沪教版七年级数学上学期考试满分全攻略第7讲十字相乘和分组分解法因式分解(3大考点)(原卷版+解析)

第7讲十字相乘和分组分解法因式分解（3大考点）考点考向考点考向一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式因式分解？分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于,而：．这样就有：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．考点精讲考点精讲一．因式分解-十字相乘法等（共5小题）1．（2022春•宝山区校级月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣82．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．3．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．4．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．5．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．二．因式分解-分组分解法（共8小题）6．（2022春•长宁区校级期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝．7．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝．8．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝．9．（2022春•普陀区校级期中）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝．10．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．11．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．12．（2021秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．13．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．三．因式分解的应用（共2小题）14．（2022春•金山区月考）如果x、y满足，那么代数式x2﹣4y2的值为．15．（2021秋•宝山区期末）如果△ABC的三边长a，b，c满足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此△ABC的形状并写出你的判断依据．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·七年级期末）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,143．（2022·上海·七年级开学考试）如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=34．（2022·上海·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形二、填空题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．6．（2022·上海·七年级期末）分解因式：_____．7．（2022·上海·七年级专题练习）当时，代数式__________8．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．9．（2022·上海普陀·七年级期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．10．（2022·上海·七年级期末）计算：（1）__________．

（2）__________．（3）__________．11．（2022·上海普陀·七年级期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为_____．12．（2022·上海·七年级专题练习）矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：______________；________；__________；________14．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．15．（2022·上海·七年级期末）已知，则_______________16．（2022·上海·七年级期末）已知，则_____________17．（2022·上海·七年级期末）如果x﹣2y+3＝0，那么代数式x2﹣（4y+1）x+4y2+2y的值为_____．18．（2022·上海·七年级期末）正数满足，那么______．19．（2022·上海·七年级期末）若a,b,c满足，则________三、解答题20．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：．21．（2022·上海·七年级期末）因式分解：22．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：23．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：24．（2022·上海·七年级期末）分解因式：．25．（2022·上海·七年级专题练习）已知有因式，求a的值，并将其因式分解．26．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：已知x3－8有一个因式x－2，我们可以用如下方法对x3－8进行因式分解．解：设x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）因为（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b所以a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8所以a＝2，且b＝4所以x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）这种分解因式的方法叫做待定系数法．(1)已知x3＋27有一个因式x＋3，用待定系数法分解：x3＋27．(2)观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．27．（2022·上海·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：……（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行；（2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式：（3）请将分解因式．28．（2022·上海·七年级期末）阅读下列材料：让我们来规定一种运算：，例如：，再如：，按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：(1)＝；（只填最后结果）(2)当x＝时，；（只填最后结果）(3)将下面式子进行因式分解：．（写出解题过程）29．（2022·上海·七年级专题练习）解方程(1)解关于x、y的方程：．(2)求方程的整数解．30．（2022·上海·七年级期末）阅读以下材料，根据阅读材料提供的方法解决问题【阅读材料】对于多项式，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0，由此可以断定多项式中有因式，（注：把代入多项式，能使多项式值为0，则多项式一定含有因式），于是我们可以把多项式写成：，分别求出后代入，就可以把多项式因式分解．【解决问题】(1)求式子中的值；(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式．31．（2022·上海宝山·七年级期末）如果的三边长满足等式，试判断此的形状并写出你的判断依据．第7讲十字相乘和分组分解法因式分解（3大考点）考点考向考点考向一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：．由于把中的分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式因式分解？