基本不等式-2025年高考数学备考复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式

第4讲基本不等式

课标要求命题点五年考情命题分析预测

2021天津

掌握基本不等利用基本讲是高考的热点，常作为工具与其他知

T13；2020新高

式而FW誓本不等识综合考查，主要考查基本不等式及其应

考卷IT11；2020

(a,620).结式求最用，如求最值、证明不等式、求参数的取

天津T14；2019

合具体实例，值值范围等，解题时要注意应用基本不等式

天津T13

能用基本不等的三个前提条件.题型以选择题、填空题为

基本不2022新高考卷

式解决简单的主，难度不大.预计2025年高考命题点变

等式的IIT12；2021浙

最大值或最小化不大，但应加强对应用基本不等式解决

综合问江T8；2020新

值问题.实际问题的重视.

题高考卷IIT12

C---------------------------:—:遗透故材总合长通--------------------------

。学生用书P010

1.基本不等式：夜W.

(1)基本不等式成立的条件：①4>0,6>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当②a=b时取等号.

(3)其中，③—亨—叫做0,6的算术平均数，④—疯一叫做°,6的几何平均数.基本

不等式表明：正数。，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

注意若a<0,b<0,应先转化为一a>0,~b>0,再运用基本不等式求解.

2.几个重要不等式

(1)a2+b2^2ab(a,b^R,当且仅当a=b时取等号).

(2)a+b^2Vab(a>0,b>0,当且仅当a=6时取等号).

(3)卫■<而<乎叵(a>0,b>Q,当且仅当a=6时取等号).

——

口思维拓展

基本不等式链的几何解释

如图，48是。。的直径，4c=a,CB=b,点、D,F在。。上，且

DCLAB,FOLAB,连接94,DO,DB,FC,作CE_LD。，垂足为£.由..

.Ifc1

图可知，。。的半径等于殁=竺坟=山..

222*

（1）因为。C是RtZUOB斜边上的高，所以由射影定理得。Gn/CCBna6noe=而.

由。02。。得等》而，当且仅当C与。重合，即a=b时不等式取等号.

（2）因为CE是RtZXDOC斜边上的高，所以由射影定理得。所以。£=需

=M=W.由得房》占，当且仅当C与E重合，即时不等式取等号.

a十b-4-—±-L±

-2-abab

（3）因为0C=/C—/O=a一等=与2，。厂=手，所以在Rt/XCOF中，由勾股定理可得

CF=JoC2+OF2=J（三）」+（千）2=由CF2OF得当且仅当

。与。重合，即a=6时不等式取等号.

则由（1）（2）（3）可得不等式链：自忘房忘号wJ=Q,当且仅当a=6时不等式取

—a+*b72N2

等号.

拓展思维：类似地，我们可以由。。三得誓N金；由CFNDE得J老卢N金;由

ab'ab

CFNDC得

归纳总结：不等式链占忘而忘空叵一共包含了6个不等式（它们取等号的条件一

—aITb乙Nz

致，均是当且仅当a=6时不等式取等号），对于其中的每一个不等式，我们都可以根据上

图给出它的几何解释.

注意聋，而，誓，昌正分别称为正实数a,6的调和平均数、几何平均数、算术平

ab

均数、平方平均数，故基本不等式链也称为均值不等式.

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0.

（1）如果积孙等于定值尸，那么当x=y时，和x+y取得最小值⑤_2鼻（简记：积定

和最小）；

（2）如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙取得最大值⑥简记：和定积

最大）.

注意应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正"''二定”“三相等”.

1.下列说法正确的是（c）

A.函数的最小值是2

B.函数/（x）=cosx+—,xW（0,三）的最小值为4

cosx2

C."x>0且>>0”是“三十222”的充分不必要条件

yx

2.矩形两边长分别为Q,6,且。+26=6,则矩形面积的最大值是（B）

A.4B.-C.-D.2

22

解析依题意可得〃>0,6>0,则6=a+2b22V^=2遮•而，当且仅当a=2b时取等

号，所以即矩形面积的最大值为名.故选B.

3.已知0,6为正数，则下列不等式中不成立的是（D）

B.abW（上）2c.再D.也，而

解析易知A,B成立；对于C,因为层+岳三2"，所以2（解+房）与Q+b）2,所以

（半）2,所以Jw丝N誓,故C成立；对于D,取。=4,6=1,代入可知，不

等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，选D.

