教师资格认定考试初级中学数学模拟题11

教师资格认定考试初级中学数学模拟题11一、单项选择题1.

A.0B.1C.∞D.不存在正确答案：A[解析]当x→0时，=0。

2.

二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵的秩为______A.0B.1C.2D.3正确答案：D[解析]二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵为，其对应的行列式，故该矩阵的秩为3。

3.

设在3次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现1次的概率为，则在1次试验中，事件A出现的概率为______

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]设P(A)=p，则，即，解得。

4.

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充要条件是______A.λ1=0B.λ2=0C.λ1≠0D.λ2≠0正确答案：D[解析]由题意可知，Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2。若α1，A(α1+α2)线性无关，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2，若λ2=0，则α1与A(α1+α2)共线，即线性相关，与条件不符，故λ2≠0。当λ2≠0时，若k1α1+k2A(α1+α2)=k1α1+k2(λ1α1+λ2α2)=(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0，则必有k1+k2λ1=0且k2=0，即k1=k2=0，故α1与A(α1+α2)是线性无关的。综上，可知选D。

5.

设常数λ＞0，且收敛，则A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与λ有关正确答案：C[解析]，因为收敛，所以收敛，故绝对收敛。

6.

设直线L：及平面π：2x+6y+4z-1=0，则直线L______A.平行于πB.在π上C.垂直于πD.与π斜交正确答案：A[解析]直线L的方向向量为，平面π的法向量为m=(2，6，4)，由m·n=0，知m⊥n。又直线L上一点不在平面π上，所以直线L平行于π。

7.

下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是______A.等边三角形B.等腰梯形C.正五边形D.正六边形正确答案：D[解析]等边三角形、等腰梯形、正五边形都是轴对称图形，不是中心对称图形；正六边形既是轴对称图形，也是中心对称图形。故选D。

8.

“只有一组对边平行的四边形叫作梯形”属于______A.属加种差定义B.描述性定义C.约定式定义D.发生定义正确答案：A[解析]属加种差定义法就是先确定被定义概念的最邻近的属概念，然后寻找这个属概念中诸种概念彼此间的本质差别的一种定义方法，梯形最邻近的属概念是四边形，只有一组对边平行是梯形区别于一般四边形的本质差别。

二、简答题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)1.

求由两个圆柱面x2+y2=a2与z2+x2=a2围成立体的体积。正确答案：解：如图所示为两圆柱面在第一卦限部分的图象。

对任意x0∈[0，a]，平面x=x0与两圆柱面所围立体的截面是一个边长为的正方形，所以截面函数A(x)=a2-x2，x∈[0，a]。

由定积分的几何意义知，对截面函数A(x)在区间[0，a]上的积分就是该立体在第一卦限部分的体积，

所以

2.

设f(x)在[0，1]上可导，且满足关系式。证明：在(0，1)内至少存在一个ξ，使。正确答案：解：分析：先寻找辅助函数。令ξ=x，。于是令F(x)=xf(x)。

由题设可知F(x)=xf(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，

由，有(积分中值定理)，，则F(1)=f(1)=ηf(η)。

又F(η)=ηf(η)，可知F(x)满足罗尔定理，故存在一个，使得F'(ξ)=0，即f(ξ)+ξf'(ξ)=0，即。

甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25%，35%，40%，次品率分别为0.03，0.02，0.01。现从所有产品中取出一件，试求：3.

该产品是次品的概率；正确答案：解：设A1，A2，A3分别表示甲、乙、丙三车间加工的产品，B表示此产品是次品，

所求事件的慨率为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.03+0.35×0.02+0.4×0.01=0.0185。

4.

若检查结果显示该产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率是多少?正确答案：解：该次品是乙车间生产的概率是。

5.

数感是《义务教育数学课程标准》(2011年版)提到的课程核心之一，学生的数感主要表现在哪些方面?正确答案：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择恰当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。

6.

请以“二次根式”概念的教学为例简要说明概念形成的教学模式。正确答案：(1)为学生提供熟悉的具体例证用带有根号的式子填空，看看结果有什么特点?

①要做一个两条直角边的长分别是7cm和4cm的三角尺，那么斜边长为______cm；

②面积为S的正方形的边长为______；

③要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为______m(π取3.14)；

④一个物体从高处落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t2，则t=______。

(2)抽象出本质属性

①教师引导学生分析：上面的问题中，结果分别是。

②归纳这些代数式的特点：都表示一些正数的算术平方根。

③请学生再举出一些类似的例子：(a≥0)，，…

(3)形成概念

在分析上述例子以及学生举例的基础上，引导学生得出二次根式的定义。

(4)概念辨析

教师提供一些问题引导学生讨论质疑：

①(a≥0)的内在含义；

②判断：以及是二次根式吗?

③说出下列二次根式中字母a的取值范围：

(5)概念运用与系统化

①引导学生探讨二次根式的性质，并思考为什么?由定义知二次根式是算术平方根的推广，因而二次根式具有算数平方根的性质：

②二次根式的运用，要将二次根式的概念纳入学生认知结构，还需要运用它来解决问题，并将其与相关概念建立联系。

三、解答题(本大题1小题，10分)1.

设，且方程组AX=0的解空间的维数为2，求AX=0的通解。正确答案：解：由于解空间的维数等于AX=0的基础解系中所含解向量的个数，所以4-r(A)=2，即r(A)=2。

将A化为阶梯形矩阵：

由r(A)=2知，(t-1)2=0，即t=1，

分别取(x3，x4)T=(1，0)T，(x3，x4)T=(0，1)T，

得方程组的通解为，其中k1，k2∈R。

四、论述题(本大题1小题，15分)巩固与发展相结合的原则是数学教学的基本原则之一。1.

