2025年高考数学一轮复习：等式与不等式的性质 专项训练（原卷版）

2.1-等式与不等式的性质-专项训练（原卷版）

基础巩固练

1.设P=2a2—4a+3,Q=（a—1）［CL—3）,aGR,则有（）.

A.P>QB.P>QC.P<QD.P<Q

2.若a,b,c为实数，且O0,则下列不等关系一定成立的是（）.

11

A.ac>beB.-<-C.a+c<b+cD.b—a>c

ab

3.若久,y满足一：<%<）/<%则为一y的取值范围是（）.

A.（一叔）B.（一时C.（-J0）D.（一衿

4.如果a<0,-1<b<0,那么下列不等式一定成立的是（）.

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

5.若实数a,匕满足a6<a5b,则下列不等式一定成立的是（）.

A.a<bB.a3<b3C.ea-b>1D.In-<0

b

6.若数列｛a。｝为等差数列，数列｛0｝为等比数列，则下列不等式一定成立的是

（）.

A.+b4<b2+b3B.b4-<b3-b2C.a±a4>

a2a3D.<1遂4<a2a3

7.已知a<5,则（）.

A.a2<b2B.e~a<e~b

C.ln（|a|+1）<ln（\b\+1）D.a\a\<b\b\

8.若a<0<0,则下列结论正确的是（）.

A.a2<p2B.§+£>2C.0<（J，D.sina<sin?

综合提升练

9.（多选题）若工〉;>0,则下列四个不等式成立的是（）.

ab

A.a3<b3B,y[ab<

2

C.Vb—y[a<y/b—aD.a3+b3>2ab2

10.（多选题）已知a,b分别是方程2*+%=0,3久+%=0的实数根，则下列

不等式成立的是（）.

A.-1<b<a<0B.-1<a<b<0C.b-3a<a-3bD.a-2b<b-2a

11.己知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c-0,则^的取值范围是.

a

12.设二次函数/(%)=zn/-2%+eR),若函数/(%)的值域为［0,+8),

22

且/(1)W2,则给+品的取值范围为.

应用情境练

13.若％,yER,设M=--2%y+3y2-%+y,则M的最小值为.

14.己知某投资机构从事一项投资，第一次投入本金矶a>0)元，得到的利润是

/匕>0)元，收益率为2假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投

a

资%(%>0)元，得到的利润也每次都增加了％元，若要使得该项投资的总收益率

是增加的，则a〉b.(选填“〉”“2""<”或“<”)

创新拓展练

15.(2024・九省适应性测试)以maxM表示数集”中最大的数设0<a<6<c<l,已知

b>2a或。+后1,则max{0-a,c也1-c}的最小值为.

16.设二次函数/(%)=a/+2匕％+c(c>b>a),其图象过点(1,0),且与直线

y--a有交点.

(1)求证：0£2<1.

a

(2)若直线y=-a与函数y=|/(无)|的图象从左到右依次交于4B,C,。四点，

且线段2B,BC,CD能构成钝角三角形，求2的取值范围.

a

2.1-等式与不等式的性质-专项训练(解析版)

基础巩固练

1.设P=2a2—4a+3,Q=(a—1)［CL—3),aGR,则有(A).

A.P>QB.P>QC.P<QD.P<Q

［解析了.，P—Q=2a2—4a+3—(a—l)(a—3)—a?N0,

・・・P>Q.故选A.

2.若a,b,c为实数，且C>0,则下列不等关系一定成立的是(C).

11

A.ac>beB.-a<-bC.a+c<b+cD.b—a>c

［解析］对于A,由不等式的基本性质知，若c>0,a<b,则acVbe,故A错误；

对于B,由不等式的基本性质知，若a=—2,b=-1,则工〉工，故B错误;

ab

对于C,由不等式的基本性质知，a<bna+c〈b+c,故C正确；

对于D,b-a>0,c>0,无法比较，故D错误.故选C.

3.若久,y满足一；<为<y<%则%—)7的取值范围是(A).

A.(一即)B.(一^)C.(-=0)D.(一衿

［解析］由％<y,可得％-y<0,

由一三<y<:可得一E<—y<-,

4^44/4

因为一2<%〈二所以一三V式一y<三

442,2

可得一］<x-y<0,即第一y的取值范围是(一会0).故选A.

4.如果a<0,-1<b<0,那么下列不等式一定成立的是(D).