4.［教材改编］已知x>2,则上+x的最小值是6.

x~2

解析由x>2知x—2>0,则」一+x=〃一+（x—2）+2^2/—•（%-2）+2=6,当且

X—2X—2-Jx—2

仅当二一=%—2,即x=4时取"=",所以」一十%的最小值是6.

x~2x~2

a学生用书P011

命题点1利用基本不等式求最值

角度1配凑法

例1（1）［2024四川省南充第一中学模拟］已知a>b>0,则2a+之+2的最小值为

a+ba-b

D)

A.4B.6C.3D.10

角不析a>b>0,.*.«+Z)>0,a—b>0.*.2tz+—+^—=[(Q+6)+—；—]+[(a—b)

9a-rba-ba+b

+-^~]^2I(a+b)--^—+2J(a—b)•^—=6+4=10,当且仅当a+b=4-且q—b=

a-bAIa+b-Ja-ba+b

二一，即4=36=工时取等号，故2a+——+」-的最小值为10.故选D.

a~b22a+ba-b

(2)[2024宁夏银川模拟]已知0<x<4,则Jx(4-久)的最大值为2.

解析0<x<4,则0V4-x<4,由基本不等式可得Jx(4一刀)W丑尸=2,当且仅当X

=4—x,即x=2时，等号成立.故Jx(4—x)的最大值为2.

角度2常数代换法

例2(1)[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a,6满足8a+46=ab,则8a+6的最小值

为(C)

A.54B.56C.72D.81

解析解法一因为8a+4b=ab,所以6=f匕>0,因为Q>0,所以〃>4,所以8o+b=

a—4

8a+—=8，c,2^3a'=8[Q—4)+—+5]^8X(2四+5)=72,当且仅当a=6时取等

a—4a—4a—4

号.故选c.

解法二'：Sa+4h=ab,a>0,b>0,；.-+-=1,；.8a+^=(8a+b)(-+-)=—+-

bababa

+4022/64x4+40=72,当且仅当四=竺，即a=6,6=24时取“=”，故选C.

ba

(2)[山东高考]若直线工+[=1(a>0,6>0)过点(1,2),则2a+6的最小值为8.

解析•直线孑+率=1(a>0,6>0)过点(1,2),.,.i+|=l.Va>0,b>Q,；.2a+b=

abab

(2a+b)(-+1)=4+-+^^4+2I--8,当且仅当2=竽和工+[=1同时成立，即a=

ababyababab

2,6=4时等号成立，；.2a+6的最小值为8.

角度3消元法

例3(1)[2024河南名校调研]若正数x,y满足9-2x—y=0,则x+楙的最小值是

C)

A.2B.2V2C.4D.4V2

解析因为正数X,＞满足初一2x—＞=0,所以＞=工＞0,则、一1＞0,所以x+5=x+

x-l2

-^-=x+-^—+l=x—l+^—+2^2/(%—1)+2=4,当且仅当x—1=-^—,即x=2

X-1x~lx—1-ylx-lx-l

时，等号成立.故选c.

(2)[江苏高考]已知5%2)2+)4=1(%,y£R),则/+产的最小值是,.

解析解法一由5x2f+y4=l得工2=以一!，则/+产=彘+竿三2J点•当=：，当且仅

当最=苦，即产三时取等号，故炉+产的最小值是，

解法二因为4=(5x2+y2)-4^2^[15a)+4y]2=y(x2+y2)2,所以必+/三，当

且仅当5/+炉=4歹2=2,即N=卷，y2=g时取等号，故d+产的最小值是，

方法技巧

1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.

2.配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.

3.多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.

训练1(1)[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x,y满足工+2=1,若关于根的

xy

不等式尤+宗〈加2+3仅有解，则实数%的取值范围是(c)

A.(-1,4)B.(-4,1)

C.(―8,—4)U(1,+0°)D.(—8,—3)U(0,+°°)

解析•.•正实数X,y满足工+±=1,.•.x+?=G+')(工+3=2+―+工22+2件•)=

xy44xyy4x7y4%

4,当且仅当竺=工且工+3=1,即x=2,y=8时取等号.二•不等式〈加?+3冽有解，.*.4

y4xxy4

<m2+3m,解得加>1或加V—4,即加£(—00,—4)U(1,+00).故选C.

(2)[2021天津高考]若。>0,b>0,贝壮+合+6的最小值为2口.

aM

___(1_a_

解析因为当且仅当即°=6=应时取等号，

所以工+刍+6的最小值为2&\

aDZ

(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x,外z满足4/—3盯+/一z=

0,则把的最大值为1.

