一个单调递增区间，作出的图象如下图所示.由图可知函数的一个单调递增区间为，故选：D.48．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）函数在上的单调递增区间为______.【答案】.【分析】根据余弦型函数的单调性求解即可.【详解】由题意知，，，解得：，，又因为，所以.所以在上的单调递增区间为.故答案为：.49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】根据恒成立，可得，再结合，求得，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】因为恒成立，所以，即，所以或，所以或，当时，，则，与题意矛盾，当时，，符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为（）.故选：D.50．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求的单调增区间；(3)函数在区间上的值域为，求实数m的取值范围；【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由题可得，再利用正弦型函数周期公式即得；（2）利用正弦函数的性质即可求出增区间；（3）利用正弦函数的性质，可得，即得．（1）∵，∴的最小正周期为；（2）∵，由，得，所以的单调增区间是；（3）∵，，∴，∴，故实数m的取值范围为.51．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为.(1)求的单调增区间；(2)在中，若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果.【详解】（1）的最小正周期为.故，令，解得，故函数的单调增区间为（2）设中角所对的边分别是.，即，解得.，，.（二）比较三角函数值的大小52．（2023·云南昆明·统考模拟预测）已知，，，则（

）A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b【答案】B【分析】根据余弦函数、指数函数、对数函数的单调性，利用“桥梁”比较大小.【详解】在上单调递减，且，，，，，故选：B53．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用中间值法，结合幂函数、三角函数、对数函数的单调性，可得答案.【详解】由题意知，，，，，故．故选：D.54．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数比较a，b大小，即可解答.【详解】因为在上单调递增，于是，即，令，则，所以在上单调递减，所以，即，取，则，所以，即，所以.故选：A55．（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，构造函数、，，利用导数探讨单调性比较大小作答.【详解】令函数，求导得，函数在上递减，当时，，则，于是，即，令函数，求导得，函数在上递增，当时，，则，于是，即，当时，，，则，即，而，于是，即，所以a，b，c，d的大小关系是，C正确.故选：C（三）根据三角函数的单调性求参数56．（2023·天津·统考二模）若函数在区间上具有单调性，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的范围确定的范围，分别讨论单调递增和单调递减的情况，根据正弦型函数单调性的判断方法可构造不等式组求得的范围，进而确定最大值.【详解】当时，；若在上单调递增，则，解得：，又，若不等式组有解，则解得：，，则；若在上单调递减，则，解得：，又，若不等式组有解，则，解得：，与矛盾，在上单调递减不成立；综上所述：，则的最大值为.故选：B.57．（2023·江西赣州·统考二模）若函数在上单调，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合三角函数的性质分析可得，对称轴为，对称中心为，运算求解即可.【详解】函数在上单调，则，可得，因为，且，所以的对称轴为，又因为，且在上单调，所以的对称中心为，即，注意到对称轴为与对称中心相邻，可得，则，且，解得，因为的对称轴为，则，解得，且，取，则.故选：D.58．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，在上恒成立，即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，所以在时，，所以.故选：B59．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为_________.【答案】【分析】根据正弦函数的性质和对称轴的几何意义求解.【详解】函数一条对称轴为，，的对称轴可以表示为，令，则在上单调，则，使得，解得，由，得，当时，取得最大值为；故答案为：.60．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式变形函数，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.【详解】依题意，函数，，因为在区间上单调递增，由，则，于是且，解得且，即，当时，，因为在区间上只取得一次最大值，因此，解得，所以的取值范围是.故选：B61．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上单调，且在上存在最值，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的单调性与周期性的关系及周期公式，结合三角函数的最值即可求解.【详解】因为在上单调，所以，即,则，由此可得．因为当，即时，函数取得最值，欲满足在上存在极最点，因为周期，故在上有且只有一个最值，故第一个最值点，得，又第二个最值点，要使在上单调，必须，得．综上可得，的取值范围是．故选：B．62．【多选】（2023·山西运城·统考三模）已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AB【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.【详解】由，知函数的图象关于直线对称，又，即是函数的零点，则，，即，.由在上单调，则，即，所以.当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上单调递增，故符合题意；当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上单调递增，故符合题意；当时，由，，得，，又，所以，此时当时，，所以在上不单调，故不符合题意.综上所述，或3.故选：AB.63．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的图象与性质可得及，继而可得，计算可得结果.【详解】化简，在时，，该区间上有零点，故，又时单调，则，即，故故选：C64．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式化简整理原式得到，求其单调递增区间进而可确定a的范围.【详解】，令，得，∴函数在，单调递增，由题知在上单调递增，∵，∴，解得.故选：B.65．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析出函数在、上均为增函数，再结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】当时，，所以，在上为减函数，因为在是减函数，且函数在上为减函数，只需，解得.故选：B.66．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数在区间上不单调，则的最小正整数值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简，进而根据为正整数，由的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.【详解】，由于为正整数，当时，，此时故此时在上单调，时不符合，当时，，此时且故此时在先增后减，因此不单调，符合，当时，，此时，而的周期为，此时在上不单调，符合，但不是最小的正整数，同理要求符合，但不是最小的正整数，故选：B考点六三角函数的奇偶性（一）判断三角函数的奇偶性67．（2023·北京西城·统考二模）已知函数．则“”是“为偶函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项.【详解】当，即则，化简为，即，，当时，，为偶函数，当时，，为偶函数，所以，能推出函数是偶函数反过来，若函数是偶函数，则有，所以“”是“为偶函数”的充分必要条件.故选：C68．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性与奇偶性逐项分析判断.【详解】对于A：，即，则的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，A不符合题意；对于B：的定义域为，由，可知为偶函数，B不符合题意；对于C：的定义域为，由，可知为奇函数，在上单调递增，但在定义域内不是单调函数,C不符合题意；对于D：的定义域为，由，可知为奇函数,在定义域内单调递增，D符合题意.故选：D.（二）根据奇偶性判断三角函数图象69．（2023春·吉林白山·高三统考期中）函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】的定义域为，因为，所以为偶函数，排除B、D.当时，，，则，排除C选项，故选：A.70．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由定义得到的奇偶性，排除BC，代入特殊点，排除D，得到正确答案.【详解】的定义域为R，且，故为偶函数，排除BC；又，故A正确，D错误.故选：A71．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性，结合特殊点，即可求解.【详解】函数的定义域为，，函数是奇函数，排除AC；当时，，此时图像在轴的上方，排除B.故选：D72．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值，即可得解．【详解】∵，，，则是奇函数，其图像关于原点对称，排除选项B、D；对故可排除选项C．故选