北师大版九年级数学知识点

北

师

大

版

九

年

级

数

学

知

识

点

汇

总

第一章特殊平行四边形

一、平行四边形

1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.性质：(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角

形。

(4)平行四边形是中心对称图形。

3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

4.面积：S平行四边形=底乂高

二、菱形

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2、性质：(1)菱形具有平行四边形的所有性质。

(2)菱形的四条边都相等。

(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形

分成四个全等的直角三角形。

(4)菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形(两条)。

3、判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

4.面积：S菱形=底乂高；S菱形=对角线乘积的一半

三、矩形

1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2、性质：(1)矩形具有平行四边形的所有性质。

(2)矩形的四个角都是直角。

(3)矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形。

(4)推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

(5)矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形(两条)。

3、判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

(2)对角线相等的平行四边形是矩形。

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

4.面积：S矩形=底x高

四、正方形

1.定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2.性质：(1)正方形具有菱形和矩形的所有性质。

(2)正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直

角三角形。

(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形(四条)。

3、判定：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形=菱形+矩形

(3)有一个角是直角的菱形是正方形。

(4)对角线相等的菱形是正方形。

4.面积：S正方形=边长的平方；S正方形=对角线乘积的一半

五、中点四边形

1.定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形

2、中点四边形：一般四边形T平行四边形；平行四边形T平行四边形；菱形T矩形；矩

形T菱形；

正方形T正方形。

第二章一元二次方程

一、定义：我们把形如的方程，称为一元二次方程。其中，，分别称为二次项，一次项和常数

项，，分别称为二次项系数和一次项系数。

二、解一元二次方程的方法

1.配方法：移项-♦二次项系数化为1T配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)T开平方(有正

负两个结果)T求解T写根。

2.公式法：化为一般形式()T找出，，(记得带上符号)T代入根的判别式0T代入求根公式()T

求解T写根。

3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法。

(1)提公因式法：T

(2)公式法：①平方差公式：

②完全平方公式:

(3)十字相乘法:

三、一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程

(1)当时，方程有两个不相等的实数根。

(2)当时，方程有两个相等的实数根。

(3)当时，方程没有实数根。

四、一元二次方程根与系数之间的关系(韦达定理)

如果方程有两个实数根，，那么，

五、应用一元二次方程(1.几何面积问题；2、销售问题)

审题T寻找数量关系和等量关系T设未知数(直接假设和间接假设)T列一^元二次方程T解方程T

检验T作答。

第三章概率的进一步认识

一、列表法和化树状图法

1.列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的

结果，通常采用列表法。

2.画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结果,

通常采用画树状图法。

二、频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率稳定于某个常数，那么

事件A发生的概率

第四章图形的相似

一、成比例线段

1.定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

2.性质：(1)基本性质：如果，那么；

如果，那么

(2)等比性质：如果，那么

(3)合比性质：如果，那么，

二、平行线分线段成比例

1.定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例

三、相似多边形

1.定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比

2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

四、相似三角形

1.定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形

2、判定：(1)两角分别相等的两个三角形相似

(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

(3)三边成比例的两个三角形相似

3.性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比

(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

五、黄金分割：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄

金分割点，与的比叫做黄金比，即/

六、位似图形

1.定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点，所在的直线都经过同一点，且有=,那么这样的

两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心

2.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比

3.画图步骤：(1)尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关

键点关于中心的对应点；③描出新图形

(2)坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边

形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同

一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它

们的相似比为网

第五章投影与视图

一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子

所在的平面叫做投影面

1.中心投影：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下形

成的影子就是中心投影

2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影)

就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影

二、三视图

1.视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图

2.三视图概念：(1)主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高

(2)左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽

(3)俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽

3、三视图特点：(1)主视图和俯视图的长对正

(2)主视图和左视图的高平齐

(3)左视图和俯视图的宽相等

第六章反比例函数

一、定义：一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数

二、表达式：1.;2.；3.

