山西省吕梁市2024届高三年级下册第一次模拟考试数学试卷（含答案）

山西省吕梁市2024届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.设集合4={邓<%<2}*=1|3，<9},则（）

A.AB=BB.AB=BC.A=BD.A^B

2.已知复数2=匕i,则|z|=（）

1+i11

A.lB.0C.2D.4

22

3.双曲线三-谷=l（a>0,b>0）的一条渐近线方程为x+y=0,则该双曲线的离心

ab

率为（）

A.72B.V3C.2D.2点

4.宽与长的比为立匚土0.618的矩形叫做黄金矩形，它广泛的出现在艺术、建筑、

2

人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中，BC^y/5-1,AB>BC,CD

中点为E,则的值为（）

A.75-1B.V5+1C.4D.2

_tan80°-A/3V/士斗,‘、

5-的1l值为（）

A.百B.—C.2D.4

2

6.如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为4cm,12cm,高为

8cm（内部），上口内置一个直径为4cm,高为3cm的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，

用来放置茶叶）.根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于1cm时茶

叶不会外溢.用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（）

⑭二

,380兀C304JI

A.------B.380兀D.304兀

33

7.已知圆。：0-4)2+0；-2)2=4,点。为直线%+丁+2=0上的动点，以P。为直径的

圆与圆。相交于A,3两点，则四边形PAQB面积的最小值为()

A.2^/7B.4aC.2D.4

7a

8.已知函数/(x)满足/■(x+y)+/(x-y)="(x)/(y),=则下列结论不正

确的是()

A./(O)=3B.函数〃2x-1)关于直线x=g对称

C./(x)+/(0)>0D./(x)的周期为3

二、多项选择题

9.下列说法正确的是()

A.命题“Vx>l,*<1"的否定是“玉;<1,x2>15,

8.“。>10”是“工<工”的充分不必要条件

a10

C.若函数/⑴的定义域为［0,2］,则函数“2”的定义域为［0』

D.记A(石,/(%)),5(X2,/(%2))(%1/*2)为函数/(%)=6图象上的任意两点，则

f广〉〃%)+/(々)

10.已知函数/(x)=Asin(0x+0)1A〉O,0〉0,|同<2的部分图象如图所示，将函数

/(%)的图象先关于x轴对称，然后再向左平移三个单位长度后得到函数g(x)的图

象，则下列说法正确的是()

A.(p=—»

3

71

B-g(—x)=gx

C.函数g（x）为奇函数

D.函数g（x）在区间-事,-5上单调递增

11.已知正方体ABC。-44Gq的棱长为1，点P满足"=九旬+〃4。+忆招，

X,〃，/eR（P与3,D,A三点不重合），则下列说法正确的是（）

A.当4+〃+/=1时，PS〃平面CR用

B.当7=1,2=〃时，42，平面8。£）内

C.当;l=g,〃=/=1时，平面平面

D.当'=1,7=0时，直线PA与平面4耳G2所成角的正切值的最大值为学

12.画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂

直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭

22

圆C:1T+}=1（。〉6〉0）,耳,F2分别为椭圆的左、右焦点，耳（后,0）,其短轴上

的一个端点到歹2的距离为6，点A在椭圆上，直线/:汝+分-〃=0,贝心）

A.直线/与蒙日圆相切

B.椭圆C的蒙日圆方程为X2+/=2

C.若点P是椭圆C的蒙日圆上的动点，过点P作椭圆C的两条切线小分别交蒙

日圆于M,N两点，则MN的长恒为4

D.记点A到直线I的距离为d,则d-|A与|的最小值为2+干

三、填空题

13.（/—2）］x-工：的展开式中Y的系数为.（用数字作答）

14.某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下

表：

年份20182019202020212022

年份代号X01234

年销量y1015203035

若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为y=6.5尤+。，据此计

算相应于样本点(1,15)的残差为.

15.设各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为前〃项积为若4=1,

2也=Mn+l-Mn,则59=.

