高考数学总复习 好题测试1集合、逻辑、函数、导数

考查范围：集合、逻辑、函数、导数

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题

目要求的.

1.(理科)［2013•新课标全国卷I］已知集合/={x|矛2—2x>0},B—x-乖<x<木},则

()

A.AC8=0B.4U6=RC.BQAD.AQB

1.【答案】B

【解析】/={x|x<0或x>2},故/U6=R.

(文科)［2013•江西卷］若集合/={才61?//+@^+1=0}中只有一个元素，则a=().

A.4B.2C.0D.一0或4

2.A［解析］当a=0时，4=0；当aWO时，4=#-4a=0,则a=4,故选A.

2.(2013•广东东莞调研)已知函数/(x)=乙=的定义域为M,g(x)=lnx的定义域为

vl—x

N,则MN=.

【答案】(0,1)

【解析】本题主要考查集合的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查

由题意/(x)的定义域满足：1—%〉0即乂={%卜<1},N={x|x>0}MN=(0,l)。

3.已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},5={2,4},则(5)1B为()

(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}

【答案】C

【解析】C°A={0,4},所以(C。A)UB={0,2,4},选C.

JF

4.12012高考真题湖南理2】命题“若a=一，则tana=1”的逆否命题是()

4

A.若aW—,贝iJtanaWlB.若a二一,贝IJtanaWl

44

jrTT

C.若tana#4,贝1|aW——D.若tanaWl,贝!|a=——

44

【答案】C

【解析】因为“若尸，则4”的逆否命题为“若r，则可"，所以“若a=：TT，则tana

77

=1”的逆否命题是“若tanaW1,则a/2”.

4

5.【湖北省黄冈市2013届高三年级3月份质量检测数学理】如图2所示的韦恩图中，A、B是

两非零集合，定义集合A⑤3为阴影部分表示的集合，若

G7?,A={X|y=ln(2%-x2)},BJIy-ex,x>0},则A®B为

A.{x10<x<2}B.{.x|x<1或x>2}

C.{x|0<%<1或x>2}D.{x|0<%<1或x>2}

—

【答案】D

【解析】A={x|0<x<2},B={y|y>l},故阴影部分表示的集合为

CAB(AB)={%|0<x<l^a>2},即Ag)5={x[0<xWl垢22}.故选D.

6.命题“Vxe&Y—2x+4<0”的否定为()

A.Vxe7?,x2-2x+4>0B.Bxe7?,%2-2x+4>0

C.\/xR,x2-2x+4<0D.3xR,x~-2x+4>0

【答案】B

【解析】全称性命题的否定一要否量词，二要否结论，所以原命题的否定为:

Bx7?,%2-2x+4>0.

7.[2013•浙江卷]已知a,b,c£R,函数F(x)=3/+以+己若/1(())=广(4)＞广(1),则()

A.a>0,4a+6=0B.水0,4乃+6=0

C.a>0,2a+Z?=0D.a<0,2a+b=0

b

7.A［解析］若/■(0)=f(4),则函数f(x)的图像关于直线x=2对称，则一针=2,则4a+6

=0,而广(0)=F(4)>_f(l),故开口向上，所以H>0,4乃+6=0.所以选择A.

/X2+(1—4)X—CL

8.函数/(%)二——----L——是奇函数，且在

(0,+8)上单调递增，则a等于()

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】C

,、，、(—疗+(1—片4

【解析】方法一：由函数/(%)是奇函数，得了(—力=^~~----八~--=-/(%)=

—X

x2+(l—(2^)x—af—(1—)x—a+(1—)x—a

-----------------对一切实数R恒成立，即——-----=——-----对一切

X------------------------------X-----------------X

实数R恒成立，所以—(1—4)%=(1—4)为对一切实数R恒成立，故1—4=0,解得。=±1.

2_|_11

当a=-l时，f(x)=-r----=%+—不满足在(0,+8)上单调递增；当〃=1

XX

X2_11

时，/(x)=^—=%—-满足在(0,+8)上单调递增.综上，a=l.

方法二：/(x)=x--+(l-a2),若函数/(九)是奇函数，则1—储=0,解得a=±l.当

X2,)_11

a=-l时，f(x)=-----=%+—不满足在(0,+8)上单调递增；当〃=1

XX

X2_11

时，/(%)=-----=X——满足在(0,+8)上单调递增.综上，"=1.

9.2013•江西)

若集合A具有以下性质:①0eA,lwA；②若x,ycA,则x—yeA,且尤W0时，.则

x

称集合A是“好集”.