分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于,而：．这样就有：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．考点精讲考点精讲一．因式分解-十字相乘法等（共5小题）1．（2022春•宝山区校级月考）若x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），则p+q的值为（）A．15 B．7 C．﹣7 D．﹣8【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案．【解答】解：∵x2+px+q＝（x﹣3）（x﹣5），∴x2+px+q＝x2﹣8x+15，故p＝﹣8，q＝15，则p+q＝﹣8+15＝7．故选：B．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．2．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为±2．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．3．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3）．【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），故答案为：（x+7）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．4．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．5．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．故答案为：（x﹣6）（x+2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．二．因式分解-分组分解法（共8小题）6．（2022春•长宁区校级期中）分解因式：x2﹣y2+4y﹣4＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）．【分析】直接将后三项分组，结合完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣（y2﹣4y+4）＝x2﹣（y﹣2）2＝（x+y﹣2）（x﹣y+2）．故答案为：（x+y﹣2）（x﹣y+2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．7．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：2x﹣ay+ax﹣2y＝（x﹣y）（2+a）．【分析】将“2x﹣ay+ax﹣2y”分成两组，然后利用提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2x﹣ay+ax﹣2y＝（2x﹣2y）+（ax﹣ay）＝2（x﹣y）+a（x﹣y）＝（x﹣y）（2+a）．故答案是：（x﹣y）（2+a）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．8．（2022春•徐汇区校级期中）分解因式：am+an﹣bm﹣bn＝（m+n）（a﹣b）．【分析】把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答．【解答】解：am+an﹣bm﹣bn＝（am+an）﹣（bm+bn）＝a（m+n）﹣b（m+n）＝（m+n）（a﹣b），故答案为：（m+n）（a﹣b）．【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解﹣分组分解法是解题的关键．9．（2022春•普陀区校级期中）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．10．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．【分析】先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．【解答】解：x3+2x2y﹣9x﹣18y＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）＝（x+2y）（x2﹣9）＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．11．（2021秋•普陀区期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝（a﹣b）（x+y）．【分析】先分组，再提取公因式，再提取公因式．【解答】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）．故答案为：（a﹣b）（x+y）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，提取公因式的熟练应用是解题关键．12．（2021秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．【解答】解：1﹣a2﹣4b2+4ab＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）＝1﹣（a﹣2b）2＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法以及分组分解法是解决本题的关键．13．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．【分析】先分组，再提公因式分解．【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）＝（y2﹣1）（x﹣1）＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．【点评】本题考查因式分解，根据多项式特征确定正确的分组方式是求解本题的关键．三．因式分解的应用（共2小题）14．（2022春•金山区月考）如果x、y满足，那么代数式x2﹣4y2的值为6．【分析】把代数式x2﹣4y2分解得到（x+2y）（x﹣2y），然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵x、y满足，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝3×2＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了因式分解﹣公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把一些多项式分解因式，这种方法叫公式法，熟练运用平方差公式是解决本题的关键．15．（2021秋•宝山区期末）如果△ABC的三边长a，b，c满足等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0，试判断此△ABC的形状并写出你的判断依据．【分析】先将等式变形为2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，结合完全平方公式可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，得出a，b，c之间的关系，进而得出三角形的形状．【解答】解：△ABC是等边三角形．理由如下：由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0可得，2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题考查了因式分解的运用，等边三角形的判定及性质的运用，非负数和为0的定理的运用．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2022·上海·七年级期末）已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，进而得出答案．【详解】解：∵∴甲为：x+7，乙为：x－7，丙为：x-2，∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，

故选A．【点睛】本题主要考查的就是因式分解的应用，属于基础题型．2．（2022·上海·七年级期末）已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（

