第二章 实数 单元测试2024-2025学年北师大版数学 八年级上册

第1页（共1页）第二章《实数》一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）实数，0.10101，，，，π中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．33．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤24．（3分）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（）A．2.7 B． C． D．5．（3分）若则ab的立方根为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．86．（3分）下列说法中，正确的个数是（）①带根号的数一定是无理数；②任何有理数都能和数轴上的一点对应；③平方根和立方根都等于本身的数有0和1；④的平方根为±8；⑤若an＝bn（n为正整数），则a＝b；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（3分）已知，，则m2+2mn+n2的值为（）A． B．12 C．10 D．68．（3分）若算式k•（）的值是有理数，则k的值可以是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn、9n2、25m2、15mn（m＞0，n＞0），则大正方形的边长为（）15mn9n225m215mnA．5m+9n B．5m﹣3n C．25m+9n D．5m+3n10．（3分）对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（）①；②若，，则{x}×y＝﹣1；③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7；④[x+y]≤[x]+[y]．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．（4分）计算：＝＝＝12．（4分）比较大小：24．13．（4分）已知，则代数式x2+2x﹣5的值是．14．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．15．（4分）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）．（1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为；（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有个．三．解答题（共6小题，满分50分）16．（8分）计算（1）﹣6+；（2）（+2）（2﹣）+（﹣）217．（6分）已知：x的两个平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3．（1）求a、b的值；（2）求a+b﹣1的立方根．18．（6分）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．19．（9分）计算：（1）计算：；（2）求下列各式中的x．①（x+4）3＝﹣64；②（x﹣1）2﹣9＝0．20．（9分）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝；（2）计算：+++⋯+＝；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．21．（12分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．（1）填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．

第二章《实数》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）实数，0.10101，，，，π中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】无理数；算术平方根；立方根．【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．【解答】解：是分数，0.10101是有限小数，＝3，＝3是整数，它们不是无理数；，π是无限不循环小数，它们是无理数，共2个；故选：B．【点评】本题考查无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．3【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质与化简、二次根式的加减运算法则分别计算判断即可．【解答】解：A、，故此选项不符合题意；B、3与不能合并，故此选项不符合题意；C、，故此选项不符合题意；D、，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得x﹣2≥0，解得x≥2，即x的取值范围是x≥2．故选：B．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．4．（3分）如图，若数轴上点P表示的数为无理数，则该无理数可能是（）A．2.7 B． C． D．【考点】实数与数轴；无理数．【分析】根据点P表示的数为无理数，即可排除选项A，再根据、和的估计值，即可判断出点P的无理数的可能表示数．【解答】解：∵2.3是有理数，≈1.414，≈1.732，≈2.236，由图可知，点P表示的数为无理数，且2＜P＜3，∴点P表示的无理数可能是，故选：D．【点评】本题考查的是数轴与无理数，掌握、和的估计值是解题的关键．5．（3分）若则ab的立方根为（）A．4 B．2 C．﹣2 D．8【考点】立方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】根据绝对值及二次根式的非负性得出a﹣2＝0及b+4＝0，求出a，b的值，再根据立方根的定义即可解决问题．【解答】解：因为，且|a﹣2|≥0，，所以a﹣2＝0，b+4＝0，解得a＝2，b＝﹣4，所以ab＝﹣8，则ab的立方根为﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查了立方根、非负数的性质：绝对值及非负数的性质：算式平方根，熟知绝对值、二次根式的非负性及立方根的定义是解题的关键．6．（3分）下列说法中，正确的个数是（）①带根号的数一定是无理数；②任何有理数都能和数轴上的一点对应；③平方根和立方根都等于本身的数有0和1；④的平方根为±8；⑤若an＝bn（n为正整数），则a＝b；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】实数；实数与数轴．【分析】根据有理数、实数、无理数和平方根的概念逐项判断即可．【解答】解：①带根号的数不一定是无理数，如，故原说法错误；②任何有理数都能和数轴上的一一点对应，说法正确；③平方根和立方根都等于本身的数有0，故原说法错误；④的平方根为，故原说法错误；⑤若an＝bn（n为正整数），当n为偶数时，则a＝b或a＝﹣b，故原说法错误；故正确的个数为1，故选：A．【点评】本题考查实数、无理数、平方根、立方根等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．7．（3分）已知，，则m2+2mn+n2的值为（）A． B．12 C．10 D．6【考点】二次根式的化简求值．【分析】据（m+n）2＝m2+2mn+n2，代入计算即可．【解答】解：∵，，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（2）2＝12．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式（m+n）2＝m2+2mn+n2是解题的关键．8．（3分）若算式k•（）的值是有理数，则k的值可以是（）A． B． C． D．【考点】实数的运算．【分析】运用实数的运算法则和有理数的定义进行逐一计算、辨别．【解答】解：∵（﹣2）（﹣2）＝5﹣2，（+2）（﹣2）＝﹣1，（﹣1）（﹣2）＝5﹣3，（+1）（﹣2）＝1﹣，∴选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意，故选：B．【点评】此题考查了实数的运算和有理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用以上知识．9．（3分）如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn、9n2、25m2、15mn（m＞0，n＞0），则大正方形的边长为（）15mn9n225m215mnA．5m+9n B．5m﹣3n C．25m+9n D．5m+3n【考点】算术平方根．【分析】根据题意求出大正方形的面积，据此可求出大正方形的边长．【解答】解：因为大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn、9n2、25m2、15mn，所以大正方形的面积为：15mn+9n2+25m2+15mn＝（5m+3n）2．又因为m＞0，n＞0，所以大正方形的边长为：5m+3n．故选：D．【点评】本题主要考查了算术平方根，能根据题意表示出正方形的面积及熟知算术平方根的定义是解题的关键．10．（3分）对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（）①；②若，，则{x}×y＝﹣1；③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7；④[x+y]≤[x]+[y]．