向量中的隐圆问题（五大题型）（原卷版）-2025数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

重难点突破02向量中的隐圆问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：数量积隐圆.............................................................3

题型二：平方和隐圆.............................................................3

题型三：定塞方和隐圆...........................................................4

题型四：与向量模相关构成隐圆...................................................4

题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）...............................................5

03过关测试.....................................................................6

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技巧一.向量极化恒等式推出的隐圆

乘积型：~PA-~PB=A

定理：平面内，若48为定点，且无•丽=2,则尸的轨迹是以“为圆心，4+：/炉为半径的圆

证明：由应•丽=4,根据极化恒等式可知，PM2--AB2=A,所以尸加=11/炉+2,P的轨迹

4V4

是以W为圆心小+；/炉为半径的圆.

技巧二.极化恒等式和型：PA2+PB2=A

\A,--AB2

定理：若/,2为定点，尸满足以2+可2=m则p的轨迹是以4g中点M为圆心，J_1——为半

径的圆。(2-；NB2>O)

证明：R42+PB-=2[PM2+^AB)2]=A,所以PAf=《——1——，即尸的轨迹是以中点”为圆

L--AB2

心，\-----2------为半径的圆.

技巧三.定暮方和型

mPA2+PB2=n

若A,B为定点，<PA2+mPB2=n,则尸的轨迹为圆.

mPA2+nPB1=Z

证明：mPA2+PB2=〃=>m[(x+c)2+y2~\+\{x-cf+y2~\=n

=>(m+l)(x2+y2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=0

222(m-l)cc2(m+V)-n八

nx+y+—-----—•x+--------——二0.

m+1m+1

技巧四.与向量模相关构成隐圆

坐标法妙解

技巧五.阿氏圆

一般地，平面内到两个定点距离之比为常数4(4>0,4。1)的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆.当

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2=1时，点尸的轨迹是线段N3的中垂线.

㈤2

题型归纳与总结

题型一：数量积隐圆

【典例1-1】已知平面向量落瓦1满足同叩=lZ=2,伍-口0-2司=1,则WT的最小值为（）

—V5V7—「

AA/7nA/3A/5-A/3

IV•-D•\_y•-------------------------

222

【典例1-2】（2024•辽宁鞍山•一模）已知平面向量£,b，之满足叶同=同=1，若黑5=；,则

（24+c）-（3-c）的最小值为（）

A.-2B.-石C.-1D.0

【变式1-D设平面向量。3,2满足忖=1，W=2,“与3的夹角为g,且（z-gq•伍-0=0,则口的最小值为

()

A.V3-1B.V3C.V3+1D.273

【变式1-2］（2024•辽宁沈阳•二模）已知平面向量展，h->满足VXER,a-xb>〃一；

C

A」B.丁C.3V6-2

2

题型二：平方和隐圆

【典例2-1］已知a,b,c,d是单位向量，满足aJ_b,m=a+2b,\m-c^+\m-d^=20^A\c-d\的最大值为

【典例2-2】己知平面向量苏、而满足国「+|而「=4,|瓶2=2,设能=2防+蜀，则

固右.

【变式2-1］在平面直角坐标系中，已知点/（2,0）,5（0,2）,圆C:（x-4）2+/=l,若圆C上存在点M,

使得|九〃「+|九"「=12,则实数。的取值范围为（）

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A.[1,1+2A/2]B.[1-2V2,1+2V2]

C.[1,1+2拒]D.[1-A/2,1+A^]

【变式2-2]在平面直角坐标系xQy中，已知直线/:x+y+a=O与点”(0,2),若直线/上存在点M满足

|M4+|MO|2=10(。为坐标原点)，则实数。的取值范围是()

A.(-V5-1,V5-1)B.[-V5-1,V5-1]

C.(-272-1,272-1)D.[-2V2-1,2A/2-1]

题型三：定幕方和隐圆

【典例3-1】已知点/（TO）,3（2,0）,直线/：米--5左=0上存在点尸，使得尸父+2尸笈=9成立，则实

数上的取值范围是.