）A．15,17 B．16,17 C．15,16 D．13,14【答案】A【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.【详解】=(216+1)(216-1)=(216+1)(28+1)(28-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(24-1)=(216+1)(28+1)(24+1)(22+1)(22-1)=(216+1)(28+1)×17×5×3=(216+1)(28+1)×17×15∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解答本题的关键.3．（2022·上海·七年级开学考试）如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3【答案】B【详解】解：∵多项式能因式分解为解得：．故选B．4．（2022·上海·七年级期末）如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形边的关系.【详解】解：=0（a-b）（b-c）=0即：a=b或b=c，则三角形一定为等腰三角形；故答案为B.【点睛】本题考查了三角形形状的判定，其关键在于对等式的变形，推导出a、b、c的关系.二、填空题5．（2022·上海浦东新·七年级期末）因式分解：_______．【答案】【分析】利用十字相乘法分解因式即可得．【详解】解：因为，且是的一次项的系数，所以，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解题关键．6．（2022·上海·七年级期末）分解因式：_____．【答案】【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【详解】原式=（x-2）（x+5），故答案为：（x-2）（x+5）【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．7．（2022·上海·七年级专题练习）当时，代数式__________【答案】0【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．【详解】解：∵x=-6，，∴=0．故答案为：0．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．8．（2022·上海·新中初级中学七年级期末）因式分解：m2-n2-2m+1=___．【答案】（m-1+n）（m-1-n）【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可．【详解】原式=m2-2m+1-n2=（m-1）2-n2=（m-1+n）（m-1-n）．故答案为（m-1+n）（m-1-n）．【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键．9．（2022·上海普陀·七年级期末）因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝_____．【答案】【分析】先分组，再提取公因式，最后再提取公因式．【详解】解：ax﹣by+ay﹣bx＝（ax﹣bx）+（ay﹣by）＝x（a﹣b）+y（a﹣b）＝（a﹣b）（x+y）故答案为：（a﹣b）（x+y）【点睛】本题考查了因式分解，掌握分组分解是解题关键．10．（2022·上海·七年级期末）计算：（1）__________．

（2）__________．（3）__________．【答案】

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【详解】第一个式子，利用平方差公式求得原式=，然后约分即可求得答案；第二个式子，方法同第一个式子，注意约分；由以上规律可得，即可求得第三个式子答案．解：===；===；==．本题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式是解题的关键．11．（2022·上海普陀·七年级期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为_____．【答案】【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．（2022·上海·七年级专题练习）矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________【答案】49【分析】先利用矩形的周长公式求出，再由得出，进而得出，解二元一次方程组求出x，y，即可求出矩形的面积．【详解】解：∵矩形的周长是，两边为x，y，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解方程组，得，∴矩形面积．【点睛】本题考查因式分解的应用，矩形的周长、面积公式，以及解二元一次方程组，通过因式分解得出是解题的关键．13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：______________；________；__________；________【答案】

