第五章 一元一次方程 单元测试2024-2025学年北师大版数学 七年级上册

第1页（共1页）第五章《一元一次方程》一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各式中，是一元一次方程的是（）A．x﹣y＝2 B．x2﹣2x＝0 C．＝5 D．﹣5＝02．（3分）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（）A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y3．（3分）将方程去分母后，结果正确的是（）A．3（x+1）+1＝2x B．3（x+3）+1＝2x C．3（x+1）+6＝2x D．3（x+3）+6＝2x4．（3分）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（3分）商店将某种商品按照30%的利润进行定价，然后打九折卖出，共获利340元，这件商品的成本是（）元．A．1000 B．1660 C．2000 D．23406．（3分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，设应该安排x天生产甲种零件，可列方程（）A．540x＝120（10﹣x） B．540x＝3×120（10﹣x） C． D．3×540（10﹣x）＝120x8．（3分）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（）A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝19．（3分）对于实数a，b，定义关于“※”的一种运算：a※b＝2a﹣3b，例如2※1＝2×2﹣3×1＝1，若（a※2b）﹣3a＝4，且（a﹣1）※（b+1）＝2，则a，b的值分别为（）A．﹣2，1 B．2，﹣1 C．﹣1，2 D．1，﹣210．（3分）已知关于x的一元一次方程的解为整数，且关于y的多项式ay6﹣3y2﹣8y6为六次多项式，则所有满足条件的整数a的和为（）A．9 B．16 C．24 D．48二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．（4分）已知方程xm﹣2+m＝0是关于x的一元一次方程，则m＝．12．（4分）已知方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程的解，则的值为．13．（4分）规定：用{m}表示大于m的最小整数，例如：{2.6}＝3，{8}＝9，{﹣4.9}＝﹣4；用[m]表示不大于m的最大整数，例如：，[﹣4]＝﹣4，[﹣1.5]＝﹣2．如果整数x满足关系式：2[x]﹣5{x﹣2}＝29，则x＝．14．（4分）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、9、15，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，运动时间为秒时，P、Q两点到点B的距离相等．15．（4分）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是．三．解答题（共5小题，满分50分）16．（12分）解下列方程：（1）﹣2x+3＝4x﹣9；（2）（x+1）﹣2（x﹣1）＝1﹣3x；（3）；（4）．17．（8分）已知关于x的方程与方程3+4x＝2（6﹣x）的解互为相反数，求m的值．18．（8分）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高cm，放入一个大球水面上升cm．（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球多少个．19．（10分）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表；甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利＝售价﹣进价）．若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为x件，请完成下面的表格并作答：单件售价（元）进货量（件）交易额甲①x②乙40③④（2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？20．（12分）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣10，﹣2，x，B是AC的中点，机器人M（看成点）从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人M到达点B时，机器人N（看成点）同时从点C出发，以1.5个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人M的运动时间为t秒．（1）AB的长为个单位长度，x的值为；（2）当MA+MB＝10时，求点M表示的数；（3）当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；（4）当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．

第五章《一元一次方程》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各式中，是一元一次方程的是（）A．x﹣y＝2 B．x2﹣2x＝0 C．＝5 D．﹣5＝0【考点】一元一次方程的定义．【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、是二元一次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C、是一元一次方程，故本选项符合题意；D、是分式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程，叫一元一次方程．2．（3分）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（）A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则 D．若，则2x＝3y【考点】等式的性质．【分析】根据等式的性质一一判断即可．【解答】解：A、若x＝y，则x+c＝y+c，原变形错误，故此选项不符合题意；B、原变形正确，故此选项符合题意；C、当c＝0时，原变形错误，故此选项不符合题意；D、应该是：若＝，则3x＝2y，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．3．（3分）将方程去分母后，结果正确的是（）A．3（x+1）+1＝2x B．3（x+3）+1＝2x C．3（x+1）+6＝2x D．3（x+3）+6＝2x【考点】解一元一次方程．【分析】根据等式的性质2方程两边都乘6即可．【解答】解：，去分母，得3（x+1）+6＝2x，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：方程两边乘6时不要漏乘．4．（3分）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】方程的解．【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可．