江苏省南通市2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省南通市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若复数z=a+（/-l）i是纯虚数，则实数。的值为（）

A.0B.1C.-1D.±1

2.下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（）

A.平均数B.中位数c.众数D.方差

3.已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为（）

A.兀B.百兀C.InD.272兀

4.已知向量”(-2,4),S=(l,x),若£〃兀则⑻=（）

A.—B.V5C.2出D.46

2

5.一个水果盘子里有2个苹果和3个桃子，从盘中任选2个，则选中的水果品种相同的概

豕3)

A121

C--

,-5D.2

W\2

兀,

4--a---

6.^rAc3-3

.7

7117

;--C--

99D.9

7.某数学兴趣小组测量学校旗杆的高度，在旗杆底部。的正东方向/处，测得旗杆顶端P

的仰角为60°,在/的南偏西30。方向上的8处，测得P的仰角为45。（。，A,8在同一水

平面内），A,2两点间的距离为20m,则旗杆的高度OP约为（行64，V3«1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

0ciTiAqin「

8.在锐角三角形N5C中，任9=tan8+tanC,则半的取值范围为（）

cosCcosA

D.(2,+oo)

二、多选题

试卷第1页，共4页

9.记V/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c.下列命题为真命题的是（）

A.若sin?/+sin?8=si/C,贝UV4BC为直角三角形

B.若asin/=6sin8,则VN8C为等腰三角形

C.^acosA=bcosB,贝UV4BC为等腰三角形

10.已知a,b,c为三条直线，a,。，/为三个平面.下列命题为真命题的是（）

A.若a_Lc,bVc,则。〃6B.若aPa,au。=b,则4〃方

C.若a_La,au£,则a_L/?D.若a_L/,/3工y,ac/3=a,贝!|a_L/

11.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2）,2个白色

球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件/="两个球颜色不同”，

8="两个球标号的和为奇数"，C="两个球标号都不小于2”，则（）

A.4与8互斥B.A与C相互独立

C.P{AB）+P（AC）=P（A）D.P（4BC）=P（A）P⑻P©

三、填空题

12.样本数据7,8,10,11,12,13,15,17的第40百分位数为.

13.已知向量■满足忖=2,向量£在■上的投影向量为;则£/=.

14.以棱长为2的正方体的六个面为底面，分别向外作形状相同的正四棱锥，得到一个多面

体，已知正四棱锥的侧面与底面所成的角为3.该多面体的体积为,其面数

为.

四、解答题

15.记VN8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2=b2+^2ac.

⑴求2;

（2）若c=2y/2a，求tanC.

16.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/3CD是菱形，尸/，平面/2C。，瓦尸分别是棱

8C,/尸的中点.

试卷第2页，共4页

p

/分……、-----加

(1)证明：PC1BD；

(2)证明：EP〃平面PCD.

17.某班学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布表如下:

分组[7,7.5)[7.5,8)[8,8.5)[8.5,9]

频数4X20y

频率ab0.40.12

(1)计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);

⑵用比例分配的分层随机抽样方法，从该班日睡眠时间在［7,7.5)和［8.5,9］的学生中抽取5

人.再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中至少有1人的日睡眠时间在［7,7.5)的概

率.

18.已知V48c的面积为9,点。在5c边上，CD=2DB.

4

⑴若cos®C=《，AD=DC,

①证明：sinZ.ABD=2sinNBAD；

②求/C;

⑵若AB=BC,求/。的最小值.

19.如图，等腰梯形N5CD为圆台。。1的轴截面，E,尸分别为上下底面圆周上的点，且3,

⑴证明：BFHDE.

试卷第3页，共4页

(2)已知ND=2,BC=4,四棱锥C-BED9的体积为3.

①求三棱锥B-ADE的体积；

②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BA。的正弦值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据纯虚数的概念列方程求解.

【详解】根据题意，复数z=a+(/-l)i是纯虚数，

所以。=0且/-IHO,解得a=0.

故选：A

2.D

【分析】利用数字特征的含义求解即可.

【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，

方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度.

故选：D.

3.B

【分析】根据公式S侧=互包可解.

【详解】根据题意圆锥的母线长/=VFT12=VL代入5侧=互力即可求得S侧=nxlx

V2=V2TT.

故选：B.

4.B

【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长.

【详解】因为所以\应，BP(-2,4)=A(1,%)=>(-2,4)=(>1,x2)

2=4{4=—2_/

所以尸一2,所以6=(1，一为

所以日|=Jf+(_2)2=6,

故选：B.

