人教A版2019必修第一册专题2.5一元二次函数、方程和不等式全章八类必考压轴题(原卷版+解析)

专题2.5一元二次函数、方程和不等式全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1利用作差法、作商法比较大小考点1利用作差法、作商法比较大小1．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，M=(2p+1)(p−3)，N=(p−6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N2．（2023·全国·高一专题练习）若0<b<a，下列不等式中不一定成立的是（）A．1a−b>1b B．1a<3．（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0,c<d<0,e<0，设X=ea−c2，Y=eb−d4．（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2−b5．（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知x<1，比较x3−1与（2）已知a>0，试比较a与1a考点考点2利用不等式的性质求取值范围1．（2023·全国·高一假期作业）已知0<a−b<2，2<a+b<4，则3a+b的范围是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,122．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知2<x<3，2<y<3，则下列代数式的范围错误的是（

）A．6<2x+y<9 B．−1⩽x−y<1 C．2<2x−y<3 D．4<xy<93．（2023·全国·高三对口高考）已知−1≤a+b≤1,−1≤a−b≤1，则2a+3b的取值范围是．4．（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？5．（2022·全国·高一专题练习）设2<a<7，1<b<2，求a+3b，2a−b，ab考点考点3由基本不等式求最值1．（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2b+1A．78 B．C．910 D．2．（2023·全国·高一假期作业）若x>4，则y=x+1x−4的最值情况是（A．有最大值−6 B．有最小值6 C．有最大值−2 D．有最小值23．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若a>0,b>0，且a22+b24．（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知x>0，y>0，x+y=2，求4x（2）已知0<x<14，求5．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若正实数a，b满足a+b=1．(1)求ab的最大值；(2)求4a+1考点考点4基本不等式的恒成立问题1．（2023秋·广东广州·高一校考期末）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y−m≥0A．447 B．275 C．1432．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x、y满足x+y−xy=0，且xy>0，若不等式4x+9y−t≥0恒成立，则实数t的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．253．（2023·全国·高三专题练习）若对任意x≥0，k1+x⩾1+x4．（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）已知x>0，y>0.(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；(2)若x+y=1，若1x+15．（2022·高一单元测试）已知关于x的不等式ax2−x−2<0(1)求a，b的值；(2)当x>0,y>0，且满足ax+by=1考点考点5基本不等式的有解问题1．（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4<m2A．(−1,4) B．(−4,1) C．(−∞,−4)∪(1,+∞2．（2022秋·高一单元测试）若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+A．(−1,4) B．(−4,1)C．(−∞,−1)∪(4,+∞3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程x+y=kx+y有解，则实数4．（2022·高一课时练习）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若关于x的方程x(y+1)−425．（2023·高一课时练习）(1)已知x,y∈R+,求(2)求满足2a+b≥k4a+b对a考点考点6三个“二次”关系的应用1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）二次函数y=ax2+A．x0 B．∅ C．xx≠2．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知二次函数y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式y<c的解集为区间m,m+6，则实数A．