【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得2×（9﹣3）﹣■＝9+1，解得■＝2；故选：C．【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．5．（3分）商店将某种商品按照30%的利润进行定价，然后打九折卖出，共获利340元，这件商品的成本是（）元．A．1000 B．1660 C．2000 D．2340【考点】一元一次方程的应用．【分析】设这件商品的成本是x元，利用利润＝售价﹣成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这件商品的成本是x元，根据题意得：0.9×（1+30%）x﹣x＝340，解得：x＝2000，∴这件商品的成本是2000元．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6．（3分）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（）A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．【解答】解：设物价是x钱，根据题意可得，＝，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．7．（3分）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，设应该安排x天生产甲种零件，可列方程（）A．540x＝120（10﹣x） B．540x＝3×120（10﹣x） C． D．3×540（10﹣x）＝120x【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设应该安排x天生产甲种零件，则安排（10﹣x）天生产乙种零件，根据每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，列出一元一次方程即可．【解答】解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排（10﹣x）天生产乙种零件，根据题意得：540x＝3×120（10﹣x），故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．8．（3分）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（）A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量＝总的工作量，根据此列方程即可．【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的，乙每天完成全部工作的．根据等量关系列方程得：＝1，故选：A．【点评】列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．9．（3分）对于实数a，b，定义关于“※”的一种运算：a※b＝2a﹣3b，例如2※1＝2×2﹣3×1＝1，若（a※2b）﹣3a＝4，且（a﹣1）※（b+1）＝2，则a，b的值分别为（）A．﹣2，1 B．2，﹣1 C．﹣1，2 D．1，﹣2【考点】解一元一次方程．【分析】根据新定义建立关于a，b的方程组，然后用加减消元法求解即可．【解答】解：根据题意，得整理，得，①×2﹣②得15b＝﹣15，∴b＝﹣1，将b＝﹣1代入②得，2a+3＝7，∴a＝2．故选：B．【点评】本题考查了新定义，解二元一次方程组，根据新定义建立关于a，b的方程组是解答本题的关键．10．（3分）已知关于x的一元一次方程的解为整数，且关于y的多项式ay6﹣3y2﹣8y6为六次多项式，则所有满足条件的整数a的和为（）A．9 B．16 C．24 D．48【考点】一元一次方程的解；整式的加减．【分析】先根据解一元一次方程的一般步骤解关于x的一元一次方程，利用此方程解为整数，列出关于a的方程，求出a，然后根据关于y的多项式ay6﹣3y2﹣8y6为六次多项式，对a的值进行取舍，最后求出所有满足条件的整数a的和即可．【解答】解：，方程两边同时乘2得：6x+2＝ax+4，6x﹣ax＝4﹣2，（6﹣a）x＝2，，∵关于x的一元一次方程的解为整数，∴6﹣a＝±1或±2，解得：a＝5或7或4或8，ay6﹣3y2﹣8y6为＝（a﹣8）y6﹣3y2∵关于y的多项式ay6﹣3y2﹣8y6为六次多项式，∴a﹣8≠0，即a≠8，∴a＝5或7或4∴所有满足条件的整数a的和为：5+4+7＝16，故选：B．【点评】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．（4分）已知方程xm﹣2+m＝0是关于x的一元一次方程，则m＝3．【考点】一元一次方程的定义．【分析】由方程xm﹣2+m＝0是关于x的一元一次方程，可得m﹣2＝1，计算求解即可．【解答】解：∵方程xm﹣2+m＝0是关于x的一元一次方程，∴m﹣2＝1，解得m＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．12．（4分）已知方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程的解，则的值为19．【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程；代数式求值．【分析】求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程计算即可求出a的值，再把a的值代入所求代数式计算即可．【解答】解：2（x﹣6）＝﹣16，2x﹣12＝﹣16，2x＝12﹣16，2x＝﹣4，x＝﹣2，∵方程2（x﹣6）＝﹣16的解同时也是方程的解，∴，解得：a＝﹣4，∴．故答案为：19．【点评】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及代数式求值，根据两方程同解，求出a的值是解题的关键．13．（4分）规定：用{m}表示大于m的最小整数，例如：{2.6}＝3，{8}＝9，{﹣4.9}＝﹣4；用[m]表示不大于m的最大整数，例如：，[﹣4]＝﹣4，[﹣1.5]＝﹣2．如果整数x满足关系式：2[x]﹣5{x﹣2}＝29，则x＝﹣8．【考点】解一元一次方程；有理数大小比较．【分析】根据{8}＝9，[3.5]＝3得出，利用x为整数，得出[x]＝x，{x﹣2}＝x﹣1，进而得出x的值即可．【解答】解：∵x为整数，[m]表示不大于m的最大整数，{m}表示大于m的最小整数，∴[x]＝x，{x﹣2}＝x﹣1，∵2[x]﹣5{x﹣2}＝29，∴2x﹣5（x﹣1）＝29，解得：x＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，根据已知得出，[x]＝x，{x﹣2}＝x﹣1是解题关键．14．（4分）已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、9、15，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，运动时间为9或15秒时，P、Q两点到点B的距离相等．【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】分三种情况讨论：①当0≤t＜6时，此时点P在点B左侧，点Q在点B右侧；②当时，此时点P和点Q均在点B左侧；③当时，此时点P在点B右侧，点Q在点B左侧，分别列方程求解，取符合条件的值即可．