2023年初中数学函数知识点总结

初中函数知识点总结

知识点一、平面直角坐标系

1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就构成了平面直角坐标系。

其中，水平时数轴叫做X轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，

取向上为正方向；两轴的交点0(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐

标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，

分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念

点的坐标用(a,b)表达，其次序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，

横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当〃时，(a,b)和

(b,a)是两个不一样点的坐标。

知识点二、不一样位置的点的坐标的特性

1、各象限内点的坐标的特性

点P(x,y)在第一象限Ox>0,y>0

点P(x,y)在第二象限Ox<0,y>0

点P(x,y)在第三象限Ox<0,y<0

点P(x,y)在第四象限Ox>0,y<0

2、坐标轴上时点的特性

点P(x,y)在x轴上Oy=0,x为任意实数

点P(x,y)在y轴上ox=0,y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上。x,y同步为零，即点P坐标为(0,0)

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相似。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相似。5、有关x轴、y轴或远点对称时点的坐标

的特性

点P与点P'有关x轴对称O横坐标相等，纵坐标互为相反数

点P与点P'有关y轴对称O纵坐标相等，横坐标互为相反数

点P与点P'有关原点对称。横、纵坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于N

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于N

(3)点P(x,y)到原点时距离等于

知识点三、函数及其有关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不一样数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量X与y,假如对于x的每一种值，y均有唯一

确定日勺值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表达函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数故意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表达法及其优缺陷

(1)解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一种具有这两个变量及数字运算符号的等式表

达，这种表达法叫做解析法。

(2)列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一种表来表达函数关系，这种表达法叫

做列表法。

(3)图像法

用图像表达函数关系的措施叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般环节

(1)列表：列表给出自变量与函数的某些对应值

(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出对应的I点

(3)连线：按照自变量由小到大的次序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

知识点四、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，假如y=(k,b是常数，kwO),那么y叫做x的一次函数。

尤其地，当一次函数y=kx+b中的Ib为0时，y=kx（k为常数，kwO）。这时,

y叫做x时正比例函数。

2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数图像的重要特性:

一次函数y=kx+b的图像是通过点（0,b）的I直线；正比例函数y=左》的I图像是通

过原点（0,0）日勺直线。

k的b的

函数图像图像特性

符号符号

T

一图像通过一、二、三象限，

b>0

y随x的）增大而增大。

k>0

图像通过一、三、四象限，

b<0

二一y随x时增大而增大。

k<0图像通过一、二、四象限，

b>0

y随x%I增大而减小

一般地，正比例函数y=-有下列性质:

(1)当k〉0时，图像通过第一、三象限，y随x的增大而增大，图像从左之右上升;

(2)当k〈0时，图像通过第二、四象限，y随x的增大而减小，图像从左之右下降。

5、一次函数的I性质

一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：

(1)当k>0时，y随xB^I增大而增大

(2)当k〈0时，y随x的增大而减小

(3)当b〉0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上

(4)当b〈0时，直线与y轴交点在y轴负半轴上

6、正比例函数和一次函数解析式确实定

确定一种正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=(kWO)中时常数k。确

定一种一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b(kwo)中的常数k和bo解此类

问题的一般措施是待定系数法

知识点五、反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数丁=人（k是常数，kwO）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可