9 B．6 C．3 D．13．（2022·全国·高一专题练习）二次函数fxx−4−3−234y2112505则关于x的不等式ax2+bx+c<04．（2023春·浙江·高二校联考期中）已知函数fx=(1)若方程fx=0有两根，且两根为x1(2)已知P=0,1，关于x的不等式fx>0的解为Q，若P∩Q=∅5．（2022秋·吉林长春·高一联考阶段练习）已知二次函数y=ax2+b−8x−a−ab（1）求二次函数的解析式；（2）当关于x的不等式ax2+bx+c≤0考点考点7一元二次不等式的恒成立问题1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）不等式ax2−ax+a+1>0对∀x∈R恒成立，则实数A．0,+∞ B．C．−∞,−42．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2A．m≤6 B．−6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤63．（2023·全国·高三专题练习）对∀x∈R,a2−44．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x2−2ax(1)若对∀x∈R，fx+g(2)若对∀x∈R，fx>0或g5．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）函数f(x)=x（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成立，求实数a（3）当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，求实数x考点考点8一元二次不等式的有解问题1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−2x−m<0在x∈12,2A．−1,+∞ B．−1,+∞C．−34+∞2．（2023秋·安徽淮北·高一校考期末）关于x的不等式x2−2m+1x+4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数A．52,3 B．52,3 C．3．（2023秋·安徽·高一校联考期末）已知函数y=m+1x2−mx+m−1m∈R，若不等式4．（2022秋·四川泸州·高二统考期末）已知函数fx(1)解关于x的不等式fx(2)若不等式fx<0在x∈−2,05．（2023秋·浙江湖州·高一期末）已知函数f(x)=x−2，g(x)=x(1)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得(3)若m=−1，对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式gx0专题2.5一元二次函数、方程和不等式全章八类必考压轴题【人教A版（2019）】考点1考点1利用作差法、作商法比较大小1．（2023·全国·高三专题练习）已知p∈R，M=(2p+1)(p−3)，N=(p−6)(p+3)+10，则M，N的大小关系为（）A．M<N B．M>NC．M≤N D．M≥N【解题思路】作出M，N的差，变形并判断符号作答.【解答过程】M−N=(2p+1)(p−3)−[(p−6)(p+3)+10]=p所以M>N.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）若0<b<a，下列不等式中不一定成立的是（）A．1a−b>1b B．1a<【解题思路】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误.【解答过程】A：1a−b−1b=b−(a−b)b(a−b)B：1a÷1b=C：由0<b<a，知(a)2D：由0<b<a，有−a<−b<0，正确；故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0,c<d<0,e<0，设X=ea−c2，Y=eb−d【解题思路】利用作差法可得答案.【解答过程】X−Y=e因a>b>0,c<d<0,则b+a>0,−c−d>0⇒b+a−c−d>0.b−a<0,c−d<0⇒b+c−a−d<0，又e<0，a−c2则eb+a−c−db+c−a−da−c故答案为：>.4．（2023·全国·高三专题练习）设a>b>0，比较a2−b【解题思路】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.【解答过程】∵a>b>0⇒a+b>0,a−b>0，∴a∴a∴a5．（2023·江苏·高一假期作业）（1）已知x<1，比较x3−1与（2）已知a>0，试比较a与1a【解题思路】（1）（2）利用作差法判断即可.【解答过程】（1）x=x−1∵x<1，∴x−1<0，又x−122所以x3（2）∵a−1又∵a>0，a+1>0，∴当a>1时，a−1a+1a>0当a=1时，a−1a+1a=0当0<a<1时，a−1a+1a<0综上，当a>1时，a>1a；当a=1时，a=1a；当考点考点2利用不等式的性质求取值范围1．（2023·全国·高一假期作业）已知0<a−b<2，2<a+b<4，则3a+b的范围是（

）A．4,8 B．6,10 C．4,10 D．6,12【解题思路】首先用a−b和a+b表示3a+b，再根据条件的范围，求解3a+b的范围.【解答过程】设3a+b=xa−b得x+y=3y−x=1，解得：x=1所以3a+b=a−b因为0<a−b<2，2<a+b<4，所以4<2a+b<8，所有3a+b的范围是4,10.故选：C.2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知2<x<3，2<y<3，则下列代数式的范围错误的是（