三、图象与性质

1.图象：由两条曲线组成（双曲线）

2、性质：

k图象所在象限增减性

函数

'V

第一、三象限在同一象限内，随

的增大而减小

k>0（x,y同号）

0

k

y=-i

X

（左为常数，左W。）第二、四象限在同一象限内，随

k<Q2的增大而增大

--------►X（x,y异号）

丫

越大，函数图象越远离坐标原点

3.反比例函数比例系数的几何意义

如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴

的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积

4.对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点

（2）轴对称：对称轴为直线和直线

第七章直角三角形的边角关系

一、锐角三角函数

斜边/对

在中，，

取伍W国-1c关系

则的三角函数为定义表达式

邻边

正弦..ZA的对边•Aa0<smA<1

sinA=——sinA=一

斜边c（NA为锐角）sinA=cosB

余弦cosA=sinB

4/A的邻边,b0<cosA<l

cosA=----——------cosA=—22

斜边c（NA为锐角）sinA+cosA=1

正切/atanA>0

tanA=—tanA=—^—

NA的邻边b(NA为锐角)tan5

二、特殊角的三角函数值

三角函数30°45°60°

J_V2叵

sina

2~2T2

V3V2j_

cosa

~2~"2"5

V3

tana1V3

~3~

三、解直角三角形

1.直角三角形的边角关系：(1)两锐角关系:

(2)三边关系：(勾股定理)

(3)边角关系：，

2.解直角三角形的类型和

解法图形解法

已知条件

已知一直角边和一个锐角

N3=90°—NA,c=-^-力=—或人=J。？—“2）

(a,ZA)BsinAtanA\'

已知斜边和一个锐角ZB=90°-ZA,a=csinA.b-ccosA（或Z?=J/一片）

(c,ZA)对

边

C。=，/+/,由12114=3求4,/3=90°—/4

已知两直角边(a,b)邻边

b

已知斜边和一条直角边

b=Jo2—/,由$也A=0求ZA,N5=90。—NA

(c,a)c

第八章二次函数

一、概念：一般的，若两个变量，之间的对应关系可以表示成的形式，则称是的二次函数，其中,

是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项

二、二次函数图象及其性质

1.图像与性

质y-ax-/z）2+k（a.k,k为常数,aw0）y=ax2+"+《〃,反。是常数,。00)

函数

〃>0〃<0〃>0a<0

JJJ

图象

7

1R

J/n

性开口开口向上开口向下开口向上开口向下

质方向

对称轴直线X=。直线x=---

2a

当时，随的增大而减

当时，随的增大而

当时，随的增大而小；当时，随的增大而增

减小；

增大；当时，随的增大而增大；

当时，随的增大而

当时，随的增大而大当时，随的增大而减

增大

减小；b小；

当x>〃时，y随x当九〉----时，y随

增减性2a

的增大而增大

X的增大而增大

时，在对称轴左侧，随的增大而减小，在对称轴右侧，随的增大而增大；

时，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小

时，在对称轴左侧，y随工的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小

'b4ac-b2y

顶点(h,k)

、2〃’4〃,

抛物线有最低点，当

抛物线有最低点，抛物线有最高点，

时，有最小值抛物线有最高点，当

最值当时，有最小值，当时，有最大值时，有最大值

_4ac-b2

y最小值=卜y最大值=此为小值—4a

,抛物线开口向上；

决定抛物线开口方向,抛物线开口向下

2.抛物线与的关系

a<0,抛物线开口向下

a

越大，开口越小

决定抛物线开口大小

,对称轴为轴；

决定抛物线对称轴位置，,对称轴在轴左侧；同号在左，

a.bb,对称轴在轴右侧异号在右

对称轴为直线%=——

2aab<0,对称轴在y轴右侧异号在

右

,抛物线过原点；

,抛物线与轴交于正半轴；

决定抛物线与y轴的交点位置

c,抛物线与轴交于负半轴

c<0,抛物线与y轴交于负半轴

时，与轴有两个交点；

时，与轴有一个交点；

2决定抛物线与X轴的交点

Z?-4-ac时，与轴没有交点

a.b.cZ?2-4ac<0时，与x轴没有交点

'b4ac-]'b4-cic-Z?2

决定顶点位置顶点坐标为-二,

、2〃’4〃J、2〃4aJ

三、二次函数表达式的确定。确定二次函数表示的方法仍是待定系数法，有以下三种方法:

