高考数学一轮复习题型与专项训练：椭圆（题型战法）

第八章平面解析几何

8.2.1椭圆（题型战法）

知识梳理

一椭圆

1.定义及标准方程

定义：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于|片瑞|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定

点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：（|尸耳+|尸勾=2a（2a>阳闾））

,X2V2X2V2

方程：（1）焦点在x轴上：F"+R=1（tz>b>0）（2）焦点在y轴上：¥*^=1（a>b>0）

aDDci

2.简单几何性质

项目焦点在X轴上焦点在y轴上

y

T

图形2^2)

目+M=1^£

标准方程+=1

隹占

八'、八、、6(c,0),乙(―c,0)f；(0,c),F2(0-c)

A(。,0),(―。,0)A（。,a）,4（0,-。）

顶点

0(0一)12(0,一。03,0）,鸟（—瓦0）

轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b

离心率e=£(O<e<l)e=£(0<e<l)

aa

Q2=人2+02a2=Z72+c2

a,b,c关系

2b22b2

通径

aa

题型战法

题型战法一椭圆的定义及辨析

典例1已知点4-4,0）,5（4,0）,动点尸满足|即+附|=10,动点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.圆C.直线D.线段

变式1-1.已知小巴是两个定点，且闺闾=2。（。是正常数），动点尸满足|所|+归闾=/+1,则

动点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.直线

22

变式12椭圆±+乙=1上点尸到上焦点的距离为4,则点尸到下焦点的距离为（）

1625

A.6B.3C.4D.2

变式1-3.点尸为椭圆4/+y2=16上一点，K，工为该椭圆的两个焦点，若I尸耳1=3,则|9|=（）

A.13B.1C.7D.5

22

变式1-4.已知片，外是椭圆C:]+]=l的两个焦点，点M在椭圆C上，|皿讣|M闾最大值为（）

A.2括B.6C.2D.4

题型战法二椭圆中的焦点三角形

典例2.已知椭圆C：[+[=1的左右焦点分别为B、F2,过左焦点作直线交椭圆C于A、B

ZJIO

两点，则三角形ABB的周长为（）

A.10B.15C.20D.25

22

变式2-1.已知椭圆L+匕=1的两个焦点为耳，F2,过B的直线交椭圆于加，N两点，若AF'MN

43

的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

22

变式2-2.已知斗F?分别为椭圆j+《=l的左，右焦点，A为上顶点，贝IA片区的面积为（）

169

A.6B.15C.6A/7D.3币

22

变式2-3.已知点片,歹2分别是椭圆2+（■=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，々尸耳=60，则XPF目的

面积等于（）

A.B.3A/3C.6A/3D.9A/3

22

变式24已知椭圆］+'=1左、右焦点分别为不小点加在椭圆上，若1%1=4,则/用隼=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

题型战法三椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值

22

典例3.已知产是椭圆。：,+三=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点。坐标为（U）,则

1尸。1+1班1的最大值为（）

A.3B.5C.V41D.13

22

变式3-1.已知尸是椭圆C：L+匕=1的左焦点，尸为椭圆C上任意一点，点。坐标为（4,4）,则

1615

IPQI+IPRI的最大值为（）

A.回B.13C.3D.5

22

变式32已知椭圆C?河=1的右焦点为尸'尸为椭圆C上一动点,定点42,4）,则如TS

的最小值为（）

A.1B.-1C.717D.-历

22

变式3-3.已知产是椭圆工+工=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3,

6428

4）,则|PM+|尸网的最大值是（）

A.10B.11C.13D.21

变式3-4.已知椭圆1=4（3,0）,3（-2,1）,点M是椭圆上的一动点，则|八例+悭用的最小值

为（）

A.6-72B.10-72C.11一夜D.12-也

题型战法四根据方程表示椭圆求参数的范围

22

典例4.若方程\+/二=1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则实数％的取值范围为（）

25-kk-9

A.（9,25）B.（f,9）（25,+8）C.（17,25）D.（25,+8）

变式4-1.若方程皿2+y2=l表示焦点在y轴上的椭圆，则实数机的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,+<»）C.（0,+动D.（0,1）1（1,^））

22

变式4-2.如果方程>+'=1表示焦点在x轴上的椭圆，则加的取值范围是（）

4-mm-3

777

A.3<m<—B.m>—C.—<m<4D.3<m<4

222

22

变式4-3.若j+l表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数根的取值范围是（）.