5.C

【分析】运用古典概型可解.

【详解】根据题意，设2个苹果分别记为：1和2,3个桃子编号为A,B,C,

从盘中任选两个，可得0,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C)

共10种情况.

答案第1页，共12页

选中的水果品种相同的选法有:（L2）,（A,B）,（A,C）,（B,C）,有4种.

所以选中的水果品种相同概率为：24=（2.

故选：C.

6.B

【分析】利用换元法，令x=；-a,y^2a-y,找到N与x的关系，然后利用诱导公式和

36

倍角公式进行求值即可.

7T

【详解】令x

7T7T

令y=2a——,贝!])=--2x

62

所以sin[2a—=sin)=sin]]—2x)=cos2x=2cos2x-l=2xfyj-1

故选：B.

7.C

【分析】利用仰角、方位角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解.

【详解】

hhh

如图，设。尸=〃米，贝!1。/=1工7=方米，OB=-玄="米.

tan60V3tan45

在△0/5中，由题意可得，2048=60°,

f^=Y+202-A2

由余弦定理可得cosNO/8=——^―-----------=cos60°=—>

24x202

V3

解得〃米.

故选：C.

答案第2页，共12页

8.A

TTQin

【分析】利用切化弦的思想以及两角和的公式，等价变形已知条件，求得8=：,然后平

3cosA

消元，得至产j,再一次化简为只有一个三角符号，再求出角/的范围，即可求解.

cosA

0winA

【详解】因为半g=tanB+tanC,所以

cosC

2sin/_sinB+sinC_sinBcosCyosBsinC_sin（B+C）sinA

cosCcos5cosCcos5cosCcoscosCcos5cosC

]7T

所以COS8=5,又三角形N2C为锐角三角形，所以8=三，

所以sinCsin（/+8）Sin^+f｝小必+?^”】.

-------=——---------=——---------=---------------------=—tan出——

cosAcosAcosAcosA22

八,兀

0<A<—0<A<-

2兀,兀

又因为三角形为锐角三角形，所以＜2n=>—<A<—

2K,7i62

0<C<-0N<-A<—

12[32

所以tan4£

、3，+C°

所以----=-tan^+—e—,+°o,

cosA2213）

故选：A.

9.ABD

【分析】利用正弦定理逐项进行边角互化即可判断.

Jr

【详解】对于A,若sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理得/+/=c?,所以C=万，所以V/5C

为直角三角形，故A正确；

对于B,若asin/=bsinB,由正弦定理得/=〃，所以°=人所以V/2C为等腰三角形，

故B正确；

对于C,若acos/=6cosB,由正弦定理得$出/（：05/=51118（：058,BP—sin2^^—sin25,

22

TT

所以24=23或2/+28=兀，即/=5或N+8=—,贝iJVN3C是等腰或直角三角形，故C错

2

误；

r_i_十一#sin/cos3cosC上十升sin/cos5cosC

对于D,若----=^—=-----,由正弦定理得一二=—^=—所以

abcsinAsin8smC

答案第3页，共12页

jrjr

cos5=sin5,cosC=sinC,即B=-,C=-,所以VNBC为等腰直角三角形，故D正确；

44

故选：ABD.

10.BCD

【分析】根据题意，由空间中直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可

得到结果.

【详解】对于A选项，令aue,bua,若c_La,则一定有。_Lc,6_Lc,而在同:一平面

的a,b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；

对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；

对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；

对于D项，设an1―/?（1/=/,过平面7内一点4分别作机，AC11,如图所

不，

因为a_Ly,aCl/=»/,4Buy,AB1m,所以

又因为aua,所以4B_La,同理：ACla,

又因为^8c/C=Z,AB>NCu/,

所以a_L7,故D项正确.

故选：BCD.

11.BC

【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A,由相互独立事件的定义分析B,由古典概型

的计算公式分析C、D,综合可得答案.

【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则

C=｛（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）｝,

/=｛（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）｝,8=｛（1,2）、（1,4）、（2,3）、（3,4）｝,

C=｛（2,3）、（2,4）、（3,4）｝,

答案第4页，共12页

/5=｛（1,4）、（2,3）｝,/C=｛（2,3）、（2,4）｝,8C=｛（2,3）、（3,4）｝,

45C=｛（2,3）｝,

47493£

所以有尸（4）二不=1?⑻=%=§,P（C）=-

2

2尸（）£（）

尸（48）g/c=|P/8C=g

63

对于A,/2=｛（1,4）、（2,3）｝,事件/、8可以同时发生，则/、8不互斥，A错误;

对于B,P（A）P（C）=P（AC）,/、C相互独立，B正确;

对于C,P（AB）+P（AC）=P（A）,C正确；

对于D,尸（4B0WP（⑷尸（3）尸（C）,D错误.