）A．6<2x+y<9 B．−1⩽x−y<1 C．2<2x−y<3 D．4<xy<9【解题思路】根据不等式的性质，依次分析即可判断.【解答过程】对于A，2<x<3，则4<2x<6，则有6<2x+y<9，A正确；对于B，2<y<3，则−3<−y<−2，则有−1<x−y<1，B正确；对于C，4<2x<6，−3<−y<−2，则有1<2x−y<4，C错误；对于D，2<x<3，2<y<3，则有4<xy<9，D正确；故选：C.3．（2023·全国·高三对口高考）已知−1≤a+b≤1,−1≤a−b≤1，则2a+3b的取值范围是[−3,3]．【解题思路】利用待定系数法设2a+3b=λ(a+b)+μ(a−b)，得到方程组，解出λ,μ，再根据不等式基本性质即可得到答案.【解答过程】设2a+3b=λ(a+b)+μ(a−b),则λ+μ=2,λ−μ=3,解得故2a+3b=5由−1≤a+b≤1,故−5由−1≤a−b≤1,故−1所以2a+3b∈[−3,3].故答案为：[−3,3].4．（2023·全国·高三专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？【解题思路】由不等式的基本性质求解即可.【解答过程】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），则m+n=3m−n=2，所以m=52又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴−52<∴−32<∴3x＋2y的取值范围为−35．（2022·全国·高一专题练习）设2<a<7，1<b<2，求a+3b，2a−b，ab【解题思路】根据不等式的基本性质，先求出a+3b与2a−b的范围，再由可乘性得出ab【解答过程】∵2<a<7，1<b<2，∴4<2a<14，3<3b<6，−2<−b<−1，12∴5<a+3b<13，2<2a−b<13，∴1<a故5<a+3b<13，2<2a−b<13，1<a考点考点3由基本不等式求最值1．（2023春·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足a+2b=6，则1a+2+2A．78 B．C．910 D．【解题思路】由a+2b=6，得到a+2+2b+2=10，再利用“1”的代换求解.【解答过程】解：因为a+2b=6，所以a+2+2b+2=10，所以1a+2当且仅当2b+2=2a+2，即a=43故选：C.2．（2023·全国·高一假期作业）若x>4，则y=x+1x−4的最值情况是（A．有最大值−6 B．有最小值6 C．有最大值−2 D．有最小值2【解题思路】利用基本不等式可得答案.【解答过程】若x>4，则y=x+1当且仅当x−4=1x−4即所以若x>4时，y=x+1故选：B.3．（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）若a>0,b>0，且a22+b2=4，则【解题思路】将a22+b2=4变为【解答过程】由a>0,b>0，且a22+则a1+当且仅当a2=2(1+b2)即a1+b2故答案为：524．（2023秋·广西河池·高一统考期末）（1）已知x>0，y>0，x+y=2，求4x（2）已知0<x<14，求【解题思路】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件；（2）由题设知1−4x>0，由基本不等式求目标式最大值，注意等号成立条件.【解答过程】（1）∵x>0，y>0且x+y=2，∴4x+1当且仅当4yx=xy，即∴4x+1（2）∵0<x<14，则∴y=x1−4x当且仅当4x=1−4x即x=1∴y=x1−4x的最大值5．（2023春·山西运城·高二校考阶段练习）若正实数a，b满足a+b=1．(1)求ab的最大值；(2)求4a+1【解题思路】（1）由基本不等式推论可得答案；（2）注意到4a+1【解答过程】（1）因a>0,b>0,a+b=1，a+b≥2ab则ab≤a+b24则ab的最大值为14（2）4a+1当且仅当4ba+1=a+1b，即则4a+1+1考点考点4基本不等式的恒成立问题1．（2023秋·广东广州·高一校考期末）若正数x,y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y−m≥0A．447 B．275 C．143【解题思路】将x+y=1变成x+1+y=2，可得4x+1【解答过程】解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1+y=2，∴4x+1当且仅当4yx+1=x+1y，即x+1=2y时等号成立，解得因为不等式4x+1所以4x+1+所以，实数m的最大值为92故选：D．2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x、y满足x+y−xy=0，且xy>0，若不等式4x+9y−t≥0恒成立，则实数t的最大值为（