m+26-m

A.（-2,6）B.（2,6）

C.S，6）D.（-2,2）

22

变式4-4.若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数上的取值范围为（）

6-kk-2

A.2<k<6B.2<k<4C.4<k<6D.2<左<4或4V左v6

题型战法五椭圆的标准方程

典例5.中心在原点，焦点在坐标轴上,长轴和短轴之和为36,椭圆上的点到一个焦点的最短距

离为1,则椭圆的标准方程为（）

2222

A-―+方=1或赤+枭=1

C-IF+手之或手+1F=1

变式5-1.若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角

形,焦点到椭圆上点的最短距离为G，则这个椭圆的方程为（）

B.二+义=1或反+.=1

A.

129129912

”11

C.D-

912

变式5-2.已知椭圆的两个焦点为£（-6,0）,月（6,0）,时是椭圆上一点，若用片，"，|“耳卜|"闾=8,

则该椭圆的方程是（）

A.匚匚1R11

D.--------1-----=1C.--------1-------=--1D

722794-。自

22

变式5-3.以双曲线工-3=1的焦点为椭圆C的长轴顶点,且过点的椭圆。的方程为（）

916

A,反+匚1”11

B.

2516259

CW"Il

D.

169925

22

变式5-4.设耳耳分别为椭圆c：=+与=l（a>6>0）左、右焦点，点〃（-3,岳）在椭圆C上，且

cib

W牲l=J片用，则椭圆c的标准方程为（）

A.工+匚1R"1

£>.-----1-----=1

20152520

尤―-22

C1D.二+匕甘

36163620

题型战法六椭圆的轨迹方程

典例6.在平面直角坐标系中，已知定点A（0,-女）、8（0,0）,直线与直线网的斜率之积为-2,

则动点P的轨迹方程为()

22

A.-+x2=1B.+%2=1(%。0)C.—x2=1D.5+炉=i("0)

2

,2,2

变式6-1.〃是椭圆与+：=1上的动点过点夕作椭圆长轴的垂线,垂足为点M,则9的中点的轨迹方

程为（)

4/,2B.工+工1

A.——+匕=1C"TD

9595920-

变式6-2.已知圆。：/+丁=4,从圆上任意一点“向x轴作垂线段MN,N为垂足，则线段的

中点尸的轨迹方程为（）

2Y2y2

A.—+/=1B./+匕=icD.土+工=1

44-aa416

变式6-3.已知ABC的周长是20,且顶点B的坐标为（0，T）,C的坐标为（。，4）,则顶点A的轨迹

方程是（）

22

A.--一匕=1(%。0)B.-+=l(x0)

20363620

2222

C.—+^=1(x^0)D.--^=1(x^0)

20363620

2

变式6-4.已知圆A/：（x+2）+y2=36,定点N（2,0）,A是圆M上的一动点，线段AN的垂直平分

线交肱1于点尸，则尸点的轨迹c的方程是（)

/十丁一1

A.——+—=1B.

4395

C.片+片=1d

D.

3459

题型战法七椭圆的离心率

fv23

典例7.已知椭圆C:\+2=l（a>6>0）的左、右焦点分别为小尸2,P为椭圆C上一点，若

的周长为18,长半轴长为5,则椭圆C的离心率为（）.

A.-B.-C.1D.述

4535

22

变式7-1.已知点A,8分别是椭圆C:=+4=l（a>6>0）的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x

轴作垂线，垂足恰好为左焦点月，且则椭圆C的离心率为（）

A.-B.1C.正D.正

4224

变式7-2.已知£（-c,0）,工（c,0）是椭圆E的两个焦点，尸是E上的一点，若图.理=0,且％%=C?,

则E的离心率为（）

A./B.逅C.立D.好

5322

22

变式7-3.已知片，鸟是椭圆C*+a=l（a>6>。）的两个焦点，尸为C上一点，且以尸居=60,

1M=3|P局，则C的离心率为（）

A.正B.叵C.也D.f

2643

22

变式7-4.已知椭圆C:=+3=l（a>b>0）的左顶点为A,上顶点为8,直线V=%与直线A8的交点

为P,若一O3P的面积是,一OAB面积的2倍（。为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）

A.-B.1C.@D.逅

3333

题型战法八椭圆的离心率的取值范围

22

典例8.已知点A、8为椭圆E』+七=l(a>6>0)的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线阴，PB

ab

的斜率之积的范围为则椭圆E的离心率的取值范围是()