X

以写成丁=依1或xy=k的形式。自变量x的取值范围是xwo的一切实数，函数的取值范

围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或

第二、四象限，它们有关原点对称。由于反比例函数中自变量XW0,函数y/0,因此，

它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限靠近坐标轴，但永远达不到

坐标轴。

3、反比例函数的性质

反比k

例函y=—（左。0）

数X

k的符

k>0k<0

号

k

y,k

0

图像------------------------------►r

①x0tl取值范围是xWO,①x的取值范围是xWO,

y的取值范围是yWO；y的取值范围是yW0；

②当k>0时，函数图像的两个分支分②当k<0时，函数图像的两个分支分别

别在第二、四象限。在每个象限内，y

性质在第一、三象限。在每个象限内，y随X的增大而增大。

随XaI增大而减小。

4、反比例函数解析式确实定

k

确定解析式的措施仍是待定系数法。由于在反比例函数y=＞中，只有一种待定系

x

数，因此只需要一对对应值或图像上的一种点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析

式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义

k

若过反比例函数y=—（女。0）图像上任一点P作X轴、y轴的垂线PM,PN,则所得时

x

矩形PMONaI面积S=PM,PN=H•W=|xy|o,/y=xy=k,S=\k\

xo

知识点六、二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，假如丁=④^+匕%+4凡人人是常数，。，0）,尤其注意a不为零，那么y

叫做x的二次函数。

y=ax2+/?%+°（。,仇。是常数，aw0）叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条有关x=-土b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

抛物线的重要特性（也叫抛物线的三要素）：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法

五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线

画出对称轴

（2）求抛物线y=ax?+6x+c与坐标轴日勺交点:

当抛物线与X轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找

到点C时对称点Do将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延伸，就得到

二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一种交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点Do

由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像，可再描出

一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点七、二次函数的基本形式

1.二次函数基本形式：>=依2的性质：

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

x>0时，y随工的增大而增大；x<0时，y

〃>0向上(0,0)y轴

随x时增大而减小；x=0时，y有最小值0.

x>0时，y随xffU增大而减小；x<0时，y

Q<0向下(0,0)y轴

随x日勺增大而增大；x=0时，y有最大值0.

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.>=62+<?的性质:

二次函数了=依2+。的图像可由丁=办2的图像上下平移得到（平移规律：上加下减）。

a日勺符号开口方向顶点坐标对称轴性质

尤>0时，y随x的l增大而增大；无<0时，y

a>0向上（0,C）y轴

随x时增大而减小；x=0时，y有最小值c.

尤>0时，y随尤的增大而减小；》<0时，y

a<Q向下(0,c)y轴

随工的增大而增大；x=0时，y有最大值c.

3.y=°(尤-/7)~取|性质:

二次函数y=a（x-〃y的图像可由y=ad的图像左右平移得到（平移规律：左加右

减）。

。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

尤〉/z时，y随X的增大而增大；尤</?时，

a>0向上(/?,0)X二hy随x的增大而减小；x=/z时，y有最小

值。.

x>/z时，y随工的增大而减小；x</z时，

a<0向下（力，0）X二hy随x的增大而增大；x=/z时，y有最大

值0.

4.y=a(x-/?y+%的।性质:

。日勺符号开口方向顶点坐标对称轴性质

尤>//时，y随xa1增大而增大；尤</z时，

4>0向上（九，k）X二hy随x的增大而减小；x=/z时，y有最小

值人.

x>/z时，y随x取］增大而减小；x</z时，

a<0向下(h,k)X二hy随x日勺增大而增大；x=〃时，y有最大

值上.

知识点八、二次函数解析式的表达措施

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，。片0）；

2.顶点式：y=a（x-/?）2+k（a,h,左为常数，。片0）；

3.两点式：y=。（尤-占）（尤-%）（。x0,%，马是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以

写成两点式，只有抛物线与无轴有交点，即62—4“CN0时，抛物线的解析式才可以

用两点式表达.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

知识点九、二次函数解析式确实定

根据已知条件确定二次函数解析式，一般运用待定系数法.用待定系数法求二次函数

的解析式必须根据题目的特点，选择合适的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几

种状况：

1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;

2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3.已知抛物线与无轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

4.已知抛物线上纵坐标相似的两点，常选用顶点式.