故选：BC.

12.11

【分析】根据百分数的定义就可求得第40百分位数.

【详解】首先对数据从小到大进行排序：7,8,10,H,12,13,15,17,共有8个数据

8x40%=3.2,

所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11,

故答案为：11.

13.2

【分析】首先利用投影向量的定义求出向cos@,4=1,再利用数量积的定义求出即可.

【详解】由已知向量Z在3上的投影向量为贝胴cos@®（=m，

又因为即W=2,所以Wcos@［）=l.

所以a/=|a||/）|cos^a,S^=（《cos卜,3））卡|=2

故答案为：2

14.1612

【分析】根据正四棱锥的侧面与底面所成的角为£，求出正四棱锥的高，从而求体积.

【详解】根据题意，如图，以棱长为2的正方体的一个面为底面的正四棱锥P-/8CD,

答案第5页，共12页

p

取底面中心。，CD中点E,

因为尸O_L平面N3CD,CDu平面/BCD,所以CD_LPO,

又CD工PE,75。口尸£'=己尸。,尸£1£=平面「。£,

TT

所以CD_L平面尸0E,则/尸E0=—,

4

所以/z=PO=l,

从而该多面体的体积为忆=2x2x2+6x-x2x2x1=16,

3

考虑到四棱锥的侧面夹角为n,其面数为4上x6黄=12.

故答案为：16；12.

兀

15.(1)^=-

⑵一2

【分析】(1)根据余弦定理得到cosB=包，得到2=?;

24

(2)设a=t,c=2而,代入&2+,2=/+缶c,求出b=百，再由余弦定理得到cosC,进

而得到正弦和正切.

【详解】(1)a~+c2=b2+y/2ac=>a2+c2-b2=yflac<

故cos八02+c2"=®=正,

2ac2ac2

TT

因为Be(O,TT),所以B=a；

(2)设.a=t,C=2y[^t,代入a2+c?=b2+eac中，

»+8/=/+1^.2"，故〃=5/,解得&=百，

由余弦定理得c°sC=胃产

2t■\[5t

答案第6页，共12页

则sinC=Jl-cos2c=-----,

5

2小

,,八sinC5一

故tanC=--=^^=-2.

cosCV5

16.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)连接/C,AD交于点。，由已知证明平面尸/C,又尸Cu平面尸/C,即

可证明助_LPC；

(2)连接OE,。/7,证明出平面ER9〃平面PCD,结合面面平行的性质即可证明.

【详解】(1)连接/C,2。交于点。，由四边形是菱形得

因为尸/_1_平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以4_L8Z),

因为融_L3D,AC1BD,PAHAC=A,P/,/Cu平面PNC,

所以BD上平面尸/C,又PCu平面尸/C,

所以BD_LPC.

(2)连接OE,OP，

因为四边形/BCD是菱形，所以点。为/C,2。中点，

又瓦尸分别是棱8C,/尸的中点，

即以FOIIPCQEIICD,

因为尸Cu平面PCD,尸。,平面PCD,

所以尸O〃平面尸CD,同理可得EO〃平面尸CD,

因为石。,尸。u平面EFO,且EOnFO=。，

所以平面EFOH平面PCD,又u平面EFO,

所以E尸〃平面尸CD.

答案第7页，共12页

17.(l)8.03h

呜

【分析】(1)先求出"，尤/的值，再求平均数；

(2)由比例分配的分层随机抽样方法，分别从［7,7.5)和［8.5,9］两组的学生中抽取2人，3

人，再由古典概率求解.

【详解】(1)因为容量”=20+0.4=50,

所以>=50x0.12=6,尤=50-(4+20+6)=20,

所以该班学生的平均日睡眠时间为：X(7.25X4+7.75X20+8.25X20+8.75X6)

=(29+155+165+52.5)=8.03⑴)；

(2)由(1)知,该班日睡眠时间在［7,7.5)和［8.5,9］频率比为2:3,

由比例分配的分层随机抽样方法，分别从［7,7.5)和［8.5,9］两组的学生中抽取2人，3人，

记［7,7.5)中抽取的2人为。,方,［8.5,9］中抽取的3人为c,d,e,

设“2人中至少有1人的睡眠时间在［7,7.5)”为事件A,

则Q={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(6,C)QJ,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},

A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c)(b,d),(b,e},

7

所以A发生的概率尸(/)=而，

7

所以2人中至少有1人的日睡眠时间在［7,7.5)的概率为5.