222

变式8-1.已知椭圆，+斗=l(a>b>0)的右焦点为尸9,0),上顶点为40,直线尤=幺上存在一

abc

点尸满足("+K4>AP=0,则椭圆的离心率取值范围为()

22

222

变式8-2.已知圆G：宏+方=l(a>b>0)与圆C2：x+y=b,若在椭圆G上存在点P,使得过点

P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是()

人唱B.H)C.例,［例

22

变式8-3.已知爪-。，0),鸟(G。)是椭圆C*+方=1(八8>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在一点

P使得P%PB=c2,则椭圆C的离心率《的取值范围是()

A.巴qB.性当A向一1当D.降11

(33_|［32)|_2J|_2

22

变式84已知椭圆会+方=l(a>b>0)的左右焦点分别为片(-。,0),F2(C,0),若椭圆上存在点尸，

使尸片=3P£,则该椭圆离心率的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,JC.［；/)D.(1,1)

第八章平面解析几何

8.2.1椭圆(题型战法)

知识梳理

一椭圆

1.定义及标准方程

定义：平面内与两定点耳心的距离的和等于常数(大于|片凡|)的点的轨迹叫做椭

圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距。符号表示：

(|P^|+|P^|=2fl(2a>|^|))

/V2x2y2

方程：(1)焦点在X轴上：—+=1(a>b>0)(2)焦点在y轴上：7+二=1

(a>b>0)

2.简单几何性质

项目焦点在X轴上焦点在y轴上

yy\

T

%

图形

好+>2T

标准方程靛+记-1用+/-1

焦点《(c,0),£(-c,0)6(0,c),工(0,—c)

A(。,0),A2(―。,0)

顶点

4(o"2(o「。B£b,0),B2(—b,0)

轴长长轴长2a短轴长2b长轴长2a短轴长2b

离心率e=-(0<e<l)e=-(Q<e<V)

aa

222222

Q,瓦C关系a=b+ca=b+c

2b22b2

通径aa

题型战法

题型战法一椭圆的定义及辨析

典例L已知点4-4,0),8(4,0),动点P满足|网+|即=10,动点尸的轨迹是()

A.椭圆B.圆C.直线D.线段

【答案】A

【分析】根据椭圆的定义即可得出答案.

【详解】解：因为照+|冏=10>|明，所以动点P的轨迹是以为焦点的椭圆.

故选：A.

变式1-1.已知小也是两个定点，且忸阊=2°（。是正常数），动点P满足

归国+归局=/+i,则动点尸的轨迹是（）

A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.直线

【答案】C

【分析】讨论1+1与2a的大小关系，结合椭圆定义可知.

【详解】解：因为/+L2。（当且仅当。=1时，等号成立），所以IPEI+IP&I..JEEI,

当"0且时，|尸£|+|尸乙|>|招工I,此时动点尸的轨迹是椭圆；

当。=1时，\PFl\+\PF2\=\FtF2\,此时动点尸的轨迹是线段耳鸟.

故选：C.

22

变式1-2.椭圆3+2=1上点尸到上焦点的距离为4,则点P到下焦点的距离为（）

1625

A.6B.3C.4D.2

【答案】A

【分析】根据椭圆方程求出。，再根据椭圆的定义计算可得；

22

【详解】解：椭圆3+2=1，所以。2=25,即。=5,设上焦点为小下焦点为尸。,

1625

则|房|+归阊=2"=10,因为阀|=4,所以|尸闾=6,即点尸到下焦点的距离为6；

故选：A

变式1-3.点P为椭圆4Y+>2=16上一点，忆乃为该椭圆的两个焦点，若怛娟=3,

则|「耳|=（）

A.13B.1C.7D.5

【答案】D

【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到怛制+「闾=2〃=8,从而求出答

案.

22

【详解】椭圆方程为：一+2=1，由椭圆定义可知：附|+|尸段=2a=8,

416

故陷1=5

故选：D

22

变式1-4.已知耳，B是椭圆C:'+q=l的两个焦点，点M在椭圆C上，|M制

最大值为（）

A.273B.6C.2D.4

【答案】D

【分析】根据椭圆的定义可得|町|+|M局=4,结合基本不等式即可求得|犯段的

最大值.