解析因为4/—3xy-\-y2—z=0,所以z=4N—3xy~\~y2,所以苫=4%2_了

-1=1,当且仅当丝==即歹=2x时等号成立，所以把的最大值为1.

丝j2x2—3yxz

fyx

命题点2基本不等式的综合问题

角度1基本不等式的综合应用

例4(1)［2021浙江高考］已知a,B，7是互不相同的锐角，则在sinacos£,sin£cos匕

sinycosa三个值中，大于:的个数的最大值是(C)

A.OB.lC.2D.3

解析因为a,p,>是互不相同的锐角，所以sina,cosP，sinP，cosy,siny,cosa均为正

数.由基本不等式可知sinacos£Wsm仇；8sB,sin/cosS：cosy,sin/cosaW

sm丫；3a,三式相加可得sinacos£+sin£cosy+sinycos当且仅当sina=

cosp,sin/3=cosy,siny=cosa,即时取等号，因为a,0,7是互不相同的锐

4

3

角，所以sinacos夕+sin夕cosy+sinycosa<5，所以sinacos从sin夕cos%sinycosa不会都

.TT71工

大于[若取a=*6=g尸;，则sin^cos^=1xi=i<isin-€os-=—X—=—>-

3422442

sin：cos；=WxW=^>3所以三个值中大于二的个数的最大值为2.故选C.

4622422

(2)［多选/2022新高考卷n］若x,y满足N+/一孙=1,则(BC)

A.x+yWlB.x+>2—2

C.x2~\~y2<2D.x2+VC1

解析解法一由题意得，x2+y2=xy+1,所以(x+y)2=3xy~\~1,当x>0且y>0时，

显然有(x+y)2>1,即x+y>l,故A错误.因为N+y2N2xy,所以肛+1N2中，所以

盯W1,所以N+V<2,当且仅当X=J/时等号成立，故C正确.因为(x+y)2=x2+y2+2xy

=3孙+1W4,所以Ix+歹IW2,所以一2Wx+yW2,故B正确.因为12+产=期+1,所以

当孙〈0时，x2+y2<l,故D错误.故选BC.

22

解法二由/+产一盯=(x—ly)+^y=l,可设x—$=cosa,*=sina,所以％=詈

+cosa,y=^^-.x+y=V3sina+cosa=2sin(a+^)£[-2,2],且当a=g时，x+y可取

得最大值2,故A错误，B正确12+y=迪蛆、巴也=史上野+屋号,2］,且当a=一

净，/+产取得最小值右所以c正确，D错误，故选BC.

角度2利用基本不等式解决实际问题

例5［江苏高考］某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年

的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30.

解析一年购买竺2次，则总运费与总存储费用之和为吧X6+4x=4（―+x）28/—XX

XXXyX

=240,当且仅当x=30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.

例6某医疗器械公司为了进步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产

品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本GG）万

x2+120%,0<x<50,

元，且G（x）每台该产品的售价为200万元，且

201x+--2100,50<%<100,

X

全年内生产的该产品当年能全部销售完.

（1）写出年利润WG）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润

=销售收入一成本）.

（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

解析（1）由题意可得，当0<xW50时，W（x）=200x—（x2+120x）-200=-x2+80x

-200,当50VxW100时，W(x)=200x-(201x+^^-2100)-200=-(x+^^)

XX

+1900,

—x2+80x—200,0<%<50,

故W(x)

-(x+—)+1900,50<x<100.

X

2

(2)当0<xW50时，W(x)=一7+80芯一200=-G-40)+l400,W(x)max=

W(40)=1400;

当50<xW100时，W(x)=-(x+空上)+1900W—2k^+1900=1760,当且仅

X"MX

当X=-----,即X=70时等号成立，此时少（x）max=l760.

x

综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元.

方法技巧

利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义,

抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.

训练2⑴[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在中，BD=^BC,E是线段4D

上的动点（与端点不重合），设无而（x,yGR）,则甯的最小值是

（D）

A.6B.7C.8D.9

解析如图，因为前=,前,所以而=|方，因为而=》81+了0，

所以B=m+|i而，因为N,D,E三点共线，所以x+|y=l,易知

x>0,y>0,所以四地=刍+工=（―+i）（x+-y）=-+4+1+

z3xy3yx3yx/3y

会2聆W+5=9,当且仅当方差，即x=Q三时取等号，所以震的最小值是9,

故选D.

