2024年中考数学复习：一次函数的拓展应用 练习

一次函数的拓展应用考点培优练习

考点直击

1.函数的三种表示法

(1)解析式法(关系式法)

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫作解析式法(关系

式法).

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫作列表法.

(3)图象法

用图象表示函数关系的方法叫作图象法.

2.由函数关系式画其图象的一般步骤

(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.

3.正比例函数和一次函数

(1)正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，原0)的形式，则称y是x的一次函数.

特别地，当一次函数y=kx+b(k,b为常数,k/))中的b=0时，即y=kx(k为常数，W0),则称y是x的正比例函数.

(2)一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线.

(3)一次函数、正比例函数图象的主要特征：

一次函数丫=1«+”13为常数,导0)的图象是经过点(0,b)的直线;正比例函数y=kx(k为常数,原0)的图象是经过原点(0,0)的直

线.

(4)正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式丫=入化知)中的常数k.确定一个一次函数，需要确定一次函数定义

式产kx+b(k/))中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

(5)一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为kx+b=0(k,b为常数，左。0)的形式.而一次函数解析式形式正是丫=叁+坂忆b为常

数，kW0)..当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.

结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0(k,b为常数，ZW0)的形式.所以解一元一次方程可以转化为：当一

次函数值为。时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

篁^例题精讲

例1(大连中考)甲、乙两人沿同一条直路步行，如果两人分别从这条直路上的A,B两处同时出发，都以不变的速度相

向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走时间x(单位：min)的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离

举一反三1（吉林中考）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲一开始跑步前行，中途

改为步行，到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：m）与各自离开

出发地的时间x（单位：min）之间的函数图象如图所示.

（1）家与图书馆之间的路程为--m,小玲步行的速度为m/min；

（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求两人相遇的时间.

举一反三2（盐城中考）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速

步行且同时出发，乙先到达目的地两人之间的距离y（单位：m）与时间t（单位：min）之间的函数关系如图所示.

（1）根据图象信息，当七=加讥时，甲、乙两人相遇，甲的速度为___m/min;

（2）求出线段AB的函数解析式.

例2（陕西中考）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国.小明家

网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：

商品红枣小米

规格1kg/袋2kg/袋

成本/（元/袋）4038

售价/（元/袋）6054

根据上表提供的信息，解答下列问题:

（1）已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg,获得利润4.2万元，求这前五个月小明家

网店销售这种规格的红枣多少袋.

（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg,

其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg.假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（单位：kg）,销售这种规格的红枣

和小米获得的总利润为y（单位：元），求出y与x之间的函数解析式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和

小米至少获得总利润多少元.

举一反三3（云南中考）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富.经过调查研究，他们决定利用当地盛产的甲、

乙两种原料开发A,B两种商品.为科学决策，他们试生产A,B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293

千克、乙种原料314千克，生产1千克A商品、1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示：

商品所需甲种原料/千克所需乙种原料/千克生产成本/元

1千克A32120

1千克B2.53.5200

设生产A种商品x千克，生产A,B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题:

（1）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围;

（2）x取何值时,总成本y最小.

例3(宿迁中考)某种型号汽车油箱容量为40L,每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x(单位:

km),行驶过程中油箱内剩余油量为y(单位：L).

(1)求y与x之间的函数解析式；

(2)为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的.按此建议，求该辆汽车最多行

4

驶的路程.

举一反三4(南京中考)张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择.如果调整文具的

购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具.设购买X个甲种文具时，需购买y个乙种文具.

(1)①当减少购买1个甲种文具时，X=.

②求y与X之间的函数解析式.

(2)已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元.甲、乙两种文具各购买了多少个?

举一反三5(绵阳中考)有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6辆小货车一次可

以运货17吨.

(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？

(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完.其中每辆大货车一次运货花费

130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？

举一反三6(南京中考)小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中.设小明出

发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm,v与t之间的函数关系如图所示(图中的空心圈表示不包含这一点).

(1)小明出发第2min时离家的距离为___m;

(2)当2Vt<5时，求s与t之间的函数解析式；

(3)画出s与t之间的函数图象.

v/(m/min)

025I6r/min

过关检测

基础夯实

2.（柳州中考）已知A,B两地相距3km，小黄从A地到B地，平均速度为4km/h,若用x表示行走的时间（单位：h）,y表示余

下的路程（单位：km）,则y关于x的函数解析式是（）

A.y=4x（x>0）

B.y=4x—3（x>s）

4

C.y=3—4x（x>0）

D.y=3—4x（0<%<^）

“'4

3.（背泽中考）函数y=的自变量x的取值范围是（）

%—5

A.x#5B.x>2且x#5

C.x>2D.x>2且"5

4.（重庆中考）根据如图所示的程序计算函数y的值.若输入x的值是7,则输出y的值是-2；若输入x的值是--8,则输出

y的值是（）

A.5B.10C.19D.21

5.（陕西中考）如图是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（）

A.4℃B.8℃

C.12℃D.16℃

6.（内江中考）在函数y=——中，自变量X的取值范围是__.

