函数的奇偶性讲义 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2函数的奇偶性知识点梳理重点1函数的奇偶性1.奇函数和偶函数的定义函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）函数奇偶性的运算性质设f（x）与g（x）的定义域分别是,在它们的公共定义域上，有下列结论：f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数复合函数的奇偶性复合函数的奇偶性如下表：f（x）g（x）F（x）偶偶偶偶奇偶奇偶偶奇奇奇（注：在f（g（x））中，g（x）的值域是f（x）定义域的子集.）理解函数奇偶性的注意点：定义域必须关于原点对称.无论是奇函数还是偶函数定义域一定关于坐标原点对称，如果不对称这个函数既不是奇函数也不是偶函数.例如f（x）是偶函数且定义域为（a，b），则可以得到a+b=0（或a=-b）满足定义域关于原点对称时，可能是奇函数或偶函数，也可以既是奇函数也是偶函数（例如f（x）=0，既满足f（x）=f（-x）又满足f（-x）=-f（x）），或者是非奇非偶函数（例如y=2x+1）.奇函数在原点有定义，则f（0）=0.例1.若函数是定义在上的偶函数，则=__________.答案：5补充练习：已知函数为奇函数，则a=____________.重点2奇、偶函数图象的特征奇函数的图象特征若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点位对称中心的中心对称图形；反之也成立.偶函数的图象特征若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之也成立.奇偶函数的单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.例2.已知函数是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则的所有实根之和等于____________.答案：0例3.（分段函数奇偶性的判断）判断函数的奇偶性.例4.（抽象函数奇偶性的判断）（1）已知函数,若对于任意实数a，b，都有.求证：为奇函数.（2）设函数定义在上，求证：，是奇函数.例5.（利用函数的奇偶性求函数值）（1）已知，且，则等于__________.解析：令，易知是R上的奇函数，所以，又，∴，∴∴补充练习：（2）已知，，则________.例6.（利用奇偶性求函数的解析式）（1）已知函数，且当时，，则当f（x）____________.答案：补充练习：（2），当，，则析式为_______________.例7.（函数