16.已知A,3分别是函数〃司=2%+y-足9皿+工-1)和g(x)=光图象上的动点，若

对任意的相＞0,都有2a恒成立，则实数。的最大值为..

四,解答题

+a

17.已知数歹U｛a“｝满足O[+。2+。3+n=-

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列的前〃项和s..

aa

„n+l.

18.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知bcosC+2acosA=-ccosB-

(1)求A;

(2)设A的角平分线交于点昭AM=1，求6+4c的最小值.

19.如图，在四棱锥p—ABCD中，已知始,平面A3CD,且四边形ABCD为直角梯

形,ZA3C=N3AD=巴,R4=3,AD=2,AB=5C=1.

(1)线段P3上是否存在一点。使得QCLCD,若存在，求出3Q的长，若不存在,说明理

由；

（2）定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离

的最小值，求异面直线与CD之间的距离.

20.吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮

比赛结果互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，

制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关

卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛.为能进入决赛，小李赛前在

师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和

中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可.

⑴若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此

来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；

⑵若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品

被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率

不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了工，以获得通关卡次数的期望作为判断

6

依据，试预测小李能否进入决赛？

21.已知直线x+y+l=O与抛物线。:f=2外（°〉0）相切于点4,动直线/与抛物线C

交于不同两点P,Q（P,Q异于点A）,且以尸。为直径的圆过点A.

（1）求抛物线C的方程及点A的坐标；

⑵当&卡占最小时'求直线"的方程.

22.已知函数/（x）=e*-cosx.

⑴求/（X）在（兀,/（兀））处的切线方程；

（2）若/（x）之ax-gax2对任意xeR恒成立，求正实数a的取值集合.

参考答案

1.答案：A

解析：由3，<9解得％<2,

所以人=(1,2),6=(—00,2%所以4口瓦4B=B,

故选:A

2.答案：A

解析：Z=^-1=/°J)-r=-i|z|=J(-l)2+02=1

1+i(l+i)(l-i)117

故选：A.

3.答案：A

解析：依题意，-=1,所以该双曲线的离心率e=耳+”"1+(与=丁.

aa\a

故选：A.

4.答案：D

解析：因为在黄金矩形ABCD中，BC^y/5-1,AB>BC,

故AB=2,

AE=AD+DE=AD+-AB,ABAD=O,

2

所以A3.AE=A5(A£>+1•回=AB.AD+JAB?=0+1x22=2.

故选：D.

5.答案：D

x

tan80°-Gsin80°-石cos80°2(sin80°~~cos80°x

解析:

sin80°sin80°cos80°

—x2sin80°cos80°

2

_4sin(80°—60°)_4sin20°_4sin20。_4

一sin160°sin(180°-20°)-sin200-,

故选：D.

6.答案：C

解析：如图，作出圆台的轴截面，设截面上部延长部分三角形的高为〃cm,

由相似三角形性质，得」一，,解得々=4,

h+86

设水到达最大容量时水面的圆面半径为rem,

则■4,解得i

1304IT

水的最大容量为V=§兀(8—3—1)x(4?+4x6+6?)=卷2ml.

解析：由题意得24,AQ,PB±AQ,0(4,2),

S四边形尸=2s△…2T叫AQ|=21PAM2口Q2_4,

|4+2+2|

=4^2,

当PQ垂直直线尤+y+2=0时，|P2|min=

,.(S四边形=4行,

故选：B.