【详解】在椭圆C上

A|Aff；|+|Aff；|=2x2=4

•••根据基本不等式可得|“闻+附马=422邓丽西，即|町卜|昨设4,当且仅当

|峥|=眼闾=2时取等号.

故选：D.

题型战法二椭圆中的焦点三角形

典例2.已知椭圆C[+[=1的左右焦点分别为入、F2,过左焦点B,作直线交

2516

椭圆C于A、B两点,则三角形ABF2的周长为（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求解即可

【详解】由题意椭圆的长轴为2。=2后=10,由椭圆定义知

AFl+FXB=2a,AF2+BF2=2a

lABF2=AB+AF2+BF2=AF1+FXB+AF2+BF2=4〃=20

故选：c

22

变式2-1.已知椭圆上+上=1的两个焦点为月，F,过心的直线交椭圆于“，N两

432

点，若△£座的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.

22

【详解】由±+±=lna=2.

43

因为N是椭圆的上的点，工、尸2是椭圆的焦点，

所以+炳=2a,NF\+NF[=2a,

因止匕△々MN^]^^z^jMFl+MN+NFl=MFl+MF2+NF2+NFl=2a+2a=4a=8,

故选：D

22

变式2-2.已知耳B分别为椭圆3+5=1的左，右焦点，A为上顶点，则A片瓦的

169

面积为（）

A.6B.15C.6币D.3币

【答案】D

【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.

【详解】由椭圆方程!=1得4（0,3）,川-"0）山（r,01.出用=2"

:=；闺用•M|=g2万X3=3A/7.

故选：D.

22

变式2-3.已知点与工分别是椭圆.5=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，

"PF]=60，则"弛的面积等于（）

A.石B.373C.673D.9m

【答案】B

【解析】根据椭圆标准方程，可得”,6,c,结合定义及余弦定理可求得|明|忖闾值,

由N片尸工=60及三角形面积公式即可求解.

22

【详解】椭圆夫+《=1

259

则1=25,从=9,所以次=16,

则|尸局+|%|=2.=10,|%|=2°=8

由余弦定理可知cos4学=因;!

2附卜2

代入化简可得|尸群|尸司=12,

则%g=；|尸耳卜|尸玛-sin/GP&=；xl2x¥=3后，

故选：B.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，正弦定理与余弦定理

的简单应用，三角形面积公式的用法，属于基础题.

22

变式2-4.已知椭圆]+与=1左、右焦点分别为片,鸟，点“在椭圆上，若|町|=4,

贝1]/£“居=()

A.30。B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】根据椭圆方程求得⑶闾=2近，由椭圆的定义，得+闾=2a=6,求

得|班|=4,所以阊=2,在△尸陷入中，再由余弦定理列出方程，求得

cosZFlMF2=-；,即可求解.

22_________

【详解】解：由题意，椭圆方程三+4~=1,可得川=3,b=0,c=J，'=近,

所以焦点耳(-刀,0),6(万,0),

又由椭圆的定义，可得|竭|+|咋|=2。=6,因为I叫1=4,所以|沙卜2,

在△片M鸟中，由余弦定理可得怪用,=附用2—2|M娟闾cos/甲鸣，

所以(2A/7)2=42+22-2x4x2cosNRMF?,解得cos/RM6=-1,

又由NEMge(0,180),所以/月M6=120.

故选:C.

题型战法三椭圆上的点到焦点与定点距离的和、差最值

22

典例3.已知e是椭圆C：?+]=l的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点。坐标为

(1,1),则IPQI+IP臼的最大值为()

A.3B.5C.741D.13

【答案】B

【分析】由|尸汁+|尸尸|=|尸。|+2。-|「尸|＜依尸|+勿,结合图形即得.

22

【详解】因为椭圆C:J+J=1,

43

所以0=2,匕=6,°=1,F（-1,O）,

则椭圆的右焦点为〃（1，0）,

由椭圆的定义得：\PQ\+\PF\=\PQ\+2a-\PF'\<\QF'\+2a=5,

当点尸在点P'处，取等号，

所以|PQ|+|尸司的最大值为5,

故选：B.