【解答】解：设运动时间为t秒，则点P表示的数为﹣12+2t，点Q表示的数为15﹣t，①当0≤t＜6时，此时点P在点B左侧，点Q在点B右侧，由题意得：9﹣（﹣12+2t）＝（15﹣t）﹣9，解得：t＝15，不符合题意；②当时，此时点P和点Q均在点B左侧，由题意得：9﹣（﹣12﹣2t）＝9﹣（15﹣t），解得：t＝9；③当时，此时点P在点B右侧，点Q在点B左侧，由题意得：﹣12+2t﹣9＝9﹣（15﹣t），解得：t＝15，综上可知，运动时间为9或15秒时，P、Q两点到点B的距离相等，故答案为：9或15．【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，数轴，利用分类讨论的思想解决问题是关键．15．（4分）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是2009．【考点】一元一次方程的应用．【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解．【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m，（10m+4.6）×10+1978﹣x＝915∴100m+46+1978﹣x＝915，∴x＝1109+100m，∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，∴m＝9，∴x＝2009．故答案为：2009．【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键．三．解答题（共5小题，满分50分）16．（12分）解下列方程：（1）﹣2x+3＝4x﹣9；（2）（x+1）﹣2（x﹣1）＝1﹣3x；（3）；（4）．【考点】解一元一次方程．【分析】（1）移项合并同类项，把x系数化为1即可求出解；（2）去括号，移项合并同类项，把x系数化为1即可求出解；（3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解；（4）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1即可求出解．【解答】解：（1）移项，得﹣2x﹣4x＝﹣9﹣3，合并同类项，得﹣6x＝﹣12，系数化为1，得x＝2；（2）去括号，得x+1﹣2x+2＝1﹣3x，移项合并同类项，得2x＝﹣2，系数化为1，得x＝﹣1；（3）去分母，得2x﹣90+3x＝60，移项合并同类项，得5x＝150，系数化为1，得x＝30；（4）原方程可化为，去分母，得36x﹣21x＝5x﹣7，移项合并，得10x＝﹣7，系数化为1，得x＝﹣0.7．【点评】此题考查了解一元一次方程，步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．17．（8分）已知关于x的方程与方程3+4x＝2（6﹣x）的解互为相反数，求m的值．【考点】一元一次方程的解．【分析】首先解得第二个方程的解，然后根据相反数的定义将x＝﹣代入第一个方程来求m的值即可．【解答】解：3+4x＝2（6﹣x），3+4x＝12﹣2x，4x+2x＝12﹣3，6x＝9，解得：，∴x＝﹣是方程的解，代入得：＝﹣﹣，∴﹣3+2m＝﹣9﹣3m，解得：m＝﹣．【点评】本题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．18．（8分）《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面上升5cm．（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52厘米，应放入大球多少个．【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）根据题意列式即可；（2）根据题意设放入大球x个，则放入小球（10﹣x）个，列一元一次方程即可．【解答】解：（1）解：根据题意得：（32﹣26）÷3＝2（cm），（32﹣26）÷2＝3（cm），放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面上升3cm．故答案为：2，3；（2）设放入大球x个，则放入小球（10﹣x）个，根据题意得，2（10﹣x）+3x＝52﹣26，解得：x＝6，答：应放入大球6个．【点评】本题考查一元一次方程实际应用，关键是根据题意找到等量关系式．19．（10分）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表；甲乙进价（元/件）2030售价（元/件）2540（1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注：每件商品获利＝售价﹣进价）．若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为x件，请完成下面的表格并作答：单件售价（元）进货量（件）交易额甲①25x②25x乙40③x﹣100④40（x﹣100）（2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？【考点】一元一次方程的应用．【分析】（1）表格根据已知条件填写即可；根据甲的进货量为x件，∴乙的进货量为（x﹣100）件，再根据交易额等于单件售价×进货量，列出方程求解即可；（2）先算出乙商品的新售价和每件新获利，再求出购进乙商品数量即可．【解答】解：（1）由题可知，表格中①甲的单件售价为25元，乙的单件售价为40元；②甲的交易额为25x元；③乙商品的件数比甲商品件数的少100件，甲的进货量为x件，∴乙的进货量为（x﹣100）件；④乙的交易额为40（x﹣100）元；故答案为：25；25x；（x﹣100）；40（x﹣100）；该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，∴25x+40（x﹣100）＝19000，解得：x＝600，∴乙的进货量为（x﹣100）件＝×600﹣100＝100件，∴（25﹣20）×600+（40﹣30）×100＝4000（元），答：该直播间本次获利4000元．（2）乙商品的新售价为（40+10）×0.9＝45（元），∴乙商品每件新获利为45﹣30＝15（元），∴需购进乙商品为＝600（元），答：若要获得9000元的利润，需购进乙商品600件．【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并找出等量关系，列出方程并正确求解．20．（12分）如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣10，﹣2，x，B是AC的中点，机器人M（看成点）从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人M到达点B时，机器人N（看成点）同时从点C出发，以1.5个单位长度/秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人M的运动时间为t秒．（1）AB的长为8个单位长度，x的值为6；（2）当MA+MB＝10时，求点M表示的数；（3）当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；（4）当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．【考点】一元一次方程的应用；数轴．【分析】（1）依据题意，AB＝﹣2﹣（﹣10）＝8；又由中点的定