8.答案：D

解析：解法一：令x=l,y=Q,则2/⑴=§/⑴”0),解得"0)=3,A正确；

令九=0,则/(y)+〃—y)=§/(0)/(y)=2/(y),

所以/(y)=〃—y),即〃x)是偶函数，

所以/(2x-l)=/(-2x+l)=/[2(l-x)-l],所以函数/(2x-l)关于直线片口寸称,

B正确；

2

令》=无，则/(2,+〃0)=3/(力20,

令/=2无，则/⑺+"0)20,所以/(x)+/(O"O,C正确；

令y=l,则〃x+l)+/(x_l)=/(x)①，

所以/(x+2)+/(x)=/(x+l)②,

①②联立得了(x+2)=-/(x-1),

所以/(x+3)=-/(X),/(x+6)=-/(x+3)=/(x),即“X)的周期为6,D错误；

解法二：构造函数/（工）=3（：051%,

满足/(1)=|,且

^TT^JT/TT,

f(x+y)+f(x-y)=3cos-[x+y)+3cos-(x-y)=6cos-xcos-y=-f(x)f(y),

/(0)=3cos0=3,A正确；

2兀71

/(2x-l)=3cos^(2x-l)=3cos一X——=3cos—\x

333I

因为〃2x-1）表示y=3cosgx的图象向右平移:个单位，且y=3cosgx的图象关于

y轴对称，

所以〃2x-1）关于直线x对称，B正确；

由余弦函数的图象和性质可知/（x）+/■⑼=33m%+120,C正确;

“X）的周期7=于=6,D错误；

3

故选：D.

9.答案：BCD

解析：对于A选项，“女>1,f<i,"的否定为“玉;>1,%2>r\故A错误；

对于B选项，由LL得@~—>0,故a>10或。<0,

a1010〃

因此a>10是J-的充分不必要条件，故B正确；

a10

对于C选项，“X）中，0<x<2,〃2x）中，0<2x<2,即0<x<l,故C正确;

对于D选项，=卜+二"王）+/（“2）=嘉+后

2V2,22

JZZ互>募+«：./(生土三)〉/&)+/(%),故D正确.

V2222

故选：BCD.

10.答案：AD

解析：根据函数/(x)=Asin((yx+^)fA>0,<»>0,|^|<^的部分图象,

77T4E332兀5兀7T

可得4=2，-x——=——+—，：.a)=2

4(y123

对于A选项，2义2+°=二，...夕=一工，故A正确，

1223

所以/(x)=2sin[2x-m1,贝1Jg(x)=—2sin+5=—2sin(2x+5)

对于B选项，由2x+m='+M，得至Ug(x)的对称轴为x=2+g/eZ，

显然x=《不是其对称轴，故g(_x)/g、q],故B错误，

对于C选项，函数g(x)显然不是奇函数，故C错误；

对于D选项，2<0，.•.g(x)的递增区间即y=sin12x+[的递减区间，

令2hi+—<2%+—<2hi+—，左eZ,

232

解得左兀+《4九《女兀+看•，左wZ，故g(x)的递增区间是左兀+5,左兀+,(keZ),当

%=-1时，g(x)的递增区间是-手，-胃，而-g2兀71詈,-浮故D正确.

u

32

故选:AD.

11.答案：ABD

解析：A,当4+〃+/=1时，即7=1一（九+〃），则

AP=AAB+piAD+yAAi=2AB+〃AD+[1-+,

可得AP-A4,=2(AB-A4)+//(AD-A41),则产二九转+〃

所以点P在平面43。内，如图，因为用DJ/BD,%DHB\C,

BQu面CM,BD6面CD^,故BD//面CD^,

3iCu面C〃耳，[Da面CQ4，故A。〃面。鼻耳，

BDAD=D,3£>，ADu面45。，所以面人避。〃面。口用，又PBu面43。，

所以PBH平面.故A正确；

B,当7=1,2=〃时，AP=AAB+AAD+AAl,则4P=〃AB+AZ))=；IAC,故点P

在直线AG上，直线4尸与直线4G共线,

如图，4G±B}D},AG工DDI，BRfDD[=2,BR,DDXu平面BDDR,

所以AG，平面3。。石，即APL平面瓦，故B正确;