（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面

积为1800平方米的矩形/BCD,为了方便居民观赏，在这块空地中间

修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大

面积是（C）

A.1208平方米B.1448平方米

C.1568平方米D.1698平方米

解析设48=x米，x>0,则种植花卉区域的面积5=（x—4）（〃"一2）=~2x

X

7?nn/

+1808.因为x>0,所以2x+二巴22"4400=240,当且仅当x=60时，等号成立，贝”

X

SW—240+1808=1568,即当/8=60米，8c=30米时，种植花卉区域的面积取得最大

值，最大值是1568平方米，故选C.

--------------------------面修・注:函踊*]-------------------------

a思维帮•提升思维快速解题

基本不等式链与柯西不等式的应用

角度1求最值

例7已知x,y均为正实数，且白+去=也则x+y的最小值为20.

解析解法一（基本不等式链法）（%+2）+（y+2）-2^^^-2=4-2=10,当

-,x+2~^~y+26

且仅当x=y=10时取等号，itx+y的最小值为20.

解法二(柯西不等式法)•.”，y均为正实数，且义十二=3，6(二+二)=1,则

x+2y+26x+2y+2

x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(京+力)t(x+2)+(y+2)]-42

6[l—x(x+2)+/—x(y+2)]2-4=20,当且仅当(x+2)2=(y+2)2,且」一

,\l久+2y+2%+2

+*■=，，即x=y=10时取等号，则x+>的最小值为20.

解法三(基本不等式法)・・h,y均为正实数，且2，6(二+々)=1,则

x+2y+26x+2y+2

x-\-y=(x+2)+(y+2)—4=6E(x+2)+(y+2)]—4=6(2+^|+

—)一4》6(2+2匡三)-4=20,当且仅当x=y=10时取等号，则x+>的最小值为

y+2-Mx+2y+2

20.

角度2判断关于不等式的命题的真假

例8[2024四川成都联考]已知正实数冽，〃满足冽+〃=1,则下列不等式中错误的是

(D)

1

A.mnW-B.2m2+2w2^1

4

C.m(几+1)<1D.y/m+y/n^l

解析对于A,mnW(mU)2=1，当且仅当冽=〃=|•时取等号，选项A正确.

对于B,等W不吟Lm?+彦n(加丁)=：,当且仅当加=〃=3时取等号，选项B正确.

对于C,易知加，"W(0,1),mn<n=>m(„+1)<n-\-m=1,选项C正确.

对于D,而:当且仅当加="=[时取等号，选项D错误.故

选D.

方法技巧

1.柯西不等式：(/+尻)(°2+理)2(ac+6d)2,当且仅当ad=6c时，等号成立.

2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意‘‘配凑”技巧，还要注意验

证等号成立的条件.

训练3(1)已知正实数x,y满足忌十六=1,贝h+y的最小值是_笑逗一

解析x-\-y=^[(x+3y)+(4x+2y)]=-|[(x+3j)+(4x+2y)]j+^jy，

芸[J(x+3y)义总+J(4支+2y)x&]2=过券,当且仅当(x+3j)2=1(4x+

2y)2且士++=1时等号成立，即x=\H，y=空时，x+y取得最小值过言.

(2)[多选/2024云南省大理模拟]若12。=3,126=4,则下列结论正确的是(ACD)

A.->1B.ab>-C.a2+b2>-D.2a~b>-

a422

解析由12a=3,12。=4得a=logi23,b=logi24,tz+/>=logi23+log124=log1212=1,且a

=logl23>logl21=0,b=10gl24>logl21=0.

选项A:^Ogl24—log4>log33=1,故A正确.

alog/03

选项B:abW(等)2=；,当且仅当a=6时等号成立，因为a于b,所以ab<：,故B错

、口

伏.

2

选项C:屋+=T，当且仅当a=6时等号成立，因为aWb,所以苏+左君故

C正确.

选项D:a-Z)=logi23—Iogi24=logi2->logi2—=~1,

JJ412

所以2"P>2—i=(,故D正确.故选ACD.

1.[命题点1角度1]已知实数。>0,b>l,a+b=5,贝胫+3的最小值为(A)

ab—1

A3+2V2「3+4V2八3+2V2「3+4企

A.----B.----C.----D.----

4466

解析因为a>0,b>\,a+b=5,所以2+」-=(-+—)[a+(6—1)]X-=-[3+

ab—1ab—144

2QT)+_g_]泉(3+2⑨,当且仅当2"一"=q且v+6=5时取等号,所以'+二一的

ab—14ab~lab-l

最小值为坦&故选A.