）A．9 B．12 C．16 D．25【解题思路】由x+y−xy=0得到1x+1y=1【解答过程】因为x+y−xy=0，所以1x∴4x+9y=(4x+9y)1当且仅当9yx=4x因不等式4x+9y−t≥0恒成立，只需4x+9ymin因此t≤25，故实数t的最大值为25．故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意x≥0，k1+x⩾1+x恒成立，则实数k【解题思路】由1+x>0可得原不等式等价于k≥【解答过程】因为x≥0，所以1+x>0，所以不等式可化为k≥设μ=1+x1+x，x≥0，则μ>0因为x≥0，所以1+x⩾2x，当且仅当x=1所以μ2=1+2x1+x故答案为：[24．（2022秋·天津和平·高一校考阶段练习）已知x>0，y>0.(1)若x+9y+xy=7，求3xy的最大值；(2)若x+y=1，若1x+1【解题思路】（1）依题意利用基本不等式可得7−xy≥6xy，令t=xy(t>0)，再解关于t（2）利用乘“1”法及基本不等式求出1x+1y的最小值，依题意可得【解答过程】（1）解：因为x>0，y>0，x+9y+xy=7，所以7−xy=x+9y≥2x⋅9y=6xy令t=xy(t>0)，则7−t2≥6t又t>0，所以0<t≤1，即0<xy≤1，从而由x=9yx+9y+xy=7及x>0，y>0，解得x=3，y=故当x=3，y=13时，xy的最大值为1，所以3xy的最大值为（2）解：因为x>0，y>0，x+y=1，所以1x+1y=因为1x+1所以4>12m2−m，所以m+25．（2022·高一单元测试）已知关于x的不等式ax2−x−2<0(1)求a，b的值；(2)当x>0,y>0，且满足ax+by=1【解题思路】（1）首先根据题意得到x1=−1，x2=b为方程（2）首先根据题意得到k2+k+2≤2x+y【解答过程】（1）因为关于x的不等式ax2−x−2<0所以x1=−1，x2=b为方程所以−1+b=1a−1×b=−2a（2）因为2x+y≥k所以k2因为1x+2当且仅当4xy=y所以k2+k+2≤8，解得考点考点5基本不等式的有解问题1．（2023·江苏·高一假期作业）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式x+y4<m2A．(−1,4) B．(−4,1) C．(−∞,−4)∪(1,+∞【解题思路】依题意可得4y+1x=1【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x+y=xy，所以4y所以x+y当且仅当4xy=y所以m2+3m>4，即(m+4)(m−1)>0，解得m<−4或所以m的取值范围是(−∞故选：C.2．（2022秋·高一单元测试）若两个正实数x,y满足1x+4y=1，且不等式x+A．(−1,4) B．(−4,1)C．(−∞,−1)∪(4,+∞【解题思路】由题意可得x+y4=x+y41x+【解答过程】因为两个正实数x,y满足1x所以x+y当且仅当4xy=y因为不等式x+y所以m2−3m大于x+y解得m<−1或m>4，即实数m的取值范围是(−∞故选：C.3．（2022秋·上海嘉定·高一校考期中）已知x，y是正实数，且关于x，y的方程x+y=kx+y有解，则实数k的取值范围是【解题思路】分离参数后平方，转化为求x+y+2xy【解答过程】由x+y=k而k2=x+y+2又k2所以1<k2≤2可得1<k≤2故答案为：1,24．（2022·高一课时练习）已知正实数x，y，满足x+2y−xy=0．(1)求xy的最小值；(2)若关于x的方程x(y+1)−42【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对x(y+1)−42【解答过程】（1）∵x，y为正实数，x+2y−xy=0，∴x+2y=xy≥2解得：xy≥8，当且仅当x=2y，即x＝4，y＝2时，等号成立，则xy的最小值为8．（2）由x+2y−xy=0得：x+2y=xy，则2x∴x(y+1)−4=2(x+y)−42xy+当且仅当x=2y，即x=2+∴m2−m≥6，解得：m≥3或5．（2023·高一课时练习）(1)已知x,y∈R+,求(2)求满足2a+b≥k4a+b对a【解题思路】(1)由已知得x+yx+y(2)设a=m>0,b=n>0,a=m2,b=n2,由此利用均值定理能求出满足2a【解答过程】(1)∵x,y∈R∴x+当且仅当x=y时,对等号,∴当x=y时,x+yx+y(2)∵a,b∈R∴设a=m>0,b=n>0,a=m∴2m+n≥22mn∵满足2a+b≥k4a+b对a∴2m+n≥k4∴2k≤22,解得k≤∴满足2a+b≥k4a+b对a,b∈考点考点6三个“二次”关系的应用1．（2022秋·山东聊城·高一校考阶段练习）二次函数y=ax2+A．x0 B．∅ C．xx≠【解题思路】数形结合求出不等式的解集.【解答过程】ax2+根据图象知，只有在x=x0时y=0，x故选：A．2．（2022秋·江苏南通·高一校考阶段练习）已知二次函数y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于x的不等式y<c的解集为区间m,m+6，则实数A．9 B．6 C．3 D．1【解题思路】根据二次函数最值可求得a2=4b，利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程【解答过程】∵y=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，∵y<c的解集为m,m+6，∴x2+ax+∴x2+ax+b−c=0的两根分别为x∴x1−∴4c=6，解得：故选：A.3．（2022·全国·高一专题练习）二次函数fxx−4−3−234y2112505则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为【解题思路】根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到f3【解答过程】解：∵f−2=f4∴f3又∵fx在−∞,1∴ax2+bx+c<0故答案为：−1,3.4．