22

变式3-1.已知F是椭圆C:J+[=l的左焦点，尸为椭圆C上任意一点，点。坐标

1615

为（4,4）,则IPQI+IPRI的最大值为（）

A.qB.13C.3D.5

【答案】B

【分析】利用椭圆的定义求解.

【详解】如图所示：

\PQ\+\PF|=|PQ|+2a-1PF'\<2a+\QF'\=8+^(4-l)4+42=13,

故选：B

22

变式3-2.已知椭圆C：L+工=1的右焦点为歹，尸为椭圆C上一动点，定点A(2,4),

43

则1PAlPF|的最小值为()

A.1B.-1C.V17D.-V17

【答案】A

【分析】设椭圆的左焦点为尸，得到I尸用=4-|PP［,得出|以|-|「用工「川+|依［-4,

结合图象，得到当且仅当尸，A,F三点共线时，1尸川+归b'I取得最小值，即可求解.

【详解】设椭圆的左焦点为尸，则I尸川+|尸尸|=4,可得|尸尸=4-四［,

所以|B4Hp用49I+归产'|-4,

如图所示，当且仅当P,A,尸三点共线(点尸在线段AF上)时，

此时1PAi+归产［取得最小值，

22___________

又由椭圆C:3+5=l,可得尸(TO)且42,4),所以.［="(2+1)2+16=5,所以

1PAi-IP尸I的最小值为1.

故选：A.

22

变式3-3.已知产是椭圆二+匕=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M

6428

的坐标是（3,4）,则|PM+|尸川的最大值是（）

A.10B.11C.13D.21

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.

【详解】解：如图，

22

由椭圆匕+匕=1,得/=64万=28,

6428

c—y]a2—b2—J64-28=6,

得以-6,0）,则椭圆右焦点为尸（6,0）,

则|1+2a-|P尸[=16+（1PMi-|PF'\）

<16+”|=16+^/（3-6）2+（4-0）2=16+5=21.

当尸与射线加尸与椭圆的交点％重合时取到等号，

・••|尸舷|+|尸尸|的最大值为21.

故选：D.

变式3-4.已知椭圆]+[=1,4（3,0）,3（-2,1）,点M是椭圆上的一动点，则+

的最小值为（）

A.6-忘B.10-72C.11-5/2D.12-夜

【答案】B

【分析】由题意知A为椭圆的右焦点，设左焦点为片，由椭圆的定义可得

H+|JWB|=10+|MB|-M，然后结合图形可得答案.

【详解】由题意知A为椭圆的右焦点，设左焦点为耳，由椭圆的定义知|河耳|+|他4|=10,

又耳仁忸耳I，

如图，设直线2月交椭圆于M，两点.当“为点跖时，司最小，最小值

为10-亚.

故选：B

【点睛】本题考查的是椭圆的定义的应用，属于常考题型.

题型战法四根据方程表示椭圆求参数的范围

22

典例4.若方程—=+上=1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，则实数上的取值

25-kk-9

范围为（）

A.（9,25）B.（F,9）U（25,+8）C.（17,25）D.（25,+8）

【答案】C

【分析】根据题意可得k-9＞25-左＞0,解之即可得解.

22

【详解】解：因为方程*7+'=1表示的曲线为焦点在y轴上的椭圆，

25-kk-9

所以左一9＞25-左＞0,解得17＜左＜25,

所以实数上的取值范围为（17,25）.

故选：C.

变式4-1.若方程尔,+■/=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（）

A.（0,1）B.（L+s）C.（0,+8）D.（0,l）L（l,+w）

【答案】B

【分析】化简方程为椭圆的标准方程，列出不等式。＜!＜1,即可求解.

m

尤2

【详解】将方程病+丁=1化为,

m

因为是焦点在y轴上的椭圆，可得解得

m

故选：B.