(1)集合3={—1,0,1}是好集；(2)有理数集。是“好集”；(3)设集合A是“好集”，

若则x+yeA；(4)设集合A是"好集"，若则必有取eA；(5)对

任意的一个“好集A,若x,yeA,且尤wO,则必有

x

则上述命题正确的个数有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】由新定义知『(T)=2不在集合5={—1,0,1}小在z八、砂、口理数集。满电

[''J中，所以(1)错误；*7两足

以上条件，有理数集。是“好集”，所以(2)是真命题；因为集合A是“好集”，所以0

GA.若x,yGA,贝!]O-yGA,即-yGA.所以x-(-y)GA,即x+yGA,所以(3)是真命题；

对任意一个“好集”A,任取x,yGA,若x,y中有0或1时，显然xyGA.下设x,y均不

为0,1.由定义可知：x-1,」一，-eA.所以一-—GA,所以x(x-1)eA.由(3)

x-1xx(x-l)

可得：x(x-1)+x£A,即x?£A.同理可得y?£A,若x+y=O或x+y=L则显然(x+y)YA,

若x-y=O,或x-y=l,则(x-y)2GA.所以2xy=(x+y)2-x2-y2^A,所以「一£A.

2xy

由(3)可得：—=---+----£A,所以xy£A.综上可知，xy£A,即(4)为真命题；

xy2xy2xy

若x,y£A,且xWO,则工wA,所以2=广,£人.,即(5)是真命题。

XXX

10.函数/(£)=lgx与g(x)=7—2x图象交点的横坐标所在区间是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(1,5)

【答案】C

【解析】设/z(x)=/(x)—g(x)=lgx+2x—7,因为/z(3)=lg3—lv0,/z(4)=lg4+l>0,

所以M3)/z(4)<0.又函数/z(x)=/(x)—g(x)=lgx+2x—7的图象是连续不断的，所以

由零点存在定理得，妆力的零点在区间(3,4)内，即函数"x)=lgx与g(x)=7—2光图象

交点的横坐标所在区间是(3,4).

11.(理)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=%2和曲线>=&围成一个

叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是

等可能的）,则所投的点落在叶形图内部的概率是（）

BC.D

-14-i

【答案】D

【解析.】由几何概型得，所投的点落在叶形图内部的概率是

1_

1x113

11.（文）函数丁=/（%）在点（%,九）处

的切线方程为y=2x+l,则lim2曲等于()

Ax

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】D

【解析】由导数的定义得

/'(X。)=lim"/)―/(%—2Ax)二1〃/)一/(/一2Ax)=所以

°…。2Ax2…。Ax

lin"G)-"4

-Ax

—V+2x

1‘I'、、'若|F(X)|NEX,则a

{In(x+1),x>0.

的取值范围是()

A.(—8,0]B.(—8,1]

C.[-2,1]D.[-2,0]

12.D[解析]方法一：若^0,|f{x)|=|—x+2x\=x-2x,x=0时，不等式恒成

立，x<0时，不等式可变为2,而x—2<—2,可得a2一2；

1n(X~\~1)

若x>0,|_f(x)|=|ln(x+l)|=ln(x+l),由ln(x+l)2zx,可得aW---------恒成立，

x

1(+1)(x+l)

令力(才)=上口——,则力，(x)=^---------------,再令g(x)=gy—ln(x+l),则

XXX十1

-X

g'(X)=(、2<0,故g(x)在(0,+8)上单调递减，所以g(x)<g(o)=0,可得力/(x)

\X.।1)

x

।—In(x+1)

x~v1

--------------2------------<0,故/(x)在(0,+8)上单调递减，xf+8时，力(X)—0,

X

所以力(x)>0,aWO.综上可知，-2W〃W0,故选D.

(一2xxW0

方法二：数形结合：画出函数|F(x)|=1/二〕〔八与直线y=ar的图像，如下图，

[In(x+1),x>0

要使|,F(x)|2ax恒成立，只要使直线y=ax的斜率最小时与函数y=x-2x,xWO在原点处

的切线斜率相等即可，最大时与x轴的斜率相等即可，

因为V=2x~2,所以V|x=o=—2,所以一2WaW0.

12.(文)已知则方程2TM=cos2乃x所有实数根的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】设"了)=2%，g(x)=cos2G.易知函数〃%)=2中的图象关于x轴对称，函数

g(x)=cos2G的最小正周期为1,作出函数/(尤)=2%与函数8(%)=852»》的图象(如

下图所示).数形结合易知函数〃%)=2一国与函数g(x)=cos2G的图象有5个交点，故方

程2%=cos2乃x所有实数根的个数为5.