1.一般式：若已知抛物线过三点，一般设函数表达式为

2、顶点式：若已知抛物线的顶点是，可设函数表达式为

3、交点式：若已知抛物线与轴两个交点，，可设函数表达式

四、二次函数的平移规律

移动方向平移前的表达式平移后的表达式简记

向左平移加个单位左力口

y=a+左y—a^x—h+m^+k

向右平移m个单位y=ax-hf+ky=ax—h—mf+k右减

向上平移m个单位y=ax-hf+ky=ax—h^+k+m上加

向下平移加个单位y=a[x-hf+ky=ax—h^+k—m下减

注意平移之前函数表达式必须先化为顶点式

五、二次函数与一元二次方程的关系

二次函数的图象与轴ax2+Z?x+c=O的才艮抛物线y=ax2+/zx+c与x轴的交点

的交点有三种情况：

有两个交点；有一个

交点；没有交点，当

图象与轴有交点时，

令，解方程就可以求

出与轴交点的横坐标

A=匕2-4-ac

A>0两个不相等的实数根两个交点

A=0两个相等的实数根一个交点

A<0没有实数根没有交点

第九章圆

—＞圆的有关概念和性质

1.圆的基本概念：

(1)圆：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点是圆心，定长是半径

(2)弦、直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径

(3)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧

(4)等圆、等弧：能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧

(5)圆心角：顶点在圆心，端点在圆上的角叫做圆心角

(6)圆周角：定点和端点都在圆上的角叫做圆周角

2.圆的性质

(1)圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形,

对称中心是

圆心

(2)把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得到的图形都与原图形重合

(3)过不在同一直线上的三个点确定一个圆

二、与圆有关的定理和推论

文字语言图形几何语言

定理：在同圆或等圆中，相等的圆

心角所对的弧相等，所对的

弦也相等在同圆或等圆中，

1.圆心角相等：

圆

心2.弧相等：

角推论：在同圆或等圆中，如果两个3、弦相等：

、圆心角，两条弧，两条弦中以上条件知其中一个可得其二

弧

B

、有一组相等，那么它们所对

弦应的其余各组量都分别相等

之推论：在同圆或等圆中，如果两个

间

的圆心角，两条弧，两条弦中

关有一组相等，那么它们所对

系应的其余各组量都分别相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个

圆心角，两条弧，两条弦中

有一组相等，那么它们所对

应的其余各组量都分别相等

是所对的圆心角，

定理：圆周角的度数等于它所对的是所对的圆周角，

弧的圆心角度数的一半

ZC=-ZAOB

定理：圆周角的度数等于它所对的地2

弧的圆心角度数的一半

Dc

推论1:同弧或等弧所对的圆周角NC和都是⑨所对的圆周角

圆相等

周ZC=ZD

角推论1:同弧或等弧所对的圆周角

定相等

理

AB是」。的直径

CNC是猫所对的圆周角

推论2：直径所对的圆周角是直ZC=90°

角，的圆周角所对的弦是

直径/C是卷所对的圆周角

推论2：直径所对的圆周角是直ZC=90°

角，的圆周角所对的弦是二AB是0的直径

直径

推论2：直径所对的圆周角是直

角，90°的圆周角所对的

弦是直径

四边形ABCD是O。的内接四边形

推论3:圆的内接四边形对角互补ZB+ZD=180°

推论3：圆的内接四边形对角互补ZBAZ)+ZC=180°

L/C=/DAE

定理：垂直于弦的直径平分弦，并是的直径，

A

且平分弦所对的两条弧，，

CE=DE,BC=BD,AC=AD

推论：平分弦（不是直径）的直径是的直径，

垂

径垂直于弦，并且平分弦所对ABLCD于点、E

定

的两条弧B

理推论：平分弦（不是直径）的直径BC=BD,^C^D

垂直于弦，并且平分弦所对

的两条弧

推论：平分弦（不是直径）的直径

垂直于弦，并且平分弦所对

的两条弧

三、与圆有关的位置关系

1.点文字语言图形几何语言

与

圆、

直线

与圆

的位

置关

系

设的半径为，点到圆心的距离为，

点则有:

与

圆点在圆外点在圆外

的Au>d>r

位

置♦

点在圆上点5在圆上od=厂

关

系£

点在园内点C在圆外0dv厂

直设的半径为，圆心到直线的距离为

线则有:

与

则有：

圆

的

位相交：直线和圆有

置

两个公共点

关直线/和。0相交<=>d<一

系相交：直线和圆有

两个公共点2

(1)切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

(2)切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点