请谈谈“巩固”与“发展”的关系；正确答案：数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。即所谓“温故而知新”。因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，处理好新知识与旧知识的关系、知识传播与能力发展的关系，以便获得更好的教学效果。

2.

请说明教学中怎样做到在发展的过程中进行巩固。正确答案：教师在教学中要做到以下几方面：

①将学习新知识、复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段性复习、总结性复习，更要重视日常课堂的复习巩固，将复习巩固作为一个重要的教学环节。

②要重视对学生所学知识、技能和方法进行复习巩固工作的研究。

③在复习巩固过程中，要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理解的基础上记熟。

④在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要激起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。

⑤零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，学生获得有系统的知识是知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成的过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解知识，达到巩固的目的。

五、案例分析题(本大题1小题，20分)下面是数学教师王老师在一节习题课上的教学片段：

师：下面大家看这道题：化简。大家思考一分钟。

(学生思考后回答)

师：谁来说一下怎么化简?

学生1：老师，我的想法是分母有理化，分子分母同时乘以，分母就化成了a-b，结果为。

师：很好，说明你已经熟练掌握了分母有理化的一般方法，把你的化简过程写在黑板上。

师：大家想想有没有其他做法。

学生2：老师，这道题也可以这样做：将分子因式分解，，然后再约分，得到。

师：你的思维已经转向了分析，又联想到因式分解，很好!把你的化简过程也写在黑板上。

师：好的，两位同学的解法都写在了黑板上，大家比较这两种解法，看看两种解法都正确吗?

问题：1.

判断学生1和学生2的解法正确吗?并说明理由。正确答案：虽然两位学生的计算结果都是，但学生1在分母有理化的时候分子分母同时乘以，如果a=b，这一步就不符合分式的运算性质，即学生1的解法有逻辑错误。学生2的解法是正确的。

2.

如果你是该教师，如何完成后续的教学?正确答案：师：两种解法的计算结果一样，都是，大家觉得有什么问题吗?可以大胆地说出来。

学生一脸茫然。

师：学生1和学生2你们都想想自己的解法，过程中有没有不合理的地方?

(学生们在相互讨论着，但都说不上来)

师：两种解法的计算都只有两步，大家一步一步地看，联想分式的运算性质，细细琢磨琢磨。

(这时，学生1突然有了灵感)

学生1：老师，我知道我哪里错了。在我的解法中，分母有理化的时候分子分母同时乘以，问题出在这里，如果a=b的时候，。而分式的运算性质是，分子分母同时乘以一个不为零的数，分式的值不变。这一步错了，没有考虑a=b的情况。

(学生1说完，大家都恍然大悟)

师：太棒了，自己发现了自己的问题。是的，问题就在这儿。学生2的解法是正确的。

师：大家都明白了吧，在计算的过程中很多时候看着正确，细细探究却是有问题的，这个时候就不能相信直觉，而是要有严密的逻辑思维。在数学的推理计算过程中，每一步都要有理有据、合情合理，即使再简单的过程都是有依据的，大家要养成多问自己“为什么可以这样做”的习惯，培养严谨的思维习惯。

六、教学设计题(本大题1小题，30分)《义务教育数学课程标准》(2011年版)在课程内容中要求：创新意识的培养是现代教育的根本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现问题和提出问题是创新的基础，独立思考、学会思考是创新的核心，归纳概括得到猜想和规律并加以验证，是创新的重要方法。

素材：如图所示，将正方形纸ABCD折叠使点B落在CD边上一点E处(不与C，D重合)，压平后得到折痕MN。

问题：1.

根据点E在CD上的位置变化，设置适当条件编制三道数学题目(不要求作答)。正确答案：设正方形纸片ABCD的边长为2，

①E在什么位置时，△ENC是一个角为30°的直角三角形?

②试写出NC与EC的数量关系。

③求E在什么位置时，△ENC的面积取得最大值?

④当时，求的值。

(可以任选3道)

2.

依据上述素材和要求，试以提出问题为主线进行“探究式”教学，撰写一份培养学生观察与发现、归纳与推理能力的教学过程设计(只要求写出教学过程，突出探究的方法和问题即可)。正确答案：①导入。

采用练习导入法，利用(1)中题目引入本节课内容。

②新课讲授。

根据导入的例题，提出问题：在之前学习的三角形知识中，有哪些常用的性质和定理?

预设：全等三角形判定定理、相似三角形判定定理、等腰三角形性质、勾股定理……

找学生回答并追问，明确具体的性质和定理内容。

在复习之前的知识之后，结合(1)中②③进行“探究式”教学。

给出例题：如图所示，已知正方形纸片ABCD的边长为2，将正方形纸片ABCD折叠，使B点落在CD边上一点E(不与C，D重合)，压平后得到折痕MN，A点落在点F处。

问题1：根据条件，能够获得哪些结论?

学生七嘴八舌地说着，教师提问后总结：AM=FM，BN=EN，△ENC为直角三角形，MN所在的直线是BE的垂直平分线(需连结BE)，∠NBE=∠NEB，∠ENC=2∠NBE，……

问题2：如果，或CE=DE，分别求NC。

学生思考后，教师提问并总结：由已知条件知，或，在Rt△ENC中，EN+NC=BN+NC=BC=2，再利用勾股定理就可分别求出NC。

问题3：如果设NC=x，EC=