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】估算无理数的大小．【分析】①先估计在哪两个整数之间，即可作出判断；②先求出x的小数部分，再计算即可作出判断；③先判断出x，y的范围，再判断x+y的整数部分，即可作出判断；④通过举反例，即可作出判断．【解答】解：①∵3＜＜4，∴，故①正确；②∵2＜＜3，∴{x}＝﹣2∵，∴则{x}×y＝（﹣2）（2+）＝5﹣4＝1≠﹣1；故②不正确；③∵[x]＝4，[y]＝2，∴4≤x＜5，2≤y＜3，∴6≤x+y＜8，∴[x+y]所有可能的值为6和7；故③正确；④若x＝4.6，y＝5.7，那么[x+y]＝[4.6+4.7]＝9，[x]+[y]＝[4.6]+[4.7]＝4+4＝8．[x+y]＞[x]+[y]，故④不正确．综上，正确的是：①③．故选：B．【点评】本题考查新定义运算，估算无理数的大小，理解题意，正确估计无理数的大小是解题的关键．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）11．（4分）计算：＝﹣5＝6＝【考点】分母有理化；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【分析】运用二次根式的性质进行求解即可．【解答】解：；；，故答案为：﹣5，6，．【点评】本题主要考查二次根式的性质和分母有理化，分母有理化是指把分母中的根号化去．12．（4分）比较大小：2＜4．【考点】实数大小比较．【分析】首先把括号外的数移到括号内，再比较被开方数的大小可得答案．【解答】解：2＝，4＝，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数的比较大小，根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．13．（4分）已知，则代数式x2+2x﹣5的值是﹣3．【考点】二次根式的化简求值．【分析】利用完全平方公式得到x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，然后代入计算，即可得到答案．【解答】解：∵，∴x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6＝（+1﹣1）2﹣6＝3﹣6＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的法则．14．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝4．【考点】同类二次根式；最简二次根式．【分析】根据同类二次根式的定义列出方程组解答即可．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得．a+b＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．15．（4分）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）．（1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为点A；（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个．【考点】实数大小比较；实数与数轴．【分析】（1）若c＝10，a＝4，b＝7，求出没m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A；（2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点M随它变化，因此AM、BM、CM也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个．【解答】解：（1）m＝0.2（4+7+10）＝4.2．AM＝4.2﹣4＝0.2，BM＝7﹣4.2＝2.8，CM＝10﹣4.2＝5.8，所以A，B，C中与M距离最小的点为A．故答案为：点A．（2）m＝0.2（4+7+c）＝2.2+0.2c．①当c＝1时，m＝2.4．AM＝1.6BM＝4.6，CM＝1.4，此时CM最小．②当c＝2时，m＝2.6．AM＝1.4BM＝4.4，CM＝0.6，此时CM最小．③当c＝3时，m＝2.8．AM＝1.2BM＝4.2，CM＝0.2此时CM最小；所以符合条件的点C有3个．故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．三．解答题（共6小题，满分50分）16．（8分）计算（1）﹣6+；（2）（+2）（2﹣）+（﹣）2【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2+4＝4；（2）原式＝4﹣3+3﹣2+2＝6﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．17．（6分）已知：x的两个平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3．（1）求a、b的值；（2）求a+b﹣1的立方根．【考点】立方根；平方根；算术平方根．【分析】（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得a，b的值；（2）将a，b的值代入a+b﹣1中计算后利用立方根的定义即可求得答案．【解答】解：（1）解：∵x的平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3，∴a+3+2a﹣15＝0，2b﹣1＝9，解得：a＝4，b＝5；（2）∵a＝4，b＝5，∴a+b﹣1＝4+5﹣1＝8，∴a+b﹣1的立方根是2．【点评】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．18．（6分）已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．【考点】分母有理化．【分析】（1）将x、y的值代入x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2计算可得；（2）将x、y的值代入x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），计算可得．【解答】解：（1）当x＝+3，y＝﹣3时，x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝[（+3）﹣（﹣3）]2＝62＝36；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝[（+3）+（﹣3）][（+3）﹣（﹣3）]＝2×6＝12【点评】本题主要考查代数式的求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．19．（9分）计算：（1）计算：；（2）求下列各式中的x．①（x+4）3＝﹣64；②（x﹣1）2﹣9＝0．【考点】实数的运算；平方根；立方根．【分析】（1）根据平方根和立方根进行化简后计算即可；（2）①利用立方根计算可得；②先移项，再根据平方根的定义计算可得．【解答】解：（1）原式＝＝0；（2）①（x+4）3＝﹣64，∴x+4＝﹣4，解得x＝﹣8；②（x﹣1）2﹣9＝0，∴（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3，即x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，解得x＝4或x＝﹣2．【点评】本题主要考查实数的运算，熟练掌握立方根和平方根性质是根据．20．（9分）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2﹣，a﹣2＝﹣．∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．∴a2﹣4a＝﹣1．∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小名的分析过程，解决如下问题：（1）计算：＝﹣1；（2）计算：+++⋯+＝9；（3）若a＝，求3a2﹣12a﹣1的值．【考点】二次根式的化简求值；平方差公式；分母有理化．【分析】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；（3）先分母有理化求出a＝+2，再求出a﹣2＝，两边平方后求出a2﹣4a＝1，再求出代数式的值即可．【解答】解：（1）＝＝﹣1．故答案为：；（2）原式＝++++＝﹣1+﹣+﹣++﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案为：9；（3）∵，∴．∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．∴a2﹣4a＝1．∴3a2﹣12a﹣1＝3（a2﹣4a）﹣1＝3×1﹣1＝2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．21．（12分）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．（1）填空：点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是﹣15．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上