C,当当4=（,〃=7=1时，AP=^AB+AD+AAi,所以2P=343,故P为，G

的中点，

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为2,则。（0,0,0）,

A（2,0,2）,0（020）,尸（0,1,2）,

所以£>P=（0,1,2）,%=（2,0,2）,£>C=（0,2,0）,

Y\.P—v+27—0

设平面ADP的一个法向量为〃=(尤,y,z),则■,令z=—1,得

n-DA^=2x+2z=0

n=(l,2,-l),

ryt.DC—2/?二0

设平面ADC的一个法向量为加=(a也c),则-,令z=-1,得

m-DA^=2x+2z=0

m=(l,0,—1),

则加〃=l+0+l=2w0,所以平面与平面AOP不垂直，故c错误;

D,当初=1,7=0时，则=+可知点P在平面ABCD内,

因为面ABCDH面44G2，则直线P4与面A31G2所成角即为直线尸4与面ABCD所

成的角，

因为A4,，面ABCD,则直线PA与面ABCD所成的角为/APA，得

A4_1

tanZAPA二

1AP-AP

又2//=1,即〃=L则AP=XAB+，AD,得

22

,211

AP'=A2AB-+—AD-+2ABAD=A2+—>2,

当且仅当外=,即；1=±1时等号成立，知网的最小值为行，则tan4PA=±

的最大值之=也,

V22

所以直线24与平面4耳£2所成角的正切值的最大值为三，故D正确.

故选：ABD.

12.答案:AC

解析：当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为x=±a、y=+b,

所以点（±。,±封在蒙日圆上,故蒙日圆的方程为2+丁2=一+",

又由题意可得C=V^,y/c2+b2=6,结合〃2=万2+，解得。=百，b=l,

对于A选项，蒙日圆圆心到直线/的距离为裂="=，？+/,

所以，直线/与蒙日圆相切，故A正确；

对于B选项，C的蒙日圆的方程为好+丁2=4,故B错误；

对于C选项，由题意可知，lxLl2,所以MN为蒙日圆的直径，MN=4,故C正确;

对于D选项,由椭圆的定义可得，制+|A段=2百,

所以，d-\AF^=d+\AF\-2>l3,

直线/的方程为x+A-4=0,

点片到直线I的距离为4="正，

2

所以，d—|巾="|4娟—2凤4_26=4+*—4百,

当且仅当时，等号成立，故D错误；

故选：AC.

13.答案：20

解析：1的第厂+1项为J=（29（二］=（-1）飞45-2，，

令5-2厂=1,解得r=2,令5-2r=3,得r=1，

代入通项可得［-J展开式中的x和d项分别为:lOx和-5/，分别与x2和—2相乘，

得（犬-2）9的展开式中/项为10/+10x3=20/,故/的系数为20.

故答案为：20.

14.答案：-0.5/--

2

-0+1+2+3+4-10+15+20+30+35”

解析：依题意,x=-----------------=2,y=-------------------------=22,

5

代入回归直线g=6.5x+6,解得益=9

所以回归直线为g=6.5x+9

当x=l时，y=15.5,因止匕残差为15—15.5=-0.5,

故答案为：-0.5.

15.答案：1013

解析：由“+

得1J2anMnnn+i-Mn

*/an〉。,/.Mn>0

二2an=an+i-1,BP2(%+1)=an+i+1

.-.^±i=2

4+l

是以2为首项，2为公比的等比数列

.•・%+1=2・2"T=2"

—2一〃

1O

.•.S9=2-11=1O13.

故答案为：1013.

16.答案：也

|x-/(x)|

解析：点A(xJ(x))到直线x-y=0的距离d~1T~

则|阴2d=

又/(x)—X=X+—ln(e""+X—1)=(e,ra+x-l)-ln(emi+x-l)+l,

由m>0知，y=eM和y=尤在R上单调递增，

所以y=x+y-1在R上单调递增，其值域为R,

又x+e^—1>0,令/=6如+尤—1«>0),

I/_i

令/⑺="ln/+l,F'Q)=1—：=亍(f>0),

当0<t<l时，F'(t)<0,当x>l时，尸«)>0,

所以函数E⑺在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以小焉=21)=2，

6

所以|AB|>d>V2,

因为对任意的m>0,都有恒成立，所以

所以实数。的最大值为血.