知识点十、二次函数的最值

假如自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处获得最大值（或最小值），即

b

假如自变量的取值范围是玉九2,那么，首先要看-2与否在自变量取值范围

2a

b4CLC—

项＜九《九2内，若在此范围内，则当x二———时，y最值二一--；若不在此范围内，

2a4a

则需要考虑函数在王〈九《々范围内的增减性，假如在此范围内，y随x的I增大而增大，

则当犬=九2时，y最大=〃君+力%2+。，当%=再时，y最小=ax；+。；假如在此范

围内，y随x的增大而减小，则当％=王时，y最大=ax；+力玉+c,当％=%时，

y最小=ax；+bx2+ca

知识点十一、二次函数的性质

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；

bb

(2)对称轴是x二----，(2)对称轴是x二----，

2a2a

h一b2b一/

顶点坐标是(-二，)；顶点坐标是(-二，)；

2a4a2a4a

bb

(3)在对称轴的左侧，即当x<----时，(3)在对称轴的左侧，即当x〈----时，y随

2a2a

性质y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，X改1增大而增大；在对称轴的1右侧，

bb

即当x>----时，y随x的1增大而增大，即当x>——时，y随X时增大而

2a2a

简记左减右增；减小，简记左增右减；

bb

(4)抛物线有最低点，当*=——时，y有最小(4)抛物线有最高点，当x二-二时，

2a2a

①4ac-b~

值''最小值—4ay有取大值，y最大值一4a

2、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点状况)：

一元二次方程ax?+6x+c=0是二次函数〉=办2+bx+c当函数值y=0时的I特殊状况.

图象与x轴的交点个数:

①当△=/??一4ac>0时，图象与x轴交于两点4(占，0),2(尤2，。)(占力龙2)，其中的I

%是一元二次方程ax2+bx+c=0(a^Q)的I两根.这两点间的距离

推导过程：若抛物线y=a/+"+c与1轴两交点为人(%0)B(X2,0),由于

X1>0是方程+Z?%+C=0的两个根，故

bc

%]+%2=----，再.X?——

aa

21+%2)2_4/2=

AB=\XI-X2\=，(再一々)='(尤九

②当△=()时，图象与X轴只有一种交点；

③当A<0时，图象与X轴没有交点.

r当a>0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，均有y>0；

2,当°<0时，图象落在x轴时下方，无论x为任何实数，均有><().

记忆规律：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的A=b2-4ac,在二次函数中表达图像与x轴与否有交点。

当A〉0时，图像与x轴有两个交点；当A=0时，图像与x轴有一种交点；

当A〈0时，图像与x轴没有交点。

知识点十二中考二次函数压轴题常考公式(必记必会，理解记忆)

1、两点间距离公式(当碰到没有思绪的题时，可用此措施拓展思绪，以寻求解题措施)

▲

y

如图：点A坐标为(xi,yi)点B坐标为y2).

则AB间时距离，即线段AB的长度为J+E-HP----------；一-----

C

B

2、二次函数图象的平移

①将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-/7『+左，确定其顶点坐标小，左)；

②保持抛物线>=依2的形状不变，将其顶点平移到(/?,%)处，详细平移措施如下:

y=a(x-h)2产〃(%-人)2+左

向上6>0)【或下(4<0)】平移阂个单位

③平移规律在原有函数的基础上“〃值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.概括

成八个字”左加右减，上加下减”.函数平移图像大体位置规律（中考试题中，只占3

分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大协助，可以大大节省做题的时间）

7+为一%

3、直线斜率：k=tana=^----

x2一苞

4、设两条直线分别为，4：y=kix+bil2：y=k2x+b2若。//2?，则有

4〃，2O左1=左2且么H2。若/]_LI?=*k1-k2=-1

知识点十三、二次函数的图象与各项系数之间的关系

抛物线产汗+法+,中，2人，的作用

（1）。决定开口方向及开口大小，这与y=a/中时完全同样.

。〉0时，抛物线开口向上；。〈0时，抛物线开口向下；。的绝对值越大，开口越小

（2）匕和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=a/+6x+c时对称轴是直线

1}6

%=----，故：①/?=0时，对称轴为y轴；②一〉0（即。、Z?同号）时，对称

laa

b

轴在y轴左侧；③