4

2.[命题点1角度2/天津高考]已知a>0,6>0,且仍=1,则5+去+—工的最小值为4.

2a2ba+b-

解析依题意得方+/+嚏=兴+嚏=乎+-，22±=4,当且仅当

2a2ba+b2aba+b2a+ba+b

a>0,

b>0,ab=1,

,_.即时取等号.因此工+工+工的最小值为4.

cib—1,,a+b=42a2ba+b

a+b_8

、2a+b'

且则与的最小值为工.

3.［命题点1角度3］已知。>0,6>—1,a+Ql,

解析已知b>-\,且所以b=l—a>-l,所以2—a>0,所以贮壁

a>0,a+6=l,a

22

b,3」(1-a)3।1

--=a+—r•.令f(a)。十六，则/（a）\_a-\~(2—a)],G-F

b+la2~aa2—aa2~aa士）

州+六+『+］］若国+2口L]=—=2+国,即炉+3+

a2

V3,当且仅当3=3<2一。）时取等号,故卫十三的最小值为2+旧.

2~aaab+1

4.［命题点2角度1］已知b>\,则下列不等式成立的是（D）

B.V^V也

A"+Y整a+b

C.V2a2+2b2<2VabD.a+6<V2a2+2b2

解析对于选项A,因为0<a<l,b>l,所以(,a+b)2^a2+2ab+b2>4ab,故A错

、口

沃；

对于选项B,而>占=笺，故B错误；

-a+-ba-vb

对于选项C,J2（a2+Z?2）>V2x2aZ?=2Vab,故C错误；

对于选项D,2a2+2尻>/+2成+62=（。十方）2,所以0+6<应淳不2"，故D正确.

5.［命题点2角度2〃024河南省名校调研］以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称

之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一

个可使用16年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与

光伏电站的太阳能面板的面积（单位：1小）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电,

修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电.设在此模式下，当光伏电站的太阳能

面板的面积为x（单位：n?）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，左为常

数）.记该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和为尸（单位：万元）.

（1）用x表示F.

（2）该合作社修建多大面积的太阳能面板，可使产最小？并求出最小值.

(3)要使厂不超过140万元，求x的取值范围.

解析⑴由题意可得，当x=0时，媪=24,则后=1200,

所以该合作社修建光伏电站的费用与16年所消耗的电费之和尸=16X粤+0.12%="平+

x+50x+50

0.12x,x20.

(2)F=^^+0.12x=i^+0.12(x+50)—622/^^x0.12(%+50)-6=90,当

x+50x+50Yx+50

且仅当i9：°°=0.12(X+50),即x=350时，等号成立，即该合作社修建350m2的太阳能

%+50

面板，可使尸最小，且最小值为90万元.

(3)要使厂不超过140万元，只需尸=4绊+0.12xW140,整理得31—3350x+305

ooowo,

则(3x—3050)(x-100)WO,解得lOOWxW等，

故要使歹不超过140万元，x的取值范围是｛xCOOWxW等｝.

(------------------------------，练习帮，练透好题精准分层-----------------------------

的学生用书•练习帮P262

MM：,欣m

1.[2024河北保定模拟]设x,y均为正数，且x+y=4,则中的最大值为(C)

A.lB.2C.4D.16

解析因为x,y均为正数，且x+y=4,所以xyW(匕02=4,当且仅当x=y=2时取等

号，故选C.

2.[2024江苏常州模拟]已知。>1,b*,且20+6=4,则士+看的最小值是

(D)

4

A.lB.-C.2D.3

3

解析因为2a+b=4,所以(4Q—4)+(26—1)=3.因为。>1,b>3,所以上+4

2a—12D—1

纪祖―十

i[(4。一4)+(26—1)](­+—)=l[4mlL+4o4+5]>1[2

34a—42b—134a—42b~l3V4a—42b—1

5]=3,当且仅当竺独二2_=七立即。=三，6=1时，等号成立.故选D.

4a—42b—12

3.当x>0时，函数尸\了的最小值为(B)

A.2V3B.2V3-1C.2V3+1D.4

解析因为x>0,所以y=3+x+/=_2_+x=3+(x+i)-t^2I--(x+1)~1=

/i+xi+xi+xqi+x

2V3—1,当且仅当——=x+l,即n=百一1时，等号成立.故选B.

