河北省保定市2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题

2022-2023学年度第一学期期末调研考试高二数学试题注意事项：1.本试卷由选择题和非选择题两部分构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分，考试时间120分钟。2.每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域，在其他区域作答无效。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．若数列为等差数列，且，则等于（）A．5 B．4 C．3 D．23．直线与圆交于，两点，则的面积为（）A． B．2 C． D．4．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（）A． B． C． D．5．记为等比数列的前项和，若，，则（）A． B． C． D．6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（）A．4 B．3 C．2 D．67．从甲袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从乙袋中随机摸出1个球是红球的概率是，从两袋中有放回的各摸两次球且每次摸出一个球，则是（）A．4个球不都是红球的概率 B．4个球都是红球的概率C．4个球中恰有3个红球的概率 D．4个球中恰有1个红球的概率8．如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的有（）A．若，为对立事件，则B．若，为互斥事件，则C．若，则，相互独立D．对于任意事件，，有10．已知向量，，，则下列结论正确的是（）A．向量与向量的夹角为B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量，共面11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（）A．双曲线的离心率为B．双曲线的渐近线方程为C．的面积为D．直线与圆相切12．已知数列中，，，数列中，，则（）A．数列为等差数列 B．数列的前5项和为C．数列为等比数列 D．数列为等差数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为____________.14．如图，在平行六面体中，是的中点，设，，.则____________.（用，，表示）15．已知数列的前项和满足：，数列的前项和满足：，记，则数列的前10项和为____________.16．已知抛物线的焦点为，圆，圆心是抛物线上一点，直线，圆与线段相交于点，与直线交于，两点，且，若，则抛物线方程为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相切，求实数的值.18．（12分）如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.（1）求证：平面；（2）若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.19．（12分）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为，，，…….（1）写出和，并求出与之间的递推关系式；（2）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式.20．（12分）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位，十位，百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被3整除”，“表示的三位数能被5整除”.（1）判断事件，是否相互独立；（2）求事件，至少一个发生的概率.21．（12分）如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内.（1）若中点为，求的面积；（2）若平面，求线段长度的最小值.22．（12分）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.（1）求椭圆的方程；（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；（3）证明直线过定点，并求该定点坐标.

高二期末考试参考答案1-8：ADBABCCC9.AB10.ABD11.ACD12.ABD13.814.15.103316.17.（1）由已知得，------------2分------------4分圆的方程为------------5分（2）法一：圆心到直线的距离------------8分得实数的值为1------------10分法二:直线过点，恰为点，即点为切点，，------------8分，------------10分18.（1）证明：取中点，连接，------------2分------------4分又------------6分（2）过点作的延长线为轴，以为轴，过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，------------7分则,,,,------------8分设平面的法向量为则令，得------------10分设B1C与平面A1DC所成角为B1C与平面A1DC所成角的正弦值为------------12分19.（1），，，2分，即4分（2）证明：------------8分是以50为首项，为公比的等比数列。------------10分，------------12分20.（1）通过树状图列举，基本事件总数为8个，相应组成的三位数字分别为111、115、151、155、511、515、551、555。其中A事件发生的总数为2，B事件发生的总数为4，AB同时发生的事件总数为1.------------2分------------4分------------6分事件A与事件B相互独立（2）法一：法二：------------12分21.（1）连接、、同理是正方形对角线AC中点------------2分即------------4分（2）取中点，连接，，易得又------------6分同理------------8分------------9分，且当时取得的最小长度------------11分由等面积法得的最小长度为------------12分法二：取，则,------------6分------------7分代入整理得------------9分动点在平面内,-----------10分当且仅当时，有最小值为------------12分法三：由第一问知,如图建立空间直角坐标系，------------5分则，,,,------------6分同理,------------7分,设平面D1AE的法向量为则令，得------------9分设点，，则------------10分当且仅当时，有最小值为------------12分22.（1）由已知得，可得椭圆的标准方程为------------2分（2）法一：设则