人教A版（2019）必修第二册6.4.2平面向量的应用(精练)(原卷版+解析)

6.4.2平面向量的应用（精练）1．（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（

）A．北偏东 B．北偏东或南偏东C．南偏东 D．以上方位都不对2．（2022·黑龙江）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面积最小值是3．（2022·云南）（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的取值范围是 D．的取值范围是4．（2022·全国·高二课时练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.5．（2022·山东聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.6．（2021·陕西）宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）7．（2022·陕西）若在中，，则面积S的取值范围是___________．8．（2022·广东）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．9．（2022·江苏）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．10．（2022·四川）在平面四边形中，，，．(1)若的面积为，求；(2)记，若，，求．11．（2022·上海）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积的最大值．12．（2022·江西·金溪一中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求周长的取值范闱．13．（2022·广东）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四边形ABCD面积的最大值；(2)求对角线AC长的取值范围．14．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数．(1)求函数在区间上的严格减区间；(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．15．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在中，.(1)求的大小；(2)若，证明：.16．（2022·广东）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．17．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角所对的边分别是，且__________.(1)求角；(2)若点满足，且线段，求的最大值.18（2022·上海）已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．6.4.2平面向量的应用（精练）1．（2022·全国·高一课时练习）一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（

）A．北偏东 B．北偏东或南偏东C．南偏东 D．以上方位都不对【答案】B【解析】如图所示，由题意可知（海里），海里，，在中，由，得，所以或，故或，即灯塔S在B处的北偏东或南偏东．故选：B.2．（2022·黑龙江）（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面积最小值是【答案】ABD【解析】由题意得：，由角平分线以及面积公式得，化简得，所以，故A正确；，当且仅当时取等号，，，所以，当且仅当时取等号，故D正确；由余弦定理所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确；对于选项：由得：，，当且仅当，即时取等号，故C错误；故选：ABD．3．（2022·云南）（多选）设，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的取值范围是 D．的取值范围是【答案】BD【解析】由正弦定理得即，故B对，A错；又又锐角中解得，故故选：BD4．（2022·全国·高二课时练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.【答案】【解析】由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，，在中，有，所以，所以，所以，所以小货船航行速度的大小为．故答案为：5．（2022·山东聊城一中高一期中）2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为（点与在地面上的投影O在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得高度______米.【答案】【解析】由题可得，所以米，由正弦定理可得米.故答案为：6．（2021·陕西）宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A处测得，从A处沿山坡直线往上前进到达B处，在山坡B处测得，，则宝塔CD的高约为_________m.（，，结果取整数）【答案】44【解析】因为，，，所以，所以，所以，因为，所以，，在中，由正弦定理得，，所以所以，故答案为：44.7．（2022·陕西）若在中，，则面积S的取值范围是___________．【答案】【解析】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；故，又，故.故答案为：.8．（2022·广东）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．【答案】【解析】由∴得，所以，因为所以，所以，而，所以．又由的外接圆的面积为，所以外接圆直径，所以，因为为锐角三角形，所以，的面积取值范围为．故答案为：.9．（2022·江苏）如图，在中，，AB＝8，点D在边BC上，，CD＝2．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）∵，∴，则．所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，则BC＝BD＋CD＝5，在中，由余弦定理得，即AC＝7，所以．10．（2022·四川）在平面四边形中，，，．(1)若的面积为，求；(2)记，若，，求．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：，解得，由余弦定理得，因此，.(2)解：在中，，在中，，

由正弦定理得，即，所以，，即，故.11．（2022·上海）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c、满足．(1)求角B的大小；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由余弦定理得，又，所以.（2）因为，由（1）得，当且仅当时取等号，所以，面积所以三角形面积的最大值为．12．（2022·江西·金溪一中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，求周长的取值范闱．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得，整理得，即，∵，，角B为锐角，∴．（2）由正弦定理，可得，，∴．∵是锐角三角形，∴，解得，∴，∴，∴，即，而，∴周长的取值范围为．13．（2022·广东）在平面四边形ABCD中，AD＝BD＝1，．(1)求四边形ABCD面积的最大值；(2)求对角线AC长的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因为AD＝BD＝1，，所以三角形ABD为正三角形．设BC＝a，CD＝b．在三角形BCD中，由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号，所以四边形ABCD的面积，即最大值为；（2）设，在三角形BCD中，由正弦定理得，，所以，在三角形ABC中，由余弦定理得，，因为，所以，所以．14．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知函数．(1)求函数在区间上的严格减区间；(2)在中，所对应的边为，且，求面积的最大．【答案】(1)(2)【解析】（1）方法1：则：，即：，当k=0时，∴∴在区间上的严格减区间为.方法2：∵，∴∵在区间上严格单减∴∴∴在区间上的严格减区间为.（2）由（1）知：，即：又∵∴∴方法1：由余弦定理得：，∴

①又∵，当且仅当b=c时去等号.

②由①②得：，当且仅当b=c时去等号.∴△ABC的面积最大值为；方法2：由正弦定理得：，∵∴，∴∴当时，即：时，取得最大值为1，∴，∴，∴△ABC的面积最大值为.15．（2022·黑龙江·大庆中学二模（理））在中，.(1)求的大小；(2)若，证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在中，∵，∴，∴，∴，∵，∴；(2)∵，∴．由余弦定理得①，∵，∴②，将②代入①，得，整理得，∴．16．（2022·广东）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）证明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．（2）由（1）知，又因为，，所以，由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，则，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由题意知，故解得，所以．17．（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角所对的边分别是，且__________.(1)求角；(2)若点满足，且线段，求的最大值.【答案】(1).(2)6.【解析】（1）选①，由及正弦定理可得:,所以，，因为，所以，则,所以故；选②，由及正弦定理可得，所以，，∵，所以，则.（2）如图：