2X4

7.（烟台中考）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为-3,则输出y的结果为__

8.（北京中考）已知y是x的函数，自变量x的取值范围为x>0,下表是y与x的几组对应值:

X123579

y1.983.952.631.581.130.88

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中每对对应值为坐标，描出相应的点，根据描出的点，画出该函数的图象.

（2）根据画出的函数图象，写出：

①x=4对应的函数值y约为

②写出该函数的一条性质：________________________L

A

6■

5■

3

2

-IO12345678910X

9.（咸宁中考）小慧根据学习函数的经验，对函数y=lx-II的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程，请补充完整:

（1）函数y=lx-ll的自变量x的取值范围是____;

(2)歹表，找出y与x的几组对应值.

X-i0123

yb1012

其中,b=____;

（3）在平面直角坐标系xOy中以上表中每对对应值为坐标，描出相应的点,并画出该函数的图象;

)7

（4）写出该函数的一条性质：，

-5

10.（西藏中考）一个蓄水池储水100m3,用每分钟能抽水0.5m3的水泵抽水，则蓄水池的余水量y（单位：n^）与抽水时间

t（单位：分）之间的函数解析式是.

11.（重庆中考）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别

以不同的速度匀速行驶.已知甲先出发，6min后乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（单位：km）与甲出发的时间

x（单位：min）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时,甲还需__n而才能到达终点B.

12.(张家界中考)阅读理解题.

在平面直角坐标系xOy中，点P(xo,y0)到直线4x+By+C=0(A2+B2*0)的距离公式为d=肛凿WQ例如，求点

“2+B2

P(l,3)到直线4x+3y—3=0的距离.

解:由直线4x+3y-3=0知A=4,B=3,C=-3.

所以P(l,3)到直线4x+3y-3=0的距离为d=g理工0=2.

V42+32

根据以上材料，解决下列问题：

(1)求点Pi(0,0)到直线3x—4y—5=0的距离；

(2)若点P2(l,0)到直线x+y+C=0的距离为V5,求实数C的值.

13.(台州中考)摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y(单位：m)与旋转时间x(单位：min)之间的关系如图2所

示.

(1)根据图2填表：

x/min036812

y/m

(2)变量y是x的函数吗？为什么？

(3)根据图中的信息，请写出摩天轮的直径

14.（防城港中考）已知x为实数.y,z与x的关系如下表所示:

y2

330x3+702x1x8

430x4+702x2x9

530x5+702x3x10

630x6+702x4x11

•(

根据上表中的数字变化规律，解答下列问题:

（1）当x为何值时,y=430;

⑵当x为何值时,y=z.

15.（盘锦中考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A,点B重合），点F在线

段DA的延长线上，且AF=AE,连接ED,将ED绕点E顺时针旋转90。得到EG,连接EF,FB,BG.设AE=x,四边形EFBG的面积为

y,下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是()

16.（兰州中考）如图1,在AABC中,人8=601^^=5011,四次6=60。,您D为人8的中点,线段AC上有一动点E,连接DE,

作DA关于直线DE的对称图形，得到DF,过点F作FG_LAB于点G.设A,E两点间的距离为xcm,F,G两点间的距离为y

cm.

小军根据学习函数的经验，对y随x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小军的探究过程，请补充完整.

（1）列表：如表的已知数据是根据A,E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值:

x/cm00.511.031.411.501.752.20

y/cm00.941.912.492.843.00

x/cm2.683.003.614.104.745.00

y/cm2.842.602.001.500.900.68

请你通过计算补全表格.

（2）描点、连线：在平面直角坐标系xOy中（如图2）,描出表中各组数值所对应的点（x,y）,并画出y关于x的图象.

（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的?____________________________

（4）解决问题:当AE+FG=2时,FG的长度大约是_cm（保留两位小数）.

17.某服装车间接到一批支援灾区的紧急生产任务，要求在一个月时间内生产尽可能多的套麴一件衣和一条裤为1套）.

已知第一小组甲、乙、丙、丁四个工人生产衣和裤的能力如下：

一天时间甲可做衣4件或裤4条，乙可做衣9件或裤7条，丙可做衣6件或裤8条，丁可做衣11件或裤8条.

问怎样安排生产可使一周（7天）内生产的服装套数最多（因原料和设备安排，每位工人必须全天做衣或全天做裤）?最多是

多少套?

【例题精讲】

I.1解析：从图1可见，甲的速度为P=及=60(m/min),从图2可以看出，当％=$时，二人相遇，即(60+V)x

2甲27工

6=120,解得乙的速度为U=80(m/min)「.•乙的速度快，从图2看出乙用了bmin走完全程,甲用了amin走完全程,

7乙

人="一"=].

60802

2.(1)1500袋(2)y=12x+16000(60<X<2000)23200元

解析：(1)设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋.由题意得(60—40)•m+皿3m.(54-38)=42000,解得

2

m=l500.(2)由题意得y=(60-40)%+2xmfl=iX-(54-38)=12x+16000,,?600<x<2000,当x=600时,y有最小值，最小值为

」2

23200元.