（2023春·浙江·高二校联考期中）已知函数fx=(1)若方程fx=0有两根，且两根为x1(2)已知P=0,1，关于x的不等式fx>0的解为Q，若P∩Q=∅【解题思路】（1）由Δ>0，求得a的范围，再由韦达定理和x（2）由题意，结合二次函数的图象与性质，得到f0【解答过程】（1）解：由fx=0，即因为fx=0有两根，可得Δ=a2且x1则x1因为a≥4或a≤0，可得(a−1)2−1≥0，所以x1（2）解：因为fx由P=0,1，fx>0的解为Q，且P∩Q=∅解得a<−12，即实数a的取值范围是5．（2022秋·吉林长春·高一联考阶段练习）已知二次函数y=ax2+b−8x−a−ab（1）求二次函数的解析式；（2）当关于x的不等式ax2+bx+c≤0【解题思路】（1）利用一元二次不等式的解集是−3<x<2，得到-3，2是方程ax2+b−8x−a−ab=0（2）根据题意，得出不等式−3x2+5x+c≤0恒成立，则Δ≤0【解答过程】解：（1）由题可知，y=ax2+则-3，2是方程ax2+所以由根与系数之间的关系得a<0−3+2=8−ba所以二次函数的解析式为：y=−3x（2）由于不等式ax2+bx+c≤0则Δ=25+12c≤0，解得：c≤−25所以实数c的范围为cc≤−考点考点7一元二次不等式的恒成立问题1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）不等式ax2−ax+a+1>0对∀x∈R恒成立，则实数A．0,+∞ B．C．−∞,−4【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠0时a>0Δ【解答过程】①当a=0时，1>0成立，②当a≠0时，只需a>0Δ=a综上可得a≥0，即实数a的取值范围为0,+∞故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切x∈[2,3]，y∈[3,6]，不等式mx2−xy+y2A．m≤6 B．−6≤m≤0C．m≥0 D．0≤m≤6【解题思路】令t=yx，分析可得原题意等价于对一切t∈1,3【解答过程】∵x∈[2,3]，y∈[3,6]，则1x∴yx又∵mx2−xy+可得m≥y令t=yx∈1,3，则原题意等价于对一切∵y=t−t2的开口向下，对称轴则当t=1时，y=t−t2取到最大值故实数m的取值范围是m≥0.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）对∀x∈R,a2−4x2【解题思路】分a2−4=0，【解答过程】对∀x∈R,①当a2−4=0时，可得若a=−2，则有－1<0若a=2，则有4x−1<0，解得x<②若a2−4≠0，则a综上，实数a的范围为－2,4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x2−2ax(1)若对∀x∈R，fx+g(2)若对∀x∈R，fx>0或g【解题思路】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；（2）根据a的取值分情况讨论即可求解.【解答过程】（1）由题意可得fx则Δ=−a2−4×1×3−a故a的取值范围为−6,2.（2）当a=0时，fx=x当a<0时，由fx=x2−2ax>0故当2a≤x≤0时，gx=ax+3−a>0恒成立，而gx在R上为减函数，故只需g0=3−a>0，而由a<0当a>0时，由fx=x2−2ax>0故当0≤x≤2a时，gx=ax+3−a>0恒成立，而gx在R上为增函数，故只需g综上a的取值范围是−∞5．（2023秋·辽宁本溪·高一校考期末）函数f(x)=x（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成立，求实数a（3）当a∈4,6时，f(x)≥0恒成立，求实数x【解题思路】（1）当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，利用判别式（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3−a，该二次函数对称轴为x=−a2，属于轴动区间定的问题，需分三种情况讨论：当−a2≤−2（3）令ℎ(a)=xa+x2+3，f(x)≥0恒成立，即ℎ(a)≥0恒成立，函数ℎ(a)是关于a的一次函数，只需ℎ(4)≥0【解答过程】（1）当x∈R时，f(x)=x2+ax+3≥a则Δ=a2−4所以实数a的取值范围是−6,2．（2）当x∈−2,2时，f(x)≥a恒成成立，令g(x)=x2+ax+3−a，即①当−a2≤−2，即a≥4时，函数g(x)在−2,2上单调递增，g②当−2<−a2<2，即−4<a<4时，函数g(x)在−2,−a2上单调递减，在−a2③当−a2≥2，即a≤−4时，函数g(x)在−2,2上单调递减，g(x)min综上可知，实数a的取值范围是−7,2．（3）令ℎ(a)=xa+x2+3，当a∈4,6时，函数ℎ(a)是关于a的一次函数，其图像在x∈R上是单调的，所以要ℎ(a)≥0，只需ℎ(4)≥0ℎ(6)≥0，即x2+4x+3≥0x2+6x+3≥0所以实数x的取值范围是−∞,−3−6考点考点8一元二次不等式的有解问题1．（2023·全国·高三专题练习）若不等式x2−2x−m<0在x∈12,2A．−1,+∞ B．−1,+∞C．−34+∞【解题思路】将不等式x2−2x−m<0在x∈12,2【解答过程】因为不等式x2−2x−m<0在所以不等式m>x2−2x令t=x2−2x=所以m>−1，所以实数m的取值范围是−1,+∞故选：B.2．（2023秋·安徽淮北·高一校考期末）关于x的不等式x2−2m+1x+4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数A．52,3 B．52,3 C．【解题思路】不等式化为(x−2)(x−2m)⩽0，讨论2m⩽2和2m>2时，求出不等式的解集，从而求得m的取值范围．【解答过程】原不等式可化为(x−2)(x−2m