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

［解析］由选项可知，仅需要比较。,出?,就2三个数的大小，

显然ab>0,ab2<0,所以ab最大，

由一l<b<0,可得0<炉<1,

所以。按—a=a(b2—1)>0,即ab?>a,

故ab>ab2>a.故选D.

5.若实数a,b满足小〈小心则下列不等式一定成立的是(D).

33ab

A.a<bB.a<bC.e~>1D.In-b<0

ss5

［解析］因为a，<ab,所以d—ab=a(a—b)<0,

显然aW0,所以—b)<0,

所以尸c或解得0<a<b或b<avo.

Ia-b<0ia-b>0,

若0<a<b,则a<b,a3<b3,ea~b<e°=1,In-<Zn1=0；

b

若b<a<0,则a>b,a3>b3,ea~b>e°=1,In-<In1=0.故选D.

6.若数列为等差数列，数列｛星｝为等比数列，则下列不等式一定成立的是

(D).

A.+b4<b2+b3B.b4-br<b3-b2C.a±a4>

a2a3D.a%<a2a3

［解析］若b=(一力，则瓦=1力2=-|,Z?3=/4=一,

n\Z/Z4o

可得瓦+b=->b+b=故A错误；

48423

n

若bn=2,则瓦=2,b2—4,­=8,Z?4=16,可得/-bx-14>b3-b2-4,

故B错误；

若a葭-7i?则a1-1,。2-2,&3-3,。4—4,可彳于a1a4-4<a2a3-6,故C错

、口

沃；

不妨设｛“九｝的首项为“1，公差为d,则“I%=%.(%+3d)=宙+3ald,

a2G3=(ai+d)(Gi+2d)=+2d2+3ald,所以a2a3—％.。4=2d2>0,故

D正确.故选D.

7.已知a<b,贝U(D).

A.a2<b2B.e~a<e~b

C.ln(|a|+1)<ln(\b\+1)D.a\a\<b\b\

［解析］对于A,若a=-16=0,则标>炉，故A错误.

对于B,因为a<b,所以—a>—b,又丫=a为增函数，所以e-a>ef,故

B错误.

对于C,若a=-1,二=0,则ln(|a|+1)=In2>济(网+1)=In1=0,故C

错误.

对于D,若a<b<0,则a|a|=—〃2乃网=—b?,函数y=—/在(一泡0)上

单调递增,所以Q|Q|=-a2<-b2=b\b\；若0<a<b,a\a\=a2,b\b\=b2,

函数y=/在©+8)上单调递增，所以a|a|=a2<b2=b\b\；

若a<0<6,则a|a|=-a2<0<b2=b\b\,故D正确.故选D.

8.若a<S<0,则下列结论正确的是(B).

A.a2<p2B.§+£>2C.G)<0D.sina<sin0

［解析ra<p<0,/.-a>—£>0,・,.a2>俨,故A错误；

a<?<0,.•.1>0,2〉0,叁+?〉21^1=2,故B正确；

pa0cB7aB

V0<j<l,a<jg,g)a>，故C错误；

令a=—TT,?=—5，此时sina=0,sinp——1,则sina>sinp，故D错误.故

选B.

综合提升练

9.（多选题）若工>：>0,则下列四个不等式成立的是（ABC）.

ab

A.a3<b3B.Vab<

2

C.Vb-Va<7b—aD.a3+b3>2ab2

［解析］•・•工>工>0,0<a<b,/.a3<b3>VS瓦故A,B正确;

ab92

2____2__

b>a>0,Vb—y［a>0,(Vb—Va)—(Vb—a)—2a—24ab—

2y/a（yfa—VF）<0,Vb—y［a<7b—a,故C正确；

当a=2力=3时，a?+〃一2山）2=—1<0,故D不正确.故选ABC.

10.（多选题）已知a,b分别是方程2*+%=0,3久+%=0的实数根，则下列

不等式成立的是（BD）.

A.-1<b<a<0B.-1<a<b<0C.b-3a<a-3bD.a-2b<b-2a

［解析］作出函数y-2x,y-3x,y-一%在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,

由图可知一1<a<匕<0,

所以2a<2b,3a<3b,0<-b<-a,

所以一匕-2a<(-a)-2%—b-3a<(-a)-3b,

所以a•2b<b-2a,b-3a>a-3b.