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.

13.函数/'（分二，2的值域为.

2，x〈l

13.【答案】（一8,2）

【解析】函数y=log|x在（0,+8）上为减函数，当时，函数y=log1x的值域为（一

8,0］；函数y=2*在R上是增函数，当正1时，函数y=2,的值域为（0,2）,所以原函数的

值域为（一8,2）.

14.（理科）（河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文）定义在R上的函数/'（X）是增函数,

则满足/（%）</（2%-3）的取值范围是.

【答案】（3,”）

【解析】由函数/（X）是增函数，得x<2x—3,解得x>3.

（文科）［2013•江西卷］若曲线y=x"+l（aeR）在点（1,2）处的切线经过坐标原点，则a=

14.2［解析］/=ax"T,尸所以切线方程为y—2=a（x—1）,该切线过原

点，得a=2.

15.［2012高考真题上海理2］若集合A={x|2x+l>0},B={x\\x-1\<2},则

AP\B=

【答案】f-1,3

【解析】因为集合4={目2》+1〉0}=]划％〉一31,5={%||%-1|<2}={%|-1<%<3),

所以AB=

jx|-1<x<3|,即

16.

设集合6=（才|04工<1},8=（工|14工42）,函数

〃、/2,,<x€A）「

人力=14—2x,（工W的'*6人且/1/（与）］€A，则工。的取值

区间是.

【解析】因为0</<1，所以1<2~<2.所以/(不)€5.所以/[/(/)]=4—2-2殉.由

33

题知0<4—2-2勾<1,可得彳<2%V2,解得VI.又0</<1,所以

।3।

log?—<xQ<1.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知集合A={x|3<%<7},B={x\2<x<10）,C={x\5-a<x<a\.

(1)求AUH(QA)AB；

(2)若Co(AU8),求a的取值范围.

【解析】(1)AUB={x[2<x<10},

因为CRA={X|X<3或+7},

所以(CRA)A§=卜|2<x<3或7<x<1。}.

(2)由(1)知AU5={x|2<x<1。},

①当C=。时,满足C0(AUB),此时5—a2a,得a<m；

5-a<a

②当Cw。时，要Cc(AUB),贝45-。22,解得』<a<3.

aV10

由①②得，aW3.

18.(本小题满分12分)

%+2,x<-l

已知/(%)=<%2,—1<%<2,且f(d)=3,求实数a的值.

2%,x>2

【解析】由已知/(a)=3,

①当a<-\时，/(〃)=〃+2=3,解得a=1,这与a<-\前提矛盾；

②当—1<a<2时，/(a)=a2=3,解得a=土石，由于—1<a<2,则有a=6；

3

③当a»2时，/(a)=2a=3,解得a=],这与a»2前提矛盾；

综上所述,实数。的值为由.

19.(本小题满分12分)

【2012高考真题陕西理18](1)如图，证明命题“a是平面万内的一条直线，6是万外

的一条直线(6不垂直于左)，c是直线〃在"上的投影，若则a_Lc”为真.

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明).

【解】(1)证法一：如下图，过直线6上任一点作平面兀的垂线〃，设直线a,b,c,〃的方

向向量分别是a，b,c,A,则6,c,力共面.根据平面向量基本定理，存在实数几，〃使得

c—46+〃Z7,贝Ua•c—司•(几b+〃/?)=几(3•6)+〃(a•h),

因为a_L6,所以a•/?=(),

又因为aJi,〃_Lm,所以a5=0,

故a•c=0,从而a_Lc.

证法二：如图，记cC6=4户为直线6上异于点力的任意一点,过户作加上口，垂足为

贝！JOGc.

因为尸。，“，aJi,所以直线ARa,

mb,b平面A。，POCb=P,

所以a_L平面PAO.

又cu平面为0,所以a_Lc.

(2)逆命题为：a是平面Ji内的一条直线，6是口外的一条直线(6不垂直于m),。是

直线6在”上的投影，若a，c,则a，6.

逆命题为真命题.

20.(本小题满分12分)

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，

假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的

关系式y=—二一+4(x—6)2,其中2<%<6,掰为常数.己知销售价格为4元/套时,

每日可售出套题21千套.