故答案为：A/2.

17.答案：(1)an=2n—l

n

(2)

2H+1

解析：(1)由题意，得3=/

22

当〃22时，cin-Sn-Sn_x=H-(n-1)=2n-1

当〃=1时，4=S]=1,适合上式.

an=2n—l.

=Ui__1.

2v2n+lJ2n+l

18.答案：(1)A=—

3

(2)9

解析：(1)Z?cosC+26zcosA=-ccosB-

由正弦定理，得sinBcosC+sinCeosB=-2sinAcosA

sin(B+C)=-2sinAcosA,即sinA=-2sinAcosA

A£（0,7i）,.・.sinA>0，

cosA=--,BPA=-

23

（2）由题后可得，SAABM+^AAMC-

:.—c-AM-sin60°+—b-AM-sin60°=—/?csin120°

222

:.b+c=bc

即LLi

bc

74Z7历4cc

.­./?+4c=（/?+4c）-+-=5+—+—>5+2J------=9

\bcJcbvcb

当且仅当2=竺，即人=3,c=』时，等号成立，

cb2

所以6+4c的最小值为9.

19.答案：（1）存在点Q,3Q=1

⑵巫

19

解析：（1）以｛AB,AD,AP｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系心Z,

则各点的坐标为B（l,0,0）,C（l,l,0）,£>（0,2,0）,P（0,0,3）

BP=（-1,0,3）,

设Q为直线PB上一点，且B2=2BP=（-2,0,3/t）,.-.2（1-2,0,3/1）

:.CQ=（-2,-1,3#,又CD=（-1,1,0）,

:.CQCD=A-1=Q,A=1

所以存在点。，满足QC±CD，此时BQ=1.

(2)由(1)可得CD=(-1,1,0)，

又0(1—40,32),CQ=(一九一1,3X)

(_\2

则点Q到直线CD的距离d=J。。，—(r0cos(CQ,的『万2CQCD

/―[_3i—i-1

二.八巫

19

所以异面直线PB与CD之间的距离为亚

19

20.答案：(1)|

(2)小李能进入决赛

解析：(1)设4="在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有:

C；C；C；3_1

①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为片=

6x612

12_1

②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为E=

C2c26x63

③得到认可的中式面点和中式热菜各入选2道的概率为6=£算—3.

6x612

所以P(A)=J-+LJ_」

v7123122

⑵由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为:，每道中式热菜被评委

认可的概率为「卜j则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为

2

p=xCjx|x1+C|x112

----1----=一

443

因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验.

用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，则X,

E(X)=3x|=2,

二小李能进入决赛.

21.答案：(1)抛物线C的方程为一=分，点A的坐标为(-2,1)

(2)直线/的方程为x+y-7=0

解析：⑴联立+l—°,消y得x?+2px+2P=0,

厂=2py

因为直线x+y+l=0与抛物线。:％2=20(0>0)相切，

所以A=4p2_8p=0,解得p=2或p=0(舍去)，

2

当p=2时，%+4%+4=0,解得％=—2,所以y=l,

所以抛物线C的方程为必=今，点A的坐标为(-2,1)；

(2)显然直线/的斜率存在，可设为y=/(石,％),N(x2,y2),

由<：kx+b消,得了2_4丘一46=0,贝1JA=16尸+16/?>0,

x=4y

/+工2=4左，xvx2=-4b,且AM=(玉+2,%—1),AN=(%2+2,y2-1),

因为以MN为直径的圆过点A,所以AM.〃V=0,即

(%+2)5+2)+(%—1)(%—1)=。，

整理可得(左2+1)/马+[左(人―1)+2](玉+々)+(3—1)2+4=0，

所以Th,2+1)+4左2优一1)+8左+(匕-1)2+4=0,

化简得66