3.(1)y=-0.1x+40(2)300km

解析：(1)由题意可知y=40—AX10=-0.1X+40.(2);油箱内乘,余油量不低于油箱容量的y之40x1=10,即一

10044

0.1x+40>10Ax<300.

【举一反三】

1.(1)4000100(2)y=4000-300x(0<%<^1)(3)第8分钟

解析:(2)：小东从离家400。111处以300m/min的速度返回家，则xmin时,他离家的路程y=4000-300x,自变量x的取值范

围为04%4g.(3)由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，，4000-300*=20(k,解得乂=8.

3

2.(1)2440(2)y=40t(40<t<60)

解析：(2)..•甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发,t=24min时，甲、乙两人相遇，

，甲、乙两人的速度和为2400:24=100(m/min),，乙的速度为100—40=60(m/min).乙从图书馆回学校的时间为2400:60=40

(min),40x40=l600(m),.\A点的坐标为(40,1600).设线段AB的函数解析式为y=kt+b；A(40,1600),B(60,2400

严”?=1?。。，解得(k=40,：线段AB的函数解析式为y=40t(40<t<60).

l60/c+b=2400.(b=0.

3.(1)y=-80x+20000(24<x<86)

(2)86

解析:⑴由题意可得y=120x+200-(100-x)=-80x+20000.由『久+0二：V293,解得243树.(2)力=-

80x+20000,Ay随x的增大而减小,，当x=86时,y最小.

4.(1)①992②y=-2x+200(2)甲、乙两种文具各购买了60个和80个

5.(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨(2)8辆大车和2辆小车

解析：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得解得[X(2)设货

运公司拟安排大货车m辆，则安排小货车(10-m)辆,根据题意可得4m+1.5(l0-m)>33,解得mN7.2.又mg10,，7.2gm010,m可

取8,9,10.当m=8时，该货运公司需花费130x8+2x100=1240(%)；当m=9时，该货运公司需花费130x9+100=1270(元);当

m=10时，该货运公司需花费130x10=1300(元).，当该货运公司安排大货车8辆、小货车2辆时，花费最少.

6.(1)200(2)s=160t-120(3)如图.

解析:(2)当2<t<5Bf,s=100x2+

160(t-2)=160t—120.(3)s与t之间的

100t(0<t<2,

函数解析式为-160t-120(2<t<5,

80t+280(5<t<6.25),

V1280-80t(6.25<t<16)

【过关检测】

l.C解析：当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量.选项C不符合函数定义.

2.D解析：根据题意，全程需要的时间为3:4="九),二y=3-4%(04%工3).

44

3.D解析:由题意得x-2>0且x-5邦，解得x>2且"5.

4.C解析:当x=7时，可得321=-2,解得b=3.当x=-8时，可得y=(-2)x(-8)+3=19.

2

5.C解析：从图中可以看出，这一天中最高气温是8℃,最低气温是-4-C,这一天中最高气温与最低气温的差为12-C.

6.xR2解析:根据题意得2x-4f0,解得xR2;：.自变量x的取值范围是xR2.

7.18解析:把x=-3代入y=2x2,#y=2x9=18.

8.⑴如图：

(2)①2.0②该函数有最大值

9.(1)任意实数(2)2

(4)函数的最小值为0(答案不唯一)

解析：(l)：x无论为何值，函数均有意义,...x为任意实数.(2)1.当x=l时,y=l-l-ll=2,：.b=2.

10.y=100-0.5t(0<t<200)解析:依题意有y=100-0.5t,时间仑0,用水量不能超过原有水量,，。勺口。。,解得£200.，006200.故

所求函数解析式是y=100-0.5t(0<t<200).

11.78解析：由纵坐标看出甲先行驶了1km,由横坐标看出甲行驶1千米用了6111m,甲的速度是1+6=1(/£血/111也).由

6

纵坐标看出AB两地的距离是16km,设乙的速度是xkm/min,由题意得10x+16X工=16,解得x=气km/min),相遇后乙到

63

达A地还需(16xL)+&=2(min),相遇后甲到达B地还需(10X。)+工=80(min),当乙到达终点A时,甲还需80-2=78(min)才

6336

能到达终点B.

12.(l)d=l3xn4x0ql=1(2)72=imyn+a,|C+1|=2.C+1=±2..-.J=34=1.

j32+(42J2

13.(1)5705545(2)因为每给一个x的值有唯一的一个函数值与之对应，符合函数的定义，所以y是x的函数.

(3)...最高点为70米，最低点为5米，，摩天轮的直径为65米.

14.由题意可知y=30x+70,z=2(x-2)-(5+x).(1)当x=12Bt,y=30x12+70=430.(2)-,-y=z,BP30x+70=2(x-2)(5+x),解得x=-3或

x=15.

(AD=AB,

15.B解析:'・•四边形ABCD是边长为1的正方形,・・.NDAB=90o,AD二AB,在AADE和4ABF中，4D4E=4艮4居

(AE=AF.

AADE^AABFCSAS)..*.ZADE=ZABF,DE=BF,丁ZDEG=90°,

ZADE+ZAED=ZAED+ZBEG.AZBEG=ZADE,ANBEG=NABF,'EG〃BF,「DE=BF,DE=GE,