22

变式4-2.如果方程」+上=1表示焦点在无轴上的椭圆，则根的取值范围是()

4-mm-3

777

A.3<m<—B.m>—C.—<m<4D.3<m<4

222

【答案】A

【分析】根据方程表示焦点在无轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可

丫2v2

【详解】由题意可知：方程>+-=1表示焦点在X轴上的椭圆

4-mm-3

4-m>0

则有：，m-3>0

m-3<4-m

7

解得：3<m<-

故选：A

变式4-3.若二+—=1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数机的取值范围是().

m+2o-m

A.(-2,6)B.(2,6)

C.(-℃,6)D.(-2,2)

【答案】D

【分析】以椭圆标准方程的性质去判断即可解决.

m+2>0

【详解】由题只需<6-机>。,解得-2<机<2,

m+2<6-m

故选：D

22

变式44若方程\+4=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数上的取值范围为

6-kk-2

()

A.2<k<6B.2<Z<4C.4<k<6D.2〈左<4或4<后〈6

【答案】B

【分析】根据题意，由6-%>上-2>0求解.

22

【详解】若方程+4=1表示焦点在尤轴上的椭圆，

6-kk-2

则6—左>左一2>。

解得：2<k<4,

故选：B.

题型战法五椭圆的标准方程

典例5.中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴和短轴之和为36,椭圆上的点到一个

焦点的最短距离为1,则椭圆的标准方程为（）

A二+£=1或二+二=1口炉y21-r%2y21

B'%+彳=1或赤+宗=i

■262102262

小炉y2,2

C正+亨=1或1+正=1百十运=1或透+F

【答案】C

【分析】根据题意，列关于仇。的方程组求解，然后写出焦点分别在轴上的标

准方程.

【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,23,2c,

2a+2b=36〃=13

由题意，，a-c=\,得,b=5,

b2+c2=a2c=12

・椭圆焦点在x轴或y轴上，

2222

二椭圆的标准方程为表+点=1或1r+*=1.

故选：C

变式5-1.若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组

成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为6,则这个椭圆的方程为（）

A/VB.工+其=1或兰+q=1

A.—+—=1

129129912

C尤—T

91239

【答案】B

【分析】首先根据已知条件得到。：6：c=2:括:1,a-c=g,即可得至h=2有"=3,

cS再分类讨论即可得到答案.

【详解】因为短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，

所以Q:b:c=2:百:1,设a=2k,b=,c=k,k>Q,

因为焦点到椭圆上点的最短距离为〃-c=百，

所以2左一左=百，即k=〃=2^/5,b=3,c—\/3.

当焦点在X轴时，椭圆的方程为弋+1=1,

129

当焦点在y轴时，椭圆的方程为《+W=i.

912

故选：B

变式5-2.已知椭圆的两个焦点为4（-行,0）,工（行,0）,M是椭圆上一点，若叫，讶，

\MF\-\MF^,则该椭圆的方程是（）

r2V2r2V2r2V2尤22

A.'+匕=1B.—+^=1C.上+匕=1D.上+匕=1

72279449

【答案】C

【分析】首先设|岬|=帆，|峥卜〃，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求m+〃，

即可求得。,6的值.

【详解】设|苗居|=根，\MF^n,因为蛇口A/乙，|肛卜|加局=8,|百司=2君，所以

m2+n2-20,mn=8,所以(m+ri)2=m2+n2+=36,所以"7+,=2°=6,所以〃=3.因

__________22

为cS所以入七=2,所以椭圆的方程是小

故选：C

229

变式5-3.以双曲线土-3=1的焦点为椭圆C的长轴顶点，且过点的椭圆

916

C的方程为（）

【答案】B

【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为

22

下方=1,（a>“0）,代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程.

22

【详解】解：双曲线--3=1的焦点为（一5，°），（5,0），

916

22

设椭圆标准方程为'+方=l,（a>b>0）,则。=5,

「5近丫

99

又椭圆过点，解得〃=3,

22

所以椭圆的标准方程为工+匕=1.

259

故选：B.

22

变式54设居,尸?分别为椭圆C:2+a=l（a>b>0）左、右焦点，点炳在椭圆

C上，且阿玛=：闺囿，则椭圆C的标准方程为（）

【答案】D

【分析】把〃点坐标代入四个选项，可排除三个错误选项，第四个选项可检验满足

题中其他条件.

【详解】把M-3,岳）代入各选项中方程，

2+”wl,—+—^1,2+竺/1,ABC均排除，

201525203616

-T+TT=1>D满足，c=-\/36—20=4,7*^（—4,0）,

3620

|M底=4一3+4）2+（而。=4=；|耳目,满足此条件.

故选：D.

题型战法六椭圆的轨迹方程

典例6.在平面直角坐标系中，已知定点A（0,-