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．【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可．【详解】解：；；；；故答案为：；；；．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：________．【答案】##【分析】将原多项式分组变形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】解：====，故答案为：．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，灵活运用因式分解的方法是解答的关键．15．（2022·上海·七年级期末）已知，则_______________【答案】24【分析】先对已知进行变形，求得a、b、c、d的值，再代入求解．【详解】∵a+2b+3c+4d=30，∴2a+4b+6c+8d=60①又∵a2+b2+c2+d2=30②②﹣①a2+b2+c2+d2﹣2a﹣4b﹣6c﹣8d=﹣30可变形为(a﹣1)2+(b﹣2)2+(c﹣3)2+(d﹣4)2=0，∴a=1，b=2，c=3，d=4，∴ab+bc+cd+da=b(a+c)+d(a+c)=(a+c)(b+d)=4×6=24．故答案为：24．【点睛】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质．当所给的等式比字母少时，又需要知道字母的值，往往需要变成一种特殊形式：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．16．（2022·上海·七年级期末）已知，则_____________【答案】±27【分析】由每个等式的结果等于8，得到与(a+1)，(b+1)，(c+1)有关的值，进而代入所给代数式求值即可．【详解】由题意得：ab+a+b=8，∴ab+a+b+1=9，∴(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)=9，即(a+1)(b+1)=9，同理可得：(b+1)(c+1)=9，(a+1)(c+1)=9，∴[(a+1)(b+1)(c+1)]2=9×9×9，∴(a+1)(b+1)(c+1)=±27．故答案为：±27．【点睛】本题考查了代数式的求值，利用因式分解得到和所给代数式相关的值是解答本题的关键．17．（2022·上海·七年级期末）如果x﹣2y+3＝0，那么代数式x2﹣（4y+1）x+4y2+2y的值为_____．【答案】12【分析】根据x﹣2y+3＝0，可得x﹣2y的值，然后将题目中的式子因式分解即可解答本题．【详解】∵x﹣2y+3＝0，∴x﹣2y＝﹣3，∴x2﹣（4y+1）x+4y2+2y＝（x﹣2y）[x﹣（2y+1）]＝（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）＝（﹣3）×（﹣3﹣1）＝（﹣3）×（﹣4）＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．18．（2022·上海·七年级期末）正数满足，那么______．【答案】64【分析】将式子因式分解为(a-c)(b+2)=0，求得a=c,同理可得a=b=c,再=12可化为a2+4a-12=0，求出a的值，再求得值即可．【详解】解：∵，∴ab-bc+2(a-c)=0,即(a-c)(b+2)=0,∵b﹥0,∴b+2≠0,∴a-c=0,∴a=c,同理可得a=b,b=c,∴a=b=c,∴=12可化为a2+4a-12=0∴(a+6)(a-2)=0,∵a为正数，∴a+6≠0,∴a-2=0,∴a=2,即a=b=c=2,∴(2+2)×(2+2)×(2+2)=64故答案为64．【点睛】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．19．（2022·上海·七年级期末）若a,b,c满足，则________【答案】【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.【详解】因为所以，即因为所以因为所以因为所以即因为即故答案为：【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.三、解答题20．（2022·上海·七年级开学考试）分解因式：．【答案】．【分析】设，将原式转化为，y代回利用十字相乘法分解即可求解.【详解】解：设，原式,,,,．故答案为．【点睛】本题考查因式分解-十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法分解因式以及换元思想的运用.21．（2022·上海·七年级期末）因式分解：【答案】【分析】利用分组分解法、完全平方公式和平方差公式进行因式分解．【详解】===．【点睛】考查了综合因式分解法，其中分组分解法适用于多项式不能直接使用提取公因式法、公式法与十字相乘法的多项式分解情况，但分组分解法又比较灵活，其分解的关键在于分组要适当，因而我们需要牢记它的分组原则：①分组后能直接提取公因式；②分组后能直接运用公式．22．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】【分析】首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和十字相乘法是本题的关键．23．（2022·上海宝山·七年级期末）分解因式：【答案】【分析】先提取公因式，再用十字相乘法分解即可．【详解】解：==．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．24．（2022·上海·七年级期末）分解因式：．【答案】【分析】先利用十字相乘法分解，再利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式故答案为：（x-1)(x+1)(x-3)(x+3)【点睛】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法和平方差公式是解题关键．25．（2022·上海·七年级专题练习）已知有因式，求a的值，并将其因式分解．【答案】，原式【分析】首先根据题意“有因式”，可得出，进而得出当时，，然后把代入，即可算出的值，然后把的值代入，即可得到，然后再用提公因式法和平方差公式分解因式，即可得出结果．【详解】解：∵有因式，∴，即，∴时，，∴把代入，可得：，解得：，∴把代入，可得：，∴．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式、平方差公式，解本题的关键在熟练掌握因式分解．26．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：已知x3－8有一个因式x－2，我们可以用如下方法对x3－8进行因式分解．解：设x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）因为（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b所以a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8所以a＝2，且b＝4所以x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）这种分解因式的方法叫做待定系数法．(1)已知x3＋27有一个因式x＋3，用待定系数法分解：x3＋27．(2)观察上述因式分解，直接写出答案：因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．【答案】(1)(2)；【分析】（1）设，根据，可得，且，且，即可求解；（2）令x为a，底数3为b，可得，同理，即可求解．(1)解：设，∵，∴，且，且，∴，；(2)由（1）得：，令x为a，底数3为b，∴；同理可得：．【点睛】本题主要考查了因式分解，明确题意，理解阅读材料，利用类比思想解答是解题的关键．27．（2022·上海·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：……（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行；（2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式：（3）请将分解因式．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）将n=5代入公式中即可求出结论；（2）根据=，然后利用条件中公式因式分解即可；（3）将多项式乘再除以，然后根据条件中公式将分子变形，再利用平方差公式和条件公式将分子因式分解，最后约分即可．【详解】解：（1）将n