1+x

4.［2023山西忻州第二次联考］已知0Va<2,贝壮+｝的最小值是(C)

a2—a

A.4B.6C.8D.16

解析因为0<。<2,所以工>0,—>0,所以工+上=4〃+(2—q)］(i+―)=

-(—+—+10)^-X(2I——+10)=8,当且仅当三=2，即a=4寸等号成立.

2a2—a27a2—aCL2—a2

5.［多选］小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和6(a<b),其全程的平均速度为%则

下列选项中正确的是(AD)

A.a<^<yTabB.i/=Vab

C.^b<^<—D.右如

2a+b

解析设甲、乙两地之间的距离为s.因为所以片袅=芈~<2三=16又3—a=

a+b2信

^--a=^-=a(b~a)>0,所以/>a,所以QV/V而，故选AD.

a+ba-\-ba+b

6.［多选/2023重庆市三检］已知x>0,y>0,且x+y+xy—3=0,则下列结论正确的是

(BC)

A.xy的取值范围是(0,9］

B.x+y的取值范围是［2,3)

C.x+2y的最小值是4V2-3

D.x+4y的最小值是3

解析对于A,因为x>0,y>0,x+y+xy—3=0,所以3—xy=x+y22代7,所以0<

y/xy^l,即0<xyWl,当且仅当x=y时取等号，故A不正确.对于B,由x+y+xy—3=

0,得3—(x+y)=xyW(三与\当且仅当x=y时取等号，即(x+y)2+4(x+y)—

1220,结合x>0,y>0,得x+y22.又3—(x+y)=xy>0,(易错：忽略根据孙>0这

一隐含条件求x+y的范围)

所以x+yV3,即2Wx+yV3,故B正确.对于C,由x+y+盯一3=0,得x=-^—=—1+

言所以工+2/=—1+1+2》=±+2(y+1)—322］卡-2(y+1)—3=4鱼一3,

当且仅当W=2(y+1),即夕=迎一1时等号成立，故C正确.对于D,由C选项知：x=

-1+—,则x+4y=一l+±+4y=±+4(y+1)—522］士一4(y+1)—5=3,当且

y+1y+1y+1-^y+1

仅当去=4(y+1),即y=0或y=-2时等号成立，而y>0,故不能取等号，所以x+4y

>3,故D不正确.综上所述，选BC.

7.［2024广西河池联考］若x>0,y>0,且§+2尸4,则押最大值为2.

解析因为x>0,y>0,所以4=§+2y22后,整理可得?W(壶)】=2,当且仅当

C~2y，即卜=9时，等号成立，故［的最大值为2.

?+2y=4,ly=1x

8.［2023济南市模拟］已知正数x,y满足4x+2y=xy,则x+2"的最小侑.为18.

解析由4x+2y=肛，得4%+2y=&+」=］.又了,>是正数，所以x+2y=(x+2j)(-+-)

xyyxyx

=10+竺+竺》10+2/竺•竺=18,当且仅当竺=竺，即x=y=6时等号成立，所以x+2y的

yx-yJyxyx

最小值为18.

9.某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年进〃次货，每次购买x件，每次购买

商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为理，每件

商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费+库存费)最低，则每年进货次数为

10.

解析由题意，得办=6000,每年的手续费为300〃元，库存费为工X10=5x=雪”

2n

/—\、，/c八八八八,r八八

(兀)，息费r用r»u为(300〃+।-3-0--0-0-0)x兀—.因为〃>0,所rd.以300几十I-3-0-0-00三--^2c3Io00rx九--3-0-0-0-0-

nn7九

6000,当且仅当300"=双2"，即〃=10时，总费用最低.

n

10.［2024山东烟台模拟］如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(。为■>—『

圆心)铁皮上截取一块矩形材料N8CD,其顶点48在直径上，顶点('_____.______

।*，

C,。在圆周上，则矩形48CD面积的最大值为16(单位：cm?).

解析如图，连接。C,设。8=x（0<x<4）,贝]。。2—。82=J16-X2,4B=

2OB=2x,所以矩形48co的面积为4B-3C=2x[16—NWN+（16-

N）=16,当且仅当N=i6—N,即x=2近时，等号成立，所以矩形

ABCD面积的最大值为16cm2.

能力博•工¥〕

11.[2021全国卷乙]下列函数中最小值为4的是（C）

A.》=N+2X+4B.y=IsinxI+〔।

C.y=2x+22~xD.y=lnx+'^

解析选项A,因为>=N+2x+4=（x+1）2+3,

所以当