18.(1)证明见解析，AC=4指

⑵4

ADBD

【分析】(1)①在中’由正弦定理可得从而得证;

sinABAD

2

②在△‘皿中‘利用三角函数恒等变换可得所以，⑺二邑〃=6,在"CO中，由

SACD=Lx4DxACxsina=叵AC2xM=6,可解问题；

"21617

答案第8页，共12页

(2)由亚=2方+」/，两边平方的赤2=3c2+Lb2+%ccos/A4C,再借助余弦定理

33999

412cosN5/C

和三角形面积公式,将上式表示为4。=,化简利用基本

smABACcosABACsinZBAC

不等式求最值.

【详解】(1)①因为CQ=2Q5,AD=DC,所以

ADBD

在中，由正弦定理可得

sinNABDsinABAD

ATJ

所以sin/ABD=----xsin/BAD=2sin/BAD；

BD

4

②设ABAC=9,贝!jcos6=1,

因为0<6〈兀，所以sin6=Jl^cos^二7

设/C=a,因为4。=。。，所以/C=/G4O=a,

在Z\ABD中，/B=TI—0—a,/BAD=0—cc,

由①知sinZABD=2sin/BAD,

所以sin(6+a)=2sin(6-a),

所以sinOcosa+cosOsina=2sin6cosa—2cosOsina,

整理得cosa=4sina,又因为sin?a+cos?a=l,0<cr<7i,

-P，.V174历

所6F以sma=-----,cosa--------，

1717

一一2

因为CD=2DB,所以S&ACD=§S“Be=6,

在△48中，因为40=。。，AC=a,

所以ZC=24Dcosa,所以AD==姮4。，

2cosa8

则SAcn=LxZZ)x/Cxsina=x^^=6，

"D21617

所以ZC=4几;

(2)记V4BC的内角为4为C，所对边为“c，

因为CD=2DB,

0________QQ____1

所以26=就+函="+|■怎(在一码二万+§就，

所以而2=为2+42++儿cos/8/C,

999

在V/3C中，因为/3=8C,

答案第9页，共12页

所以由余弦定理可得C?■2+b2-2bccosABAC,

整理得2ccosABAC=b,c=---------------

1cosABAC

1o

JcsinZBAC

因为S“BC9’所以小EE

2

36cosABAC2b?________9________

所以/=，C

sinZBAC4cos2/B/CcosABACsinABAC

所以

2

—4D2—_________4_________卜_12__c_o_s_A_B__A_C_—__4_+_1_2__c_o_s__A_B__A_C__

sinZBACcosZBACsinABACsinABACcosABAC

4sin2ABAC+16cos2ABAC.(smZBAC4cos

=-------------------------------------=4---------------1----------------->lo

sinABACcosABAC{cosABACsinNA4c)

当且仅当sin/比IC=歧,cos/B4C="时取等号，

55

所以40的最小值为4.

—、2—、1—、

【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由平面向量得NOM;/B+T/C,两边平方的

33

AD2=^c2+h2+^bccosZBAC,再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为

________4________12cosNA4C

AD=,利用三角函数恒等变换化简，并利用基本不等式

sinNBACcosNBACsinZBAC

求最值.

19.（1）证明见解析

⑵①；；②显.

23

【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明；

（2）①将圆台。。1的母线延长交于一点尸，连接PE,延长尸E交底面于点。，连接8。，CQ,

可推得S.DF=ZSABOE,从而得七一/DE=W〃-BDF，求得结论；

②在等腰梯形/BCD中，过点。作边BC的垂线。G,垂足为G,可证NDCG为母线与下底

面所成角，由tanNDCG=Z）G可知，要使NDCG最小，只要DG最小即可，进而求得。G的

最小值，即可求得结论.

【详解】（1）证明：在圆台。。中，平面/。石〃平面8FC,

因为平面BEDF（~|平面ADE=DE,平面BEDFA平面BFC=BF,

所以BF//DE；

（2）①将圆台OQ的母线延长交于一点尸，连接PE,延长PE交底面于点。，连接2。，CQ,

答案第10页，共12页

在圆台中，平面/DE//平面瓦

因为平面PCQA平面=平面Peon平面5尸C=CQ,所以EO//C。,

又由（1）可知BF/IED,所以5尸〃C。，

又CF