【典例3-2］（2024・浙江•高三期末）已如平面向量£、否、%,满足忖=3若，忖=2,付=2,“=2，则

"..（"。日①分伍一寸的最大值为（）

A.19273B.192C.48D.4月

【变式3-1］（2024•河北衡水•高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量扇的夹角为60。，向量工

满足于-（2召+可1+^=0，若对任意的记口-苗|的最小值为跖则M的最大值为

A.\心B.C.1+—D.1+73

2424

【变式3-2］已知z，B是两个单位向量，与2，B共面的向量己满足-2一①+3）工+小3=0,则同的最大

值为（）

A.272B.2C.V2D.1

题型四：与向量模相关构成隐圆

【典例4-1】已知平面向量b，且口=M=1,a-b=^,向量工满足*2£-2可布-可，贝U

b臼“©见的最小值为（）

A.73-1B.V2-1C.V3D.y/2

Iuur,ilUUtt'i

【典例4-2】已知向量丽丽满足囱=L阿=2,且向量砺在方方向上的投影向量为方.若动点C满

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足国=g,则行.而的最小值为（）

1口4-276「1-V7„5-277

AA.D.----------C.L）.-------

2324

【变式4-1］（2024・高三・浙江•期末）已知石是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量工满足

|c-a|=|,贝!1日+另一）|+2伍—3|最小值为.

【变式4-2】已知人石、c>才都是平面向量，且|a|=|2a-各|=|5a-c|=1,若=贝!］

\b-d\+\c-d\的最小值为.

【变式4-3］已知Z］是单位向量，75=0.若向量）满足日-£-3=1,则用的最大值是.

题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）

【典例5-1］已知平面向量a，b,c，满足。=6=2,JEL|a+Z>|=2A/2,|a+A+c|=1,则fb+c|++c|

的最小值为（）

A.—B.V15C.—D.V17

22

【典例5-2】（2024•全国•模拟预测）已知平面向量£,b,工满足且口=1|=2,『+"+©=1,则

『+陷+2/+^的最小值为（）

A.—B.V15C.—D.V17

22

【变式5-1］已知平面向量。满足Z_L加，且|町=|3|=2,|,-5-31=1,则修一）|+2］的最小值为

（）

A.—B.V15C.—D.V17

22

【变式5-2］（2024•高三・山东日照•期中）已知平面向量7,b，3满足办B，且同=忖=4,忖+3-<?|=2,

则区-4+小-曰的最小值为（）

A.4A/5B.2V17C.275D.#7

【变式5-3】已知平面向量b,工满足：同=忖=『|=1，a-b=0,贝川21可+/-5的最小值为（）

A.—B.2C.-D.75

22

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时羊涮H

人‘八^,八JTB\

1.已知平面向量£,及"满足口=l,cos（〃Q=g1一4〃.5+3=0,则忸-。1的最小值是（

)

A.与1B-4C6D.6-1

若向量日满足3-/）®-。=。，则同的最大值是（

2.已知力B是平面内两个互相垂直的单位向量,)

A.V2B.2也

C.V3D.2

3.（2024・高三•黑龙江哈尔滨•期中）已知向量I,1是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量己满足

（方-曰卡-2）=0,贝！］同的最大值是（）

A.V2B.也C.—D.—

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4.已知£,刃是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量）满足（Z-:（2各-"）=0,则『的最大值是（

A.V2B.2C.V5D.g

5.已知用而是平面内的三个单位向量，若日”则区+2司+忸+2弦词的最小值为（）

A.729-372B.V29C.V29-2A/3D.5

6.（2024•北京朝阳•一模）在。3C中，AB=AC=2,8C=2百，点P在线段8c上.当方.而取得最小

值时，PA=（）

A.3B.—C.-D.-

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7.（2024・高三•重庆•开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点。（0,0）,/（2,0）,8（0,2）,点尸满足

PA-PB=0＞则而•丽的最小值为（）

A.2-272B.272-2

C.2拒+2D.-272-2

8.已知向量屋b，"满足同=4,同=2,但弓=；,R-4（2H）=0,则7"的最小值等于（）

A.12-673B.12-473C.4D.472

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9.已知屋b，工是平面向量，）是单位向量，若非零向量Z与工的夹角为:，向量石满足丁一6"工+8=0,

贝中一闸的最小值是（）

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A.—V2—1B.y/2+1C.~A/2+1D.2—V2

10.（2024・全国•模拟预测）已知向量Z,B满足鼠彼=1，«冉=；,则.+,+2可的最小值为（）

A.V6+2V2B.V6+V2C.8D.2

11.已知£,反】是平面内的三个单位向量,若力B，则归+24+M+25一2q的最小值是.

12.已知£扇是平面中的三个单位向量，且力=0,则忤/+g-刃的最小值是一

13.在平面内，已知非零向量。与单位向量e的夹角为。，若向量B满足庐-6。/+8=0,则的