(1)求加的值；

(2)假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),

试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数点)

【解析】(1)因为x=4时，y=21,

代入关系式y=—^+4(x—6)，得£+16=21,................2分

解得加=10...............4分

in

(2)由⑴可知，套题每日的销售量y=」一+4(x—6)9,................6分

x2

所以每日销售套题所获得的利润

in~|

/(x)=(x-2)--+4(x-6y9=10+4(x-6)9(x-2)=4/—56犬+240》-278(2<x<6)

AW/,(X)=12X2-112X+240=4(3X-10)(X-6)(2<X<6).................8分

令广(力=0,得X=/,且在上，/'(x)〉0,函数/(x)单调递增；在上，

/,(x)<0,函数/(%)单调递减，................10分

所以x=T是函数/(X)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，................11分

所以当x=gg3.3时，函数/(x)取得最大值.................12分

故当销售价格为33元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

21.(本小题满分12分)

(理)【2102高考北京理18】已知函数/>(x)=ax2+l(a>0),g(^)=x+bx.

⑴若曲线尸f(x)与曲线尸g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,6的值;

(2)当a?=46时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间(-8,—1］上的最大

值.

【解】（1）/（公=2ax,g'（x）=3x+b.

因为曲线9=咒入)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,。)处具有公共切线，

所以_f(l)=g(1),且r(1)=g'(1).即己+1=1+6,且2a=3+6,

解得2=3,6=3.

(2)记力(x)=_f(x)+g(x).当6=(才时，A(x)=x-\-ax+~ax+l,h'(^r)=3x-\-2ax

+%•

令〃3=0,得为——白X2——奈

石>0时，力(x)与力，(x)的情况如下：

a(aa\aT+8)

X

18,T2I2,6)6

〃(X)+0一0+

右(X)

所以函数及工)的单调递增区间为(一8,一"和(一1+8｝单调递减区间为

H4

当一含T,即0〈aW2时，函数/(x)在区间(-8,—1］上单调递增，尔x)在区间(一8,

-1］上的最大值为A(—1)=a—：a".

当一*T,且一(2T,即2〈aW6时，函数尔x)在区间(一8,一窑内单调递增，在区

间卜会—1上单调递减，力(x)在区间(一8,—1］上的最大值为力卜

当一看〈一1,即於6时，函数力(X)在区间(-8,一习内单调递增，在区间卜会一富内

单调递减，在区间卜|，-1上单调递增，

又因彳一§一力(一1)=1—才="(a—2)2>0,

所以力(x)在区间(-8,—1］上的最大值为彳一§=L

(文)【2102高考北京文18］已知函数_f(x)=〃3+1(a>0),g^x)=x+bx.

(1)若曲线p=F(x)与曲线尸g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求46的值;

(2)当石=3,6=—9时，若函数F(x)+g(x)在区间［左2］上的最大值为28,求A的取

值范围.

【解】(1)/(A)=2ax,g'(x)=3x+b.

因为曲线尸Ax)与曲线尸g(x)在它们的交点(1,0)处具有公共切线，所以F(l)=g

(1)，且/(1)=g'(1).

即a+l=l+6,且2a=3+6,解得a=3,6=3.

(2)记力(x)=F(x)+g(x).当a=3,b=~9时，A(x)=/+3/—9^+1,h'(x)=3/

+6x-9.

令H(x)=0,得荀=—3,X2=l.

力(x)与力，(x)在(-8,2］上的情况如下：

X(一8,—3)-3(—3,1)1(1,2)2

h'(x)+0一0+

力(x)28-43

由此可知：当AW—3时，函数为5)在区间［左2］上的最大值为力(-3)=28；

当一3VAV2时，函数力(x)在区间［42］上的最大值小于28.

因此，A的取值范围是(一8,-3］.

22.(本小题满分12分)

(理)［2013•新课标全国卷I］设函数F(x)nf+ax+b,g(x)=e"(Gx+a.若曲线y

=F(x)和曲线p=g(x)都过点尸(0,2),且在点月处有相同的切线y=4x+2.

(1)求ab,c,d的值；

(2)若2时，F(x)WAg(x),求A的取值范围.

21.解：⑴由已知得F(0)=2,g(0)=2,尸(0)=4,g'(0)=4.而/(x)=2x+a,g'(x)

=ex(cx+d+c),故

6=2,d=2,a=4,d+c=4.

从而a=4,6=2,c=2,d=2.

(2)由(1)知，f(x)=》+4x+2,g(x)=2e'(x+l).

设函数/(x)=Ag(x)—f(x)=2Ae"(x+l)