故选BD.

11.已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c-0,则2的取值范围是(一2.-3.

a7:

［解析］因为a>b>c9且。+b+c=0,

所以a>0,c<0,b=-ci—c,所以一CL—cVa,即2a>—c,即一a>—2,又一CL—

c>c,所以一a>2c,即£<—5所以£的取值范围是(一2,—］).

2

12.设二次函数/(%)=mx-2%+n(jnfnER),若函数/(%)的值域为［0,+8),

22

且/(1)工2,则言+品的取值范围为昵L

［解析］依题意得，二次函数/(%)图象的对称轴为直线％=5,

•・•/(')的值域为［0,+oo),

・•・m>0且f(2)=0,即TH•f—)——+n=0,/.n=—,即？7m=1,n>0,

\m/\m/mm

由/(I)<2,即m—2+n<2,得TH+n<4.

m2+"2_m2(m2+l)+n2(n2+l)

n2+lm2+l(m2+l)(n2+l)

m4+n4+m2+n2

m2n2+m2+n2+l

(m2+n2>)2-2m2n2+m2+n2

m2+n2+2

(m2+n2)2+(m2+n2)-2

m2+n2+2

_(m2+n2+2)(m2+n2-l)

m2+n2+2

=m2+n2—1,

且根2+九2-i22血八一1=1(当且仅当m=几=1时，等号成立)，

m2+n2—1=(m+n)2—3<42—3=13,

4^+4—e[L13].

n2+lm2+lLJ

应用情境练

13.若％,yER,设M=--2%y+3y2-尤+y,则M的最小值为二

[解析]因为M=/—2xy+y2—x+y+2y2

=(%—y)2-(%-y)+2y2

当且仅当％=5y=0时，等号成立,

所以M的最小值为一士

4

14.已知某投资机构从事一项投资，第一次投入本金a(a>0)元，得到的利润是

匕伯>0)元，收益率为必假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投

a

资%(%>0)元，得到的利润也每次都增加了％元，若要使得该项投资的总收益率

是增加的，则a>5.(选填“〉”“2""<”或"V”)

[解析]由题意得，设追加了n(neN*)次投资，则律次投资后收益率为鬻，

若该项投资的总收益率是增加的，则竺三>竺”半对任意nGN*成立，

a+nxa+{n-l)x

即4_半芈=_m-0>0对任意nGN*成立，

a+nxa+{n-l)x(a+nx)[a+(n-l)x]

•・•x>0,a+nx>0,a+(n—l)x>0,・・.a—b>0,即a>b.

创新拓展练

15.(2024・九省适应性测试)以max般表示数集”中最大的数设0<a<0<c<l,已知

b>2a或。+后1,则！112*{6-〃,。61-。}的最小值为_3.

［解析］令0-。=m,。6=凡1・。二2,其中m,n,p>0,

贝啜U"p,

(a=1-m-n-p.

若尼2。,则。=1-〃-〃之2(1-祇-〃-〃),故2m+〃+pNl,

令^=max{b-a,c-b,1-c}=max{m.n.p］,

(2k>2m,

因止匕,>n,故4心2加+〃+/?21,贝！J

U>p,

当且仅当m=n=p时，等号成立.

若〃+店1,则1-n-p+1-m-n-p<1,BPm+2n+2/7>l,

令^=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},

k>m,

2k>2几,得5心帆+2〃+2pNl,则

(2k>2p,

当且仅当m=n=p时，等号成立.

综上可知,max{b-a,c-O,l-c}的最小值为点

16.设二次函数/(%)=a/+2b%+c(c>b>a),其图象过点(1,0),且与直线

y=-a有交点.

(1)求证：0W2VL

a

(2)若直线y=—a与函数y=|/(%)|的图象从左到右依次交于4B,C,。四点，

且线段ZB,BC,CD能构成钝角三角形，求2的取值范围.

a

［解析］(1)依题意得,a+2b+c=0,c>b>a,

所以a<0,c>Q,c=-a—2b,

所以一CL—2b>b>a,

所以一工v,v1.

3a

又因为函数y=/(%)的图象与直线y=—。有交点，

所以方程a%2+2bx+c=—a,即a/+2bx+c+a=0有实根，

即4=4b2—4a(c+a)=4b2+Sab>0,

所以4+8,—09解得‘<-2或2>0.

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