函数的零点与方程的解 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数与对数函数4.5.1函数的零点与方程的解河北灵寿中学-吴紫鑫【学习目标】1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系。（数学抽象）2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间。（逻辑推理）3.能借助函数的单调性及图象判断零点的个数。（直观想象）【情境导入】问题1:什么是二次函数y=ax2+bx+c的零点？P50

一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.问题2:类比二次函数y=ax2+bx+c的零点，写出一般函数y=f(x)的零点？对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.特殊一般追问:零点是点吗？零点不是点，是实数.【任务一：函数零点的概念】问题3:类比一元二次方程ax2+bx+c=0有实数解

二次函数y=ax2+bx+c有零点

一元二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有公共点”，写出一般函数y=f(x)对应三者之间的关系？例1：求下列函数的零点

问题1:函数的零点是什么？问题2:观察到零点x=-1所在区间为(-2,0),零点x=3所在区间为(2,4)。思考:区间端点的函数值之间具有怎样的关系？问题3:在问题2的基础上，函数图象与x轴有什么关系？的图象，思考下列问题。【任务二：探究零点存在定理】

问题5:由特殊到一般，思考我们怎样判断函数f(x)在区间（a,b）上是否存在零点？0yx0yx思考：如果f(a)·f(b)＜0，但图象是不连续的,函数f(x)在（a,b）上一定有零点吗?（画图分析）端点函数值异号f(a)·f(b)＜0+函数f(x)在[a,b]上连续函数有零点函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。思考：由函数零点存在定理可以得到f(x)在区间(a，b)内存在零点，那么我们能不能确定存在多少个零点？函数零点存在定理：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。探究：已知f(x)在[a,b]上连续，回答下列问题：问题1：f(x)在(a,b)上有零点，是不是一定说明f(a)·f(b)＜0？

（画图分析）问题2：f(a)·f(b)＜0是f(x)在(a,b)上有零点的（

）？A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

例2：由下表判断函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间为（

）A.(1，2）B.（2，3）C.（3，4）D（4，5）【任务三：函数零点存在定理的应用】探究：在零点存在定理的基础上再加上什么条件就可以判断出f(x)在区间(a,b)上只有一个零点？（画图分析）函数f(x)在[a,b]上连续f(a)·f(b)＜0函数f(x)在区间[a,b]内单调函数f(x)在区间（a,b)有唯一零点++

x

y

Oba

函数零点存在定理的推论例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。解析：例2变式：求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数。解析：【巩固练习】

【课堂小结】本节课你有什么收获？（可以从知识、思想两方面考虑）一个关系：函数零点与方程解的关系两种思想：函数与方程思想、数形结合思想三